目 ( 1 ~ 2 ) 序章 第 1 章 2. 第 2 章 3. 4. 5. 6. 第 3 章 7. ( 3 ~ 15 ) ( 16 ~ 4 の ( 41 ~ 79 ) 理論編 有限要素法とは何か 微分方程式 線型常徴分方程式・ 1. 初期値問題・境界値問題・・・ 3 冫欠 2. 随伴徴分式・・・ 4 3. スツルム・リウビルの固有値問題・・・ 5 線型偏徴分方程式・ 1. 方程式の分類・・・ 6 4. 平面領域・・・ 8 7. 随伴徴分式・・・ 13 変分法 2. 標準型・・・ 6 5. 空間領域・・・ 10 8. 固有値問題・ 3. 各型の代表例・・・ 7 6. 境界条件・初期条件・ ・・ 10 ・・ 15 一変数関数の変分問題・ 常徴分方程式の固有値問題・ 4. オイラーの徴分方程式 ( 三変数の場合 ) ・・・ 25 3. オイラーの徴分方程式 ( 二変数の場合 ) ・・・ 23 1. 変分・定常関数・・・幻 2. 変分学の基本補助定理・・・ 22 多変数関数の変分問題・ 3. 変分学の基本補助定理・・・ 78 4. オイラーの徴分方程式・自然境界条件・ 1. 変分問題とは・・・ % 2. 変分・定常関数・司 7 偏微分方程式の固有値問題・ 3. 定理 5.2 の逆・・・ 31 1. 等周問題・・・ 27 2. スツルム・リウビルの固有値問題・・・ 29 111 ・・ 18 ・・・ 21 ・・・ 16 ・・・ 27 1. 等周問題・・・ 33 3. 定理 6.2 の逆・ ツツ法 リツツ法の由来・ リツツ法とは・ ・・ 38 1. リ 2. 偏微分方程式の固有値問題・・・ 35 ・・・ 33 ・・・ 41 2. 本来のリツツ法・ ・・ 42

8. 9. 当 10. 第 4 章 g11. 12. 第 5 章 13. 14. 15. 16. iv 理論編目次 例・・・ 89 例・・・ 83 ( 97 ~ 125 ) ヨ・・・川 9 一変数関数のリツツ法・ リツツ法による近似解・・・ 43 3. 行列 K, の要素行列への分解・ 5. 積分公式・・・ 50 6. ICfrs, Fe 7. 〆の , 〆の , / ( のの近似・・・ 57 二変数関数のリツツ法 リツッ法による近似解・・・ 56 1. 1. 2. 有限要素と基底関数・・・ 45 ・・ 47 4. 線座標の導入・・・ 50 r の線座標による表示・・・ 51 4. 面積座標に関する積分公式・・・ 62 6. 行列 K, の要素行列への分解・・・ 65 8. い , の , 〆既の , / , のの近似・ 8. 例・・・ 53 2. 有限要素・・・ 58 3. 面積座標・・・ 60 5. 基底関数・・・ 64 7. Kfrs, の面積座標による表示・ ・・ 63 9. 例・・・ 70 2. 行列 K, の要素行列への分解・・・ 77 10. 差分近似法との関係・ 三変数関数のリツッ法・ リツッ法による近似解・ 1. 固有値問題 ・・ 76 ・・ 74 1. リツッ法による近似解・・・ 86 偏徴分方程式の固有値問題・ 例・・・ 85 1. リツッ法による近似解・・・ 80 常徴分方程式の固有値問題・・ ( 80 ~ 96 ) 2. 2. 3. 集中質量行列・ 3. 集中質量行列・ ・・・ 43 ・・・ 76 ・・・ 86 ・・ 91 4. 例・・・ 92 ガラーキン法 常徴分方程式・・ 1. 弱形式・・・ 97 3. ガラーキン法による近似解・ 偏徴分方程式・ 1. ガラーキン法・ 2. 重みつき残差法・ガラーキン法・ 4. 例・・・ 102 5. 行列の固有値問題の解法・・・ 94 ・・ 98 ・・・ 97 ・ 104 ・・川 4 一次元拡散方程式・ 一次元波動方程式・ 一階常徴分方程式への帰 ガラーキン法の特徴・・・川 8 2. 3. 1. 2. ガラーキン法による近似解・・・川 5 ・ 111 108 2. 拡散方程式に対するガラーキン法・・・ 108 1. 波動方程式に対するガラーキン法・ 二階常徴分方程式への帰着・・Ⅲ 2

理論編 目 二次元拡散方程式・・ 17. 1. 拡散方程式に対するガラーキン法・ 一階常微分方程式への帰着・・・〃 5 2. 二次元波動方程式・・ 18. 1. 波動方程式に対するガラーキン法・ 二階常徴分方程式への帰着・・・〃 7 2. 連立常徴分方程式の差分近似解法・ 19. 1. 連立常微分方程式の初期値問題・・・月 8 3. 」一 = が / 3C2 ・・・ 120 4. 中央差分法・ ・・ 122 有限要素モデル 第 6 章 線要素・・ 20. 1. 線要素の分類・・・ 126 4. 三節点をもっ二次線要素・ 3. 二節点をもつ一次線要素・ ・・ 128 三角形要素・ 21. ・・ノ 30 2. 面積分・ 1. 三角形要素の分類・ 3. 三節点をもつ一次三角形要素・・・ 133 4. 六節点をもっ二次三角形要素・ ・・ 134 四面体要素・ S 22. ・ 138 1. 体積座標・・・ 138 2. 体積座標に関する積分公式・・・ノ 40 3. 基底関数・・・ 141 4. 要素行列・・・ 142 水理学への応用 第 7 章 地震時のダム貯水池内の水の運動・ 23. 1. 問題設定・・・ 144 2. リツツ法による有限要素法の定式化・ ・・ 144 波動の力学・ 24. 1. 自由表面の条件・・・ 145 2. 波動の方程式・・・ 14 「 自由表面をもつ流体内の物体の振動・ 25. 1. 問題設定・・・ 148 2. リツツ法による有限要素法の定式化・ ・・ 749 湖水の自由振動・ 26. 1. 問題設定・・・ 149 2. 変分問題・有限要素法の定式化・・・ 750 水質汚濁の拡散・・ 27. 1. 問題設定・・・ 151 2. ガラーキン法による有限要素法の定式化・ ・・ 152 ・ 113 ・ 116 ・ 118 ニコルソン法・・・月 8 2. クランク・ 5. 集中質量行列・・・ 124 ( 126 ~ 143 ) ・ 126 分 積 ・ 130 ( 144 ~ 153 ) ・ 144 ・ 145 ・ 148 ・ 149 ・ 151

第 8 章 28. 29. 30. 31. 32. ⅵ理論編目次 ( 154 ~ 182 ) ・・・ 185 ~ 195 ・・・ 196 ~ 197 ・・・ 198 ~ 200 有限要素法の誤差 一次線要素による近似・ ヒルベルト空間・徴分の拡張・ 1. 内積とノルム・・・ 155 3. ヒルベルト空間・・・ 157 各種空間とその包含関係・ 2. 内積とノルムの性質・ 4. ん 2 ー空間・・・ 759 ・・ 156 5. 微分の拡張・・・跖 1 ・ 154 ・ 155 ・ 163 1. Håとの関係・・・ 763 2. ヘビサイド関数とデイラクの関数・・・ % 5 3. 基底関数によって生成される空間」・・・ 168 変分問題の解の存在とその性質・・ 4. 境界条件・・・ 1 召 1. 変分問題の解の存在・・・ 772 2. 変分問題の解の性質・・・ 174 3. 誤差の〃 0 ーノルムの評価・・・ 181 2. 誤差の〃 E ーノルムの評価・ 1. 線型補間・・・ 177 誤差評価・ 3. 変分問題の解と微分方程式・・・ 176 ・・ 179 ( 183 ~ 184 ) ・・ 184 ・ 172 ・ 177 ・ 183 付章 33. 積分定理・ 1. グリーンの公式・ 問題の解答・・・ 参考書・・・ ・・ 183 2. ガウスの発散定理・

プログラム 1 : プログラム 2 : フ。ログラム 3 : プログラム 4 : プログラム 5 : プログラム 6 : プログラム 7 : プログラム 8 : プログラム 9 : プログラム 10 : プログラム 11 : プログラム 12 : V11 《プログラム編の内容》 ( ) 内の節番号は , ・理論編 ' の関連する節番号を示す . スツルム・リウビル型常微分方程式 ( 8 , 20) 二次元ラブラス方程式 スツルム・リウビルの固有値問題 11 , 2 の 二次元へルムホルツ方程式の固有値問題 ( 12 ) 一般の線型常徴分方程式 ( 13 ) 一次元拡散方程式 ( 15 , 1 の 一次元波動方程式 ( 16 , 19 ) 二次元拡散方程式 ( 17 , 19 ) 二次元波動方程式 ( 18 , 19 ) 三次元ラブラス方程式 10 , 22 ) 自由表面をもつ流体内の物体の振動 と地震時のダム貯水池内の水の運動 ( 9 , 23 , 25 ) 水質汚濁の拡散 ( 19 , 27 ) 9 )

198 一次三角形要素・・・・ 一次四面体要素・・・ 一次線要素・・・ 一般化された行列の固有値問題・・・ 一般フーリエ (Fourier, J. B. J. ) 展開・・・ が一内積・・ ー内積・・ 〃 2 ー内積・・ 〃 E ー内積・・・ HE— / / レム・・ エネルギー内積・・ エネ / レギーノノレム・・ ・ 99 , 105 ・・・ 5 , 15 ・・・ 64 ・・・ 78 , 141 ・ 18 , 23 , 25 ・ 160 ・ 156 ・ 156 ・ 156 ・ 156 ・ 156 ・ 155 ・ 155 ・・・ 32 , 39 ・・・ 94 ・・・ 47 工 2 ー空間・・ オイラ—(Euler オーダー 重み関数・・・ 重みつき残差法・・・ 外法線方向徴分・・・ , L. ) の徴分方程式・ 完備化・・・ き 基底関数・・・ 基本列・・ 境界条件・・・ 境界成分・・・ 境界値問題・・・ 曲線・・・ 許容関数・・・ 許容条件・・・ 距離・・ 区分的に滑らか ( な曲線 ) ・・・ 区分的に滑らか ( な曲面 ) ・・・ クランク・ニコルソン (Crank, J. , Nich01son, P. ) 法・・ グリーン (Green, G. ) の公式・・・ クロネッカー (Kronecker, L. ) の記号・・ く Poisson, S. D. ) の自由表面の条件・ コーシー・ボアソン (Cauchy, A. L. , 広義の境界条件・・・ ガウス (Gauss, C. F. ) の発散定理・・・ 拡散方程式・・・ 拡張されたベルヌーイ (Bernoulli, D. ) の定理 可測・・・ 可測関数・・・ ガラーキン (Galerkin, B. G. ) 法・・ 関数族・・・ 完備・・・ ・ 119 ・・・ 99 ・・・ 99 ・・・ 13 ・ 184 146 ・ 159 ・ 158 ・・・ 16 ・ 158 コーシー列・・ 弧長パラメター 固有関数・・・・ 固有値・・・ 固有値間題・・・ 固有べクトル・・ 最小列・・・ さ ・ 158 ・・・ 41 ・ 158 ・・・ 3 , 11 ・・・ 9 , 10 ・・・ 17 ・・・ 17 ・ 158 ・ 120 ・ 183 ・ 145 ・ 158 ・ 15 , 94 ・ 5 , 15 , 94 ・・・ 42 ・・・ 94

Z99 単一閉曲面・・・ ・ 157 断熱条件・・・ 0 8 1 三角不等式・・・ し 自己随伴微分式・・・ 自己随伴徴分方程式・・・ 自己随伴偏微分方程式・・・ 自然境界条件・・・ 四面体要素・・・ 弱形式・・・ 重心座標・・・ 集中質量行列・・・ 終点・・・ H. A. ) の不等式・ シュワノレッ (Schwarz, 初期条件・・・ 初期値問題・・・ ・・・ 4 , 13 ・・・ 14 中央差分法・・・ 中線定理・・・ ・・・ 18 調和関数・・・ ・・・ 98 定常関数・・・ ・ 85 , 92 デイラク (Dirac, P. A. M. ) の関数・・ ディリクレ (DirichIet, P. G. L. ) 問題・ ・・ 157 停留関数・・・ ・・・ 3 , 11 ち ・ 123 ・ 173 ・・・ 12 て ・ 17 , 22 ・ 168 ・・・ 13 ・ 17 , 22 と 等温条件・・・ 等周問題・・・ 閉じている・・ ・・・ 11 ・ 27 , 34 ・ 158 す 随伴徴分式・・・ スツルム・リウビル (Sturm, J. C. F. , Liouville, J. ) 型徴分方程式・・・ スツルム・リウビルの固有値問題・・・ せ ・・・ 4 , 13 な 彳丁 ・・・ 5 , 20 滑らか ( な曲線 ) ・・・ 滑らか ( な曲面 ) ・・・ ーチェ (Nitsche, J. ) の技巧・ 熱伝導方程式・・・ ノイマン (Neumann, C. G. ) 間題・ は 8 正規化条件・・・ 正規直交系・・・ 整合質量行列・・・ 線型空間・・・ 線型補間・・・ 線座標・・・ ・・・ 29 ・ 85 , 92 ・・・ 45 , 56 , 59 , 76 , 78 ・ 157 ・ 177. 179 ・ 182 ・・・ 13 波動方程式・・ ノくラメタ パラメター表示・・ ・ 159 汎関数・・・ 8 《 0 8 ( し そ 双曲型偏微分方程式・・・ 測度零の集合・・・ た ひ 徴分式・・・ ・ 17 , 22 徴分 D の強い拡張・・ ・ 138 微分 D の弱い広張・ ビラミッド型関数・・・ 第一変分・・・ 体積座標・・・・ 楕円型偏微分方程式・・・ 単一閉曲線・・・・ ・ 161 ・ 162 ・・・ 64

2 ひ 0 索 引 ヒルベルト (HiIbert, D. ) 空間・ フォンノイマン (von Neumann, 分割 ( 境界の ) ・・・ 安定条件・・・ 閉領域・・・ 閉部分空間・・・ 閉曲面・・・ 閉曲線・・・ 殆んどいたるところ・・・ 放物型偏徴分方程式・・・ ボアソン (Poisson, S. D. ) 方程式・・ 変分問題・・・・ 変関数・・・ 方程式・・・ ヘルムホルツ ( Helmh0 レ , H. L. F. ヘビサイド (Heaviside, O. ) 関数・ ま行 J. ) の von) 158 ・ 120 ・・・ 9 , 10 ・ 8 ・ 158 ・・・ 9 , 10 ・ 166 ・・・ 16 ・・・ 16 ・ 6 ・ 17 , 22 ・・・ 60 ・ 157 ・ 159 や行 ャコ€(Jacobi, C. G. J. ) の方法・・・ 要素行列・・・ 要素・・・ 有限要素・・・ 屋根型関数・・・ 要素内節点番号・・・ ら ラグランジュ (Lagrange, ラブラシアン・・ 行 J. L. ) の乗数・・・ ・・・ 94 ・ 45 , 47 , 58 , 77 ・・・ 45 , 47 , 58 ・ 49 , 66 ・ 47 , 60 , 64 , 78 ・・・ 27 , 34 ラブラス (Laplace, P. S. ) 方程式 7 リース・フィッシャー (Riesz, F. , Fischer, Ch. A. ) の定理・・ リツツ (Ritz, W. ) 法 リーマン (Riemann, G. F. B. ) 積分・ 両端固定条件・・・ 両端自由条件・・・ ルべーグ (Lebesgue, レイレ—(Reyleigh, H. ) 積分・・・ Lord) 商・・ 158 ・・・ 41 ・ 158 ・・・ 12 ・・・ 12 ・ 158 ・・・ 13 ・ 31 , 37 、ンコフス *—(Minkowski, H. ) の 面積座標・・・ 向き ( 曲面の ) ・・・ 向き ( 曲線の ) ・・・ 不等式・・・ ロ / くン (Robin, G. ) 問題・・

著者略歴 水本久夫 ( みずもとひさお ) 1 9 5 8 年 東京工業大学大学院博士課程修了 現在 広島大学教授 理学博士 原平八郎 ( はらへいはちろう ) 1 9 6 9 年 岡山大学工学部卒業 1 9 7 8 年 英国ウェールズ大学大学院修士課程修了 (). . ) 現在 三井造船玉野研究所主任研究員 Master Of Science ェンジニアリングサイエンスのための 有限要素法 < 理論編 > ◎水本久夫・原平八郎 7983 1983 年 1 月 25 日第 1 版第 1 刷発行 著者 / 水本久夫 , 原平八郎 1984 年 1 月 20 日第 1 版第 2 刷発行 発行者 / 森北肇 図版トレース / 株式会社緑新社 印刷 / 株式会社加藤文明社製本 / 協栄製本 発行所 / 森北出版株式会社 東京都千代田区富士見 1 ー 4--11 〒 102 電話 03 ー 265 ー 8341 ( 代表 ) 振替東京 1 ー 34757 日本書籍出版協会・自然科学書協会・工学書協会会員 落丁 , 乱丁本はお取替えいたします 検印 省略 定価はカノ 表示してあります ISBN 4 ー 627 ー 07180 ー・ 9 Printed in Japan