278 索 線形空間 〃次元 線形結合 解の 線形作用素 線形従属 線形独立 線形微分方程式 53 , 55 くタ行 > 置換積分 定係数線形非同次微分方程式 5 , 6 , 6 イ , , 9 , 88 , 730 ノ 2 イ , ノ 37 倍角公式 ( 三角関数の ) 定数 積分 任意 定数変化法 テイラー展開 テイラーの定理 特性方程式 特殊解 特解 特異解 同次方程式 同次形 の解の種類 くナ行 > 2 階定係数線形非同次微分方程式 2 階定係数線形同次微分方程式 任意定数 ノヾラメータ く / 、行 > 65 59 60 , ノ 2 / 67 , 9 イ 5 , 6 6 イ 0 , 53 3 イ ノイ 6 7 イ 6 88 ノ 3 ノ 3 . / 30 22 52 56 , 5 / 56 , 5 / 703 ノ 36 93 ノ 3 / 8 66 ヒ。カールの反復法 非同次方程式 微分演算子 微分公式 合成関数の 積と商の 微分作用素 微分積分学の基本定理 微分多項式 微分方程式 複素数 不定積分 部分積分 部分分数展開 ベキ級数 べクトル空間 ベルヌーイの方程式 変数分離形 偏微分方程式 マクローリン展開 未知関数 未定係数法 くマ行〉 くラ行 > 連立 1 階線形微分方程式 連立線形微分方程式 ロジスティック方程式 ロンスキアン ロンスキー行列式 くワ行〉 和の公理 イ , 760 イ 0 , 53 , 6 イ ノ 02 72 77 ノ 02 ノ 59 ノ 0 / 2 , 3 55 58 58 33 ノ 36 ノ 36 / 8 3 ノイ / 2 22 50 53 ノイ 6 ノ 5 ノ 3

当 2 例題 20 次の微分方程式を解いてみよう。 2 階定係数線形同次微分方程式 75 ー 5 の十 64 = 0 ( 2 ) " 十 4 の十 44 = 0 解ます微分方程式の特性方程式を求めよう。 = Ge2 工十 C2e3 工 これより基本解はに 2 工 , e3 工 } なので一般解は ( スー 2 ) ( スー 3 ) = 0 因数分解して解くと ( 1 ) 特性方程式は ス 2 ー 5 ス十 6 = 0 (CI, C2 : 任意定数 ) ス = 2 , 3 ( 2 つの実数解 ) ( 2 ) 特性方程式は 因数分解して解くと ( ス + 2 ) 2 これより基本解は { の 2 工 , ー 2 工 } なので一般解は ス 2 十 4 ス十 4 = 0 ー 2 ー 2 工 練習問題 20 = ()I 十 C2 ェルー 2 工 または 4 = Ge 2 工十 C2xe (CI, C2 : 任意定数 ) (CI, C2 : 任意定数 ) ( 解終 ) ( 重解 ) 導いた結果ね。 苦労して定理 3.9 を てしまうなんて ! こんなに簡単に解け 解答は p. 183 次の微分方程式を解きなさい。 ー 6 の十 5 ク = 0 ( 3 ) い + の = 0 ( 4 ) ー 6 の十 9 = 0 " ー 2 の十 4 = 0

3 微分演算子による線形微分方程式の解法 例題 47 次の微分方程式を解いてみよう。 ( 〃 2 ー 3 〃 + 2 ) [ の = に 解特性方程式が , 相異なる 2 つの実数解をもっ場合である。 微分多項式を因数分解して これより同次方程式の基本解はに 2 工 , に } である。 とおいて区ェ ) を求める ( 左頁下参照 ) 。逆演算子の部分分数展開を使って 次に特殊解をは ) とし , 737 ゆえに 区ェ ) = カー 2 1 1 公式 4 . 3 ーは + 1 ルエ 1 一般解は 4 = Ge2 工十 C2 〃ー 2 D ー 1 1 D ー 1 ー e ーは + 1 ルエ (CI, C2 : 任意定数 ) さらに ( C2 ー 1 ) を改めて C2 とおき直すと ク = Cle2 工十 C2 に一工 (CI, C2 : 任意定数 ) 部分分数展開 ( 解終 ) 1 練習問題 47 ( 1 ) ( 〃 2 + 5 〃 + 6 ) [ の = び - 3 工 次の微分方程式を解きなさい。 住ー 1 ( 2 ) 1 ( 〃 2 解答は p. 203 ー 5 〃ー 6 ) 朝 ] = sin2 ェ

まえがき 石村園子 2003 年寒露 してもらいました。 いたします。また解答のチェックは石村光資郎 , イラストは石村多賀子に協力 男氏と , いつもながら編集で大変お世話になりました吉村修司さんに深く感謝 最後に , 本書を書く機会をくださいました共立出版株式会社取締役の寿日出 ころに置いて , 勉強をしてください。 礎になっていますので , いままで皆さんが勉強してきた教科書等を手の届くと いすれにしても , 微分方程式を勉強するには , 「微分積分」「線形代数」が基 からない微分方程式の解を近似する 2 つの方法を紹介してあります。 して線形微分方程式を解く方法を勉強します。最後の第 5 章では , 解き方のわ 第 4 章では演算子という考え方を導入し , 微分や積分の計算をある程度形式化 の微分方程式を扱います。こでは , 線形代数で勉強した知識が役立ちます。 のみ扱います。第 3 章では応用上よく使われる線形微分方程式 , 特に定数係数

23 1 ・ 2. 3 ・ い変数分離形の微分方程式 [ 変数分離形の解き方 1 ] G(u)=F(x) + C ( C : 任意定数 ) 両辺から任意定数が出てくるが , まとめて右辺に 1 っ書いておくと 左辺はクで積分 , 右辺はェで積分する。 約分するように変形して 両辺をェで積分する。 0 ( の dx して次の形にする。 左辺はのみの関数 , 右辺はェのみの関数となるように変数を分離 役に立つわよ。 第 1 章で勉強したことが 積分するとき , これが一般解。 ( 複雑にならないようなら、、 4 = " の式に直す。 )

解微分演算子 ( 微分多項式 ) は , 実数の範囲で因数分解できるときは因数分 解し , できないときは平方完成する。 ( 1 ) 微分演算子は因数分解できているので , 式を見ながら 728 第 4 章微分演算子 例題 46 次の微分方程式を解いてみよう。 ( 1 ) ( ー 1 )(D ー 2 ) 朝 ] = 0 ( 3 ) ( 〃 + 2 ) 2 朝 ] = 0 = 0 = 0 = 0 ( 2 ) ( 4 ) ( が一 4 カ ) 朝 ] = 0 { ( D ー 2 ) 2 + 22 } 朝 ] 基本解は 一般解は = CI 十 C2e2 工 ( 2 ) 微分演算子を因数分解すると これより基本解は 一般解は 0 ・エ 以〃ー 4 ) 朝 ] = 0 (CI, C2 : 任意定数 ) { el ・エ , e2 工 } = { 心 e2 工 } 4 工 4 工 ク = CI ・ 1 十 C2e4 工 = CI 十 C2 鬯工 (CI, C2 : 任意定数 ) ( 3 ) 特性方程式が , 重解をもっ場合である。 基本解は { e ー 2 工 , ー 2 工 } なので , 一般解は ー 2 工 (CI, C2 : 任意定数 ) = ()I 十 C2 ェルー 2 工 (CI, C2 : 任意定数 ) = Ge 2 工十 C2xe または , e 2 工でくくって ( D ーの ( D ーの朝 ] ( 〃ーの 2 朝 ] { (D ーの 2 + 2 } 朝 ] 基本解 ー→ { 工 cos 歳 , eaxsinßx} ー一 { e な工 e 工 }

26 第 2 章 1 階微分方程式 とがバラバラになっている変数分離形については , 次の定理を使う と計算が速い。 定理 2.2 (): 任意定数 ) 【証明】どちらも本来の微分記号ーーにもどしてから積分して示す。 ( 2 ) 両辺を市で割って本来の ( 1 ) 両辺を市で割って本来の 記号ーーにもどすと 己号一石 - にもどすと 両辺をェで積分して 両辺をェで積分して 左辺は定理 2.1 ( p. 22 ) を使うと 左辺の第 2 項は定理 2.1 ( p. 22 ) を 使って変形すると (): 任意定数 ) となる。 ( 証明終 ) 一三ロ となる。 ( 定数 ) ' = 0 ←・ 0 エ = 定数

い 求めるために次のように変形する。 このままでもよいが , なるべくン = " の形で解を 10 ⅵ = ェ十 C 積分して 10g は自然対数なので底はのゆえに指数の形に 直すと ク = 士 ec 工 exec ェ十 C となる。指数法則を使って 変数分離形の微分方程式 25 dx = 10 十 C 10g 。わ 2 十 0 C は任意定数なので士 e は 0 以外の任意定数をとる。そこで士 e = スと おくと , 4 = に ( 員は 0 以外の任意定数 ) 一方 , ク = 0 という関数も微分方程式をみたすので解である。 においてス = 0 とすれば得られるので 〃 = 員 e 工 ( スは任意定数 ) が求める一般解。 ( 解終 ) これは上の解 やり方に慣れてね。 置き換えていくので な方法で任意定数を これからもこのよう チョット タイへン ! 練習問題 12 次の微分方程式の一般解を求めなさい。 1 ( 2 ) の = 2 解答は p. 171

1 階微分方程式 1 階線形微分方程式 h(x ) / ( 工 ) d 工 ただし 変数分離形 dx 0 ( の山 = / は ) / ( ェ ) 市 + 0 ( の = 0 同次形 とおくと 変数分離形になる 1 ベルヌーイの方程式 の + / はル = 0 ( ェルん ( んキ 0 , 1 ) いヨとおくと 1 階線形微分方程式になる 2 階線形微分方程式 定係数 2 階線形微分方程式 ″ " 十〃の十切 = 0 冂次方程式 ″ " 十〃の十切 = 0 ( ェ ) 非同次方程式朝 ( ェ ) キ 0 ) 特性方程式 基本解の組 ス 2 十〃ス十わ = 0 { 妁 , ク 2 } ( i ) 2 つの実数解 ス = ( ⅱ ) 重解ス = 住 ( ⅲ ) 共役複素数解 ス = 士 [ 非同次の一般解 ] = [ 同次の一般解 ] + [ 非同次の特殊解 ] 特殊解の公式 ク 2 ・ g dx 十ク 2 2 彡ⅱ 一般解 (CI, C2 : 任意定数 ) ク = C ⅳ十 C2 に 、ク = C 田十 C2 工 e な工 = ()I 十 C2 ェルな工 ″ = C ーに c ( ) s クエ十 C2 に sin クエ = に (CICOS クエ十 C2Sin クエ ) ax 日工 { ePXCOS クエ , に sinqx} オイラーの方程式 工 2 ク " 十〃工の十切 = 0 ( 工 ) ェ = とおくと定係数 2 階線形微分方程式 になる ロンスキー 行列式 dx

28 第 2 章 1 階微分方程式 例題 13 次の微分方程式を解いてみよう。 ( 1 ) ク = ェ ( 2 ) ェ市ー ( 1 + ェ 2 ) = 0 をバラバラにして書かれている微分方程式である。物理などでは こういう書き方をするが , 式の意味するところをちゃんと理解せすに計 《説明》 算してしまうと間違えるので気をつけよう。 ( 説明終 ) 阯どちらも , 変数が分離されるかどうかを確認してから解こう。 ( 1 ) 左辺はのみの関数 , 右辺はェのみの関数となっているので変数分離 形である。両辺に 1 2 両辺を 2 倍して 2 をつけて積分していくと 1 2 2C1 = C とおき直すと これが求める一般解。 ェ 2 十 CI = ェ 2 十 C ( c : 任意定数 ) 4 = ェ 2 十 2 CI すればいいわ。 とし , 最後に C と C ぃ C2, C3, 換えるたびに き換えるので , 置き 任意定数は次々と置 ワカッタ ワカッタ ,