〃ィ第 4 章微分演算子 同様にして , 尸 ( 〃 ) を微分多項式とするとき , 〃 ) 朝 ] = / は ) となる関数 クの 1 つを 1 と書き , 尸 ( のの逆演算子という。 逆演算子 P(D) については一般に次の性質がある。 定理 4.4 P(D), Q(D) を微分多項式とするとき , 次のことが成立する。 ( 1 ) ハの・ 1 1 1 1 朝は ) ] P(D) 尸 ( の ハの・ Q(D) [ / は ) ] は : 定数 ) 尸 ( の Q(D) Q(D) 尸 ( の 《説明》いすれも , もとの演算子の性質よりすぐに示せる。 どの逆演算子も , 関数に作用させた結果はひと通りには定まらないことを再 び注意しておく。 ( 説明終 ) 1 1 1 1 1 1 1 もどれか 1 つ P(D) の関数を対応させる のね。 演算子 P の ) 工は ) 1 逆演算子 P(D)

730 3.2 第 4 章微分演算子 定係数線形非同次微分方程式 2 階線形非同次方程式 " 十 4 の十切 = は ) の一般解は , 同次方程式を " 十〃の十切 = 0 とするとき , [ ( 第 ) の一般解 ] = [ ( ) ) の一般解 ] + [ ( 第 ) の特殊解 ] となるのであった。 朝は ) 幸 0 ) ( 第 ) の特殊解を逆演算子を使って求め , 非同次方程式 ( 第 ) を解いてみよう。 ーでは , 微分演算子を使った同次方程式い ) の解法はすでに勉強した 演算子と逆演算子 定義 1 逆演算子にはいろい ろな公式があったわ カー住 1 公式 4.2 ね。 タクサン タクサン ( 原始関数の 1 っ ) 1 公式 4.3 ( i ) 1 ( 住キの 1

目 次 第 3 章線形微分方程式 高階線形微分方程式・ 3.2 定数変化法 88 3.1 未定係数法 2 階定係数線形非同次微分方程式・・ 2 階定係数線形同次微分方程式・・ 1 . 2 非同次方程式 6 イ 1 . 1 同次方程式 53 線形微分方程式の解・ 4 3 2 い 第 4 章微分演算子 700 総合練習 3 ノ 0 / 連立線形微分方程式・・・ 3.2 定係数線形非同次微分方程式 730 3.1 定係数線形同次微分方程式ノ 26 微分演算子による線形微分方程式の解法・・ 2.2 逆演算子の公式月 5 2.1 逆演算子月 0 逆演算子・・ 1.2 微分多項式尸 ( 〃 ) 1 . 1 微分演算子〃 702 微分演算子・・ 4 2 い 7 イイ 総合練習 4 ・・・ 5 ノ ・・・ 52 ・・・ノ 02 ・・ノ 70 ・・・ 726 ・・・ 736

2 逆演算子 7 7 5 2.2 逆演算子の公式 こでは主に , 2 階線形非同次微分方程式の特殊解を見つけるときに必要な 逆演算子の公式を紹介しよう。 ・一公式 4.2 ・ 1 わー住 1 D ー住 【証明】 ( i ) の / ( ェ ) をに / ( ェ ) とおきかえれば ( ⅱ ) になるので , ( i ) , とも内容は同じである。 演算子と逆演算子 定義 1 1 ( ⅱ ) を示そう。ー [ / は ) ] = F(x) とおくと が成立する。 = わ [ に tF ( ェ ) ] - aeaXF(x) 積の微分公式を使って 1 ( 証明終 ) ヤャッコシク ナッテキタ この公式を , 指数関数 , 三角関数に適用すると次頁の 公式となる。

702 1 . 1 第 4 章微分演算子 目 1 微分演算子の 微分演算子 関数ク = / は ) がある区間 / で微分可能なとき , 導関数は 市 ' 市 ' 市 などの記号を用いていた こでは「導関数を求める」ことを 関数の対応 , 関数の写像 とみなしてみよう。 ( 特に必要がないときは , クの定義域 / は省略する。 ) 4 を微分可能な関数とする。関数クに対して , その導関数のを対応させる 写像 を「〃」と書き , 微分演算子 , 微分作用素などという。 また , クのによる 対応先がのなので , と書くことにする。 たとえば などである。 工ンザンシ 工ンザンシ このことを カ朝 ] = の わは ] = ェ ' = 1 力は 2 ] = ( ェ 2 ) ' = 2 ェ D[sinx] =(sinx)' ー COS 工 微分演算子のの」は Differential operator の D よ。

726 第 4 章微分演算子 目 3 微分演算子による線形微分方程式の解法 3.1 定係数線形同次微分方程式 こでは , 微分演算子を使って 2 階定係数線形同次微分方程式 〃 2 十 aD 十わ となる。こで , クに作用している微分多項式 ( 〃 2 + + の朝 ] = 0 ます方程式い ) を , 微分演算子〃を使って書き直すと ク〃十〃の十わク = 0 を解いてみよう。 同次方程式 ( ) ) の基本解は , 特性方程式 ( ☆ ) の解の種類 , つまり が ( ☆ ) の演算子に現われているのである。 となる。これはい ) の特性方程式にほかならない。つまり , い ) の特性方程式 ス 2 十〃ス十わ = 0 この式の〃をスにおきかえ " = 0 " を加えると に注目しよう。どこかで見たことあるような式・・・ (i) 相異なる 2 つの実数解 ( ⅱ ) 重解 ( ⅲ ) 2 つの複素共役解 によって決まり , 一解般は基本解の線形 結合で書けるのであった。その結果を微 分演算子を使って書くと , 右頁の定理に なる。 この結果を導くのは けっこう大変だった わね。

い微分演算子 703 微分演算子〃を使いやすくするために , 扱う関数はある区間で微分可能で , その導関数が連続であるとしておく。このような関数を連続微分可能な関数と いう。つまり〃は 連続微分可能な関数の集まり X 連続関数の集まり ) ' サヨーソ ? 4 →わ朝 ] = の ェ十 1 「関数の集まり」への 「関数の集まり」から 写像なのね。 微分演算子は という写像である。 1 2 smx COS 工 2 log 工 log 工 Sln 工 COS 工 微分の公式より , 微分演算子〃には , 次の性質があることがすぐわかる。 カ [ ん / ] = ん〃 [ 月は : 定数 ) 定理 4.1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) [ / 士い = 〃げ ] 士わ朝 ] ( 複号同順 ) 0 0 2 《説明》定理における性質 ( 1 ) , ( 2 ) は線形性と いわれる性質である。微分演算子は線形性をもっ ているので線形作用素とよばれているものの 1 つである。 ( 説明終 )

い微分演算子 次に , 微分演算子を続けて作用させることを考えよう。 705 4 を , 2 階微分可能な関数とし , 導関数の , いがともに連続な関数とする。 関数クに D を続けて 2 回作用させてみる。 写像 ( 関数 ) の言葉でいえば , わと〃の合成写像 ( 関数 ) を考えていることに なる。このように , 〃を 2 回続けて作用させた対応を〃 2 と書く。つまり たとえば などである。 D2[cosx] =(cosx)"=((cosx)')' さらに D を何回も関数に作用させてみよう。 ー COS 工 ・が〃 ) がすべて連続であるとする。 クを〃階微分可能な関数とし , の , い , このとき , 関数 4 に D を〃回作用させた対応 ( 〃ー 1 ) を IY と書く。つまり である。カ〃を〃階微分演算子という。 特に〃 = 0 のときは か [ の = ク D0 , DI , D2 , ・・・ , D ”も いうのよ。 すべて微分演算子と とする。これは , 0 階微分 , つまり全く微分せ すそのままということ。 〃階微分演算子〃〃も線形性をもっている。 定理 4.2 ( 1 ) 伊 [ ん / ] = ん [ / ] ( ん : 定数 ) ( 2 ) [ / 士 0 ] = ル [ / ] 士朝 ] ( 複号同順 )

当 2 逆演算子〃 7 / ( ェ ) を連続な関数とする。 このとき , D [ の = / ( ェ ) となる関数 4 の 1 つを 1 1 を〃の逆演算子という。 と書き , / は ) に対して , ー [ / は ) ] はたくさん考えられるが , どれでもよい。一番 簡単なのは , / は ) の不定積分を求めて任意 定数 C を 0 にしたものである。 たとえば 1 ーは分数の意味は ないので気をつけて ね。 D の逆写像のような ので「 D ー 1 」と書く こともあるわ。 1 2 2 1 の 1 の = COSX などである。 1 も演算子という名前がついているが正確には写像では ないので , 演算子ではない。 前にも使ったが , 記号の混乱を避けるために / / ( , ) は / ( , ) の不定積分 ( 任意定数 C を含んだ関数である。 ) 不定積分 C にある値を代入した / / は ) 市は / ( , ) の原始関数 関数である。 C = 0 でもよい。 としておく。この記号を使うと 1 となる。 ギャク ギャク ギャク 工ンザンシ ?

770 2.1 第 4 章微分演算子 目 2 逆演算子 逆演算子 微分演算子わは , 関数クに対して その導関数のを対応させる写像であ った。こでは , 力の逆の対応を考 えてみよう。 わ朝 ] = ェ となる関数はどんな関数だろう。 つまり の = 工 となる関数である。これは 1 階の 微分方程式なので , 両辺をェで積分 すると 1 ーエ 2 十 C ( C : 任意定数 ) 2 している。 となる関数は無数にあることを示 D 朝 ] = ェ と一般解が求められる。このことは , ェ十 1 2 Sln 工 COS 工 log 工 2 1 2 2 2 わの逆の対応 1 10g 工 2 ェ Slnx 2 工 COS 工 となる関数は , / は ) の原始関数の 1 つを F(x) とすると 4 = F ( ェ ) + c ( c : 任意定数 ) ・・・ ( ¥ ) の形に書ける。したがって〃の逆の対応は , 対応先が無数にあるので , 写像 とはならない。 そこで , たくさんある ( \ ) の形の対応先から 1 つだけ , 関数を選ぶことにす る。