当 2 例題 20 次の微分方程式を解いてみよう。 2 階定係数線形同次微分方程式 75 ー 5 の十 64 = 0 ( 2 ) " 十 4 の十 44 = 0 解ます微分方程式の特性方程式を求めよう。 = Ge2 工十 C2e3 工 これより基本解はに 2 工 , e3 工 } なので一般解は ( スー 2 ) ( スー 3 ) = 0 因数分解して解くと ( 1 ) 特性方程式は ス 2 ー 5 ス十 6 = 0 (CI, C2 : 任意定数 ) ス = 2 , 3 ( 2 つの実数解 ) ( 2 ) 特性方程式は 因数分解して解くと ( ス + 2 ) 2 これより基本解は { の 2 工 , ー 2 工 } なので一般解は ス 2 十 4 ス十 4 = 0 ー 2 ー 2 工 練習問題 20 = ()I 十 C2 ェルー 2 工 または 4 = Ge 2 工十 C2xe (CI, C2 : 任意定数 ) (CI, C2 : 任意定数 ) ( 解終 ) ( 重解 ) 導いた結果ね。 苦労して定理 3.9 を てしまうなんて ! こんなに簡単に解け 解答は p. 183 次の微分方程式を解きなさい。 ー 6 の十 5 ク = 0 ( 3 ) い + の = 0 ( 4 ) ー 6 の十 9 = 0 " ー 2 の十 4 = 0
3 微分演算子による線形微分方程式の解法 例題 47 次の微分方程式を解いてみよう。 ( 〃 2 ー 3 〃 + 2 ) [ の = に 解特性方程式が , 相異なる 2 つの実数解をもっ場合である。 微分多項式を因数分解して これより同次方程式の基本解はに 2 工 , に } である。 とおいて区ェ ) を求める ( 左頁下参照 ) 。逆演算子の部分分数展開を使って 次に特殊解をは ) とし , 737 ゆえに 区ェ ) = カー 2 1 1 公式 4 . 3 ーは + 1 ルエ 1 一般解は 4 = Ge2 工十 C2 〃ー 2 D ー 1 1 D ー 1 ー e ーは + 1 ルエ (CI, C2 : 任意定数 ) さらに ( C2 ー 1 ) を改めて C2 とおき直すと ク = Cle2 工十 C2 に一工 (CI, C2 : 任意定数 ) 部分分数展開 ( 解終 ) 1 練習問題 47 ( 1 ) ( 〃 2 + 5 〃 + 6 ) [ の = び - 3 工 次の微分方程式を解きなさい。 住ー 1 ( 2 ) 1 ( 〃 2 解答は p. 203 ー 5 〃ー 6 ) 朝 ] = sin2 ェ
1 階微分方程式 1 階線形微分方程式 h(x ) / ( 工 ) d 工 ただし 変数分離形 dx 0 ( の山 = / は ) / ( ェ ) 市 + 0 ( の = 0 同次形 とおくと 変数分離形になる 1 ベルヌーイの方程式 の + / はル = 0 ( ェルん ( んキ 0 , 1 ) いヨとおくと 1 階線形微分方程式になる 2 階線形微分方程式 定係数 2 階線形微分方程式 ″ " 十〃の十切 = 0 冂次方程式 ″ " 十〃の十切 = 0 ( ェ ) 非同次方程式朝 ( ェ ) キ 0 ) 特性方程式 基本解の組 ス 2 十〃ス十わ = 0 { 妁 , ク 2 } ( i ) 2 つの実数解 ス = ( ⅱ ) 重解ス = 住 ( ⅲ ) 共役複素数解 ス = 士 [ 非同次の一般解 ] = [ 同次の一般解 ] + [ 非同次の特殊解 ] 特殊解の公式 ク 2 ・ g dx 十ク 2 2 彡ⅱ 一般解 (CI, C2 : 任意定数 ) ク = C ⅳ十 C2 に 、ク = C 田十 C2 工 e な工 = ()I 十 C2 ェルな工 ″ = C ーに c ( ) s クエ十 C2 に sin クエ = に (CICOS クエ十 C2Sin クエ ) ax 日工 { ePXCOS クエ , に sinqx} オイラーの方程式 工 2 ク " 十〃工の十切 = 0 ( 工 ) ェ = とおくと定係数 2 階線形微分方程式 になる ロンスキー 行列式 dx
56 第 3 章線形微分方程式 これから必要となる線形代数の性質を , 関数の言葉におきかえておこう。 定義 レの 2 つの関数 , 42 が , ある区間 / において , 少なくとも 1 つは 0 でない実数ん 1 , ん 2 を用いて ん 1 十ん 2 ク 2 = 0 と書けるとき , 関数妁とク 2 は / で線形従属 ( 1 次従属 ) であるという。 また , 2 つの関数妬ク 2 が線形従属でないとき , 線形独立 ( 1 次独立 ) であるという。 《説明》レの関数を平面上のべクトルにおき かえて考えればよい。 2 つの関数ク 1 とク 2 が線形従属のとき , 少な くとも 1 つは 0 でない実数ん 1 , ん 2 を使って ん 1 十ん 242 = 0 と書けるが , ん 1 キ 0 として , この式を書き直す と ん 2 ん 1 となる。つまりべクトルの言葉でいえば , 頃 42 41 = ん 42 どんな実数んを 使っても リ 1 手んリ 2 と 42 とは平行な状態のことである。逆にと 42 とが平行でなければ線形独 立となる。 = んまたは ( 説明終 ) = んは : 定数 ) ←とク 2 は線形従属 ドクリッ , ジューゾ ク , ムズカシイ !
2 2 階定係数線形同次微分方程式 67 ス工 ク = e ( ス : 定数 ) こで , 指数関数 どのような関数がい ) の解となるのだろう ? を考えてみよう。指数関数は微分すると ス工 2 ス工 となり , 微分するごとに定数スが前に出てくるだけである。 辺へ代入してみると これをい ) の左 となる。 = ( ス 2 十〃ス十わルれ これが 0 になれば = を工はい ) の解となれる。をエキ 0 なので ス 2 十〃ス十わ = 0 となるスを使えばよい。 この 2 次方程式が同次方程式い ) の線形独立な 2 つの解 , つまり基本解を求 めるキーとなるのでい ) の特性方程式という。 微分方程式 の特性方程式 ス 2 十〃ス十わ = 0 " 十 4 の十わ〃 = 0 判別式 ェ 2 十〃ェ十わ = 0 〃 = 〃 2 ー 4 わ は 2 次方程式なので , 解は判別式〃により 3 種類考えられる。つまり ( i ) ( ⅱ ) ( ⅲ ) である。 D > 0 のとき , 相異なる 2 つの実数解 〃 = 0 のとき , 1 つの実数解 ( 重解 ) D < 0 のとき , 共役な 2 つの複素数解 これらを順に調べていこう。 2 階線形微分方程式 が 2 次方程式と関係 があるなんて , 驚き !
解微分演算子 ( 微分多項式 ) は , 実数の範囲で因数分解できるときは因数分 解し , できないときは平方完成する。 ( 1 ) 微分演算子は因数分解できているので , 式を見ながら 728 第 4 章微分演算子 例題 46 次の微分方程式を解いてみよう。 ( 1 ) ( ー 1 )(D ー 2 ) 朝 ] = 0 ( 3 ) ( 〃 + 2 ) 2 朝 ] = 0 = 0 = 0 = 0 ( 2 ) ( 4 ) ( が一 4 カ ) 朝 ] = 0 { ( D ー 2 ) 2 + 22 } 朝 ] 基本解は 一般解は = CI 十 C2e2 工 ( 2 ) 微分演算子を因数分解すると これより基本解は 一般解は 0 ・エ 以〃ー 4 ) 朝 ] = 0 (CI, C2 : 任意定数 ) { el ・エ , e2 工 } = { 心 e2 工 } 4 工 4 工 ク = CI ・ 1 十 C2e4 工 = CI 十 C2 鬯工 (CI, C2 : 任意定数 ) ( 3 ) 特性方程式が , 重解をもっ場合である。 基本解は { e ー 2 工 , ー 2 工 } なので , 一般解は ー 2 工 (CI, C2 : 任意定数 ) = ()I 十 C2 ェルー 2 工 (CI, C2 : 任意定数 ) = Ge 2 工十 C2xe または , e 2 工でくくって ( D ーの ( D ーの朝 ] ( 〃ーの 2 朝 ] { (D ーの 2 + 2 } 朝 ] 基本解 ー→ { 工 cos 歳 , eaxsinßx} ー一 { e な工 e 工 }
278 索 線形空間 〃次元 線形結合 解の 線形作用素 線形従属 線形独立 線形微分方程式 53 , 55 くタ行 > 置換積分 定係数線形非同次微分方程式 5 , 6 , 6 イ , , 9 , 88 , 730 ノ 2 イ , ノ 37 倍角公式 ( 三角関数の ) 定数 積分 任意 定数変化法 テイラー展開 テイラーの定理 特性方程式 特殊解 特解 特異解 同次方程式 同次形 の解の種類 くナ行 > 2 階定係数線形非同次微分方程式 2 階定係数線形同次微分方程式 任意定数 ノヾラメータ く / 、行 > 65 59 60 , ノ 2 / 67 , 9 イ 5 , 6 6 イ 0 , 53 3 イ ノイ 6 7 イ 6 88 ノ 3 ノ 3 . / 30 22 52 56 , 5 / 56 , 5 / 703 ノ 36 93 ノ 3 / 8 66 ヒ。カールの反復法 非同次方程式 微分演算子 微分公式 合成関数の 積と商の 微分作用素 微分積分学の基本定理 微分多項式 微分方程式 複素数 不定積分 部分積分 部分分数展開 ベキ級数 べクトル空間 ベルヌーイの方程式 変数分離形 偏微分方程式 マクローリン展開 未知関数 未定係数法 くマ行〉 くラ行 > 連立 1 階線形微分方程式 連立線形微分方程式 ロジスティック方程式 ロンスキアン ロンスキー行列式 くワ行〉 和の公理 イ , 760 イ 0 , 53 , 6 イ ノ 02 72 77 ノ 02 ノ 59 ノ 0 / 2 , 3 55 58 58 33 ノ 36 ノ 36 / 8 3 ノイ / 2 22 50 53 ノイ 6 ノ 5 ノ 3
9 ィ = 0 の一般解は , 〃個の線形独立な解の組 , つまり基本解 〃 ) 十のク ( ← 1 ) 十・・・十 4 〃ー 1 の十の = 0 〃階定係数線形同次微分方程式 の定係数線形同次微分方程式の解について簡単にふれておくことにしよう。 いままで 2 階の定係数線形微分方程式を扱ってきたが , 第 3 章 線形微分方程式 目 4 高階線形微分方程式 { 妁 , ク 2 , ・ を使って ク = CI 十 C242 十・・・十 C 〃の (CI, と書けることがわかっている。 こでは , 3 階以上 ・ , Cn : 任意定数 ) 言いかえると , ( # ) の解全体は実数をスカラーとする〃次元線形空間を作 っているのである。 そこで , いかに ( # ) の基本解の組切 1 , ・・ , } を見つけるかが問題となる ( # ) の特性方程式 が , 求め方は 2 階線形微分方程式と全く同しく , このことを次の例題で説明しよう。 だ十のだ 1 十・・十の -1 ス十 4 〃 = 0 の解を使って求めることができる。 特性方程式を作ってね。 2 階の場合と同しように 0 微分方程式 : 特性方程式 : 〃 ) 十の房ルー 1 ) 十・・・十 4 れ一 1 の十 4 れ だ十のだ一 1 十・・・十の一 1 ス十の = 0
2 2 階定係数線形同次微分方程式 ( ⅱ ) ス 2 + + わ = 0 が重解 ( 実数 ) をもっ場合 重解をとすると , 関数 妁 = e 69 は同次方程式い ) の解である。 1 つしか出てこなかったので , これと線形独立 ない ) の解をもう 1 つ見つけなくてはならない。 妁 = 工はい ) の解なので , この定数倍ク = C 工も線形空間の性質より い ) の解である。 ( 直接代入して調べてもよい。 ) しかし , この形の関数は妁 = eax と線形従属なので , 妁と一緒には基本解 とはなれない。そこで C をェの関数 C(x) におきかえ , 42 = c は ) に r ・・・① 積の微分 ①を微分して , ク 2 " を求める。積の微分公式より この方法を定数変化法という。 の形の解がないか探してみよう。 = c な ) 工 + c ( ェっ ' ク 2 = {C"(x) + 2 住 C な ) + 住 2c は ) } 工 = [ c " は ) + ( 2 住 + の c ' は ) + ( 住 2 + + の C は ) を。工 = {C"(x) + 2 住 C ' は ) + 住 2C は ) } 42 " 十〃ク 2 ' 十わ 42 これらを同次方程式い ) の左辺に代入してみると
い つまり 名 " + / 1 ( ェ ) ぎ + ( ェル = 0 線形微分方程式の解 65 となった。このことは , 2 = ーは同次方程式 ( ) の解であることを示して いる。ゆえに定理 3.6 (). 59 ) より , は線形独立な ( ) の 2 つの解 , つまり基 本解妁 , 2 を使って , 妁と〃 2 の線形結合で と書ける。 となる。 名 = ー = CI 妁十 C2 2 ( CI, C2 は実数 ) これより , 〃 = ( CI 十 C242 ) 十 ( 証明終 ) 〃 = 2 の場合に , 線形微分方程式の解全体のシステムを解明してきたが , 般の〃階線形微分方程式の解についても , 〃次元線形空間の性質を使って同 様のことが成立している。 しかし , 微分方程式の係数とよばれる関数 / 1 は ) , ・・・ , は ) , 0 は ) が一般の 最も簡単な定数の場合での具体的な解き方を勉強していこう。 場合には , 具体的に解こうとすると , なかなかむすかしい。これから , 係数が に : い + / 1 はル ' + 工ル = 0 は ) の解全体 線形空間ではない ゼロ関数はない 542 十お 1041 ー 7 の十お ーの十 342 十 241 十 42 十 5 リ 2 ー 41 十 342 2 ″ 1 十の 0 レ : い + / 1 は ) の + 五 ( ェル = 0 の解全体 線形空間 ゼロ関数 1 助 1 ー 742 非同次方程式の解は 同次方程式の解をお だけずらした感じね。