6 0 図 2.4 2.2 微分方程式とは 第 2 章 d2 ) dt2 ボールの垂直落下を考えてみる 微分方程式とは何だ ? さて、今度は微分方程式とは何でしよう ? 。簡単に言ってしまえば、「微分が混ざってる 方程式」「微分で表されてる方程式」です。 ・・つてそのままやないか ~ い ! ! ってお思いでしよう。 でもそのままの意味です。方程式の例を挙げると、こんな感じ↓。 ・・ね ? 、そのままでしょ ? wwwwwo dt2 d2 ) CI dx(t) + 夘 ) = 0 十わ dx(t) では実際に、例を挙げて、微分方程式を立てる方法について話をしましよう。 の状態」を表していると言えます。 のと話をしました。つまり、微分が混ざっている微分方程式は「瞬間的な時間でみた動き 微分はある瞬間的な時間 ( またはある一部分、領域 ) を見た時の動き ( 変化量 ) を表したも では果たして、微分方程式の意味とは何でしよう ? 。 みる ~ 2.3 微分方程式の意味とは ? ~ 物理現象を数式の目でみて 2.3.1 モデル化 簡単にボールの垂直落下を手本にしてみます。 図 2.4 にその様子を絵にしてみました。

1 「全部アナログ回路で組めたら夢が広がりますな ! ! 」 「うちの会社にあったよ ! 」 「まさかアナコンがあるとは思わなかった w 」 前回、『技術部ならわかるアナログコンビュータ ~ ラブサーキット編 ~ 』が妙に大好評 来ていただいた方々からいろいろな感想をいただきました。 だったのでうかれている AKIBAJIN です wo ごきげんよう。 まえがき その通りです w 。 中にはこんな意見も・ 等々、いろいろありました。 「微分方程式を解いてこそのアナログコンピュータでしょ ? 」 「というか『 ~ ラブサーキット編 ~ 』、どこら辺にアナログコンピュータが 結局『アナログコンピュータ』とうたっていておきながら、微分方程式を解いていません 「えっ ? 、なんでラブサーキットなんだって ? 。ああ ~ 入編ですから ! 」 ・そのお ~ ってことで w 、『 ~ ラブサーキット編 ~ 』はそういうポジションということでご理解くだ ので、ちょっとは書いておくかと思い立って書き始めることにします。 ちゃったら、また『何も書いてない YO ! 』状態間違いなしだなあ・ さて、そんな浮かれてる気持ちも半分なのですが、「まずいなあ います。 今回こそは『微分方程式を解くアナログコンピュータ』をテーマに進めていきたいと思 さし、 w w wo AKIBAJIN 2014 / 04 / 28 ・」とビビり始めた こで夏コミ受かっ

2.4 微分方程式を解くということ ただし、ボールは如の高さから落下させるものとし、初速は 0 [ m / s ] ( 手はそっと離すだ け・・・ ) とします。この時の時間に対するボールの位置〃のを求めるとします。 ボールの動きを求めるには、まずボールに働いている力をすべて書き出します。 瞬間的にボールを見た場合、ボールには常に重力加速度虱 = 9.8 [ m / s2]) の力が働いてい ートンの運動方程式は、働く力を ます。でニュートンの運動方程式の登場です。 お [ N ] 、加速度を頃 m / s2 ] 、カが働く物体の質量を m [ kg ] とすると、 を = ma の関係があります。 4 ページ目でも話をしたとおり、加速度は距離の 2 階微分なので、 を = m 7 d2 禛 ) dt2 ( 2 ・ 1 ) と書くことができます。 ボールには重力がかかっているので、 ( 2 ・ 2 ) お = ー mg したがって、式 ( 2.1 ) 、式 ( 2.2 ) より、 d2 〃の 卍 2 d2 禛 ) dt2 このように、物理現象を数式で表すことをモデル化といいます。 物理現象をシミュレーションするまでの一連の操作をまとめると、 ( 1 ) 物理現象から微分方程式を組み立てる ( 2 ) 微分方程式を解く ( 3 ) 解けた式を基にシミュレーション ( 4 ) さらに厳密なシミュレーションにするために微分方程式を修正し、 ( 2 ) に戻る の操作を行います。 ( 2 ・ 3 ) ¯mg ( 2 ・ 4 ) 2 4 微分方程式を解くということ では微分方程式を解くということは一体どういう事でしよう ? 。 「微分方程式を解く」ということは、「微分方程式を微分表現が混ざっていない状態まで 十算 ( 変形 ) すること」を言います。言い換えれば、「関数ェのはどんな形をしているのか を求める操作」ということです。 一三ロ

111 目次 まえがき イントロダクション 第 1 章 前回のあらすじ . 1.2 今度こそ ( ? ) 目指すもの 微分方程式とは何だ ? 第 2 章 2.1 微分・積分とは何者だっ ! 2.2 微分方程式とは . 微分方程式の意味とは ? ~ 物理現象を数式の目でみてみる ~ 2.3 2.4 微分方程式を解くということ アナログコンピュータ基本のキ 第 3 章 3.1 微分方程式を解くために必要な回路 3.2 微分方程式を解いてみる テニスゲームを作ろう ! 第 4 章 4.1 基本設計 4.2 テニスゲームを作るには、何が必要か ? テニスゲームを設計しよう ~ サーブ編 ~ 第 5 章 5.1 運動方程式を立てる スケーリング 5.2 アナログコンヒ。ュータを組み立てる 5.3 5.4 シミュレーション結 . 果 第 6 章 まとめ 参考文献 あとがき -1 1 ・ 1 っ 0 っ ' っしー 1 -1 一 8 一 11 -1 1 っつっ つ」ワ 1 ワ 1 5 1 りー一 8 一 つ」ワ 1 っ 4 っ 4 っ 29 31 33

3 第 2 章微分方程式とは何だ ? 微分、積分っていう言葉は聞いたことあると思います。高校数学で「微分の逆が積分で ~ 」とか「微分は傾きで ~ 、積分は面積で ~ 」とか言いつつも、結局なにやってるのかよく わかってないまま計算方法だけを覚えてる、・・・なんて人はいるかも知れませんね wo でも 微分方程式っていう言葉は普段聞かない人もいるかと思います。むしろ微分積分の時と同 じく、結局何をやってるのかわからないまま問題だけを解いてるなんて人もいるかも知れ ません。 ざ ~ っとですが、微分方程式とは何者か ? 。微分方程式を解くってどんな意味か ? 。簡 単に説明しましよう。 2 ユ微分・積分とは何者だっ ! 微分方程式の話をする前に、微分・積分って一体なんだよ ! っていう話からしましよう。 よく「微分は積分の反対で、積分は微分の反対なんでしょ ? 」っていう学生さんがいる みたいですが、そんなアホつぼい回答は恥ずかしいから、今すぐやめましようね ? ( ピキ ピキ。 ちょっとわかっている人は「微分は傾きで、積分は面積を求めることなんでしょ ? 」と答 えるでしよう。 (a) 微分とは、瞬間を切り取って考えたもの ! (b) 積分とは、ちょっとの変化を足しあわせて みたものだ ! 図 2.1 微分・積分ってこんな感じ 0

29 第 6 章まとめ さて、今回はアナログコンピュータで微分方程式を解くための理論をガッツリ、実際に方 程式を解くまで行ってみました。いやあ、それにしても、作った積分器があまりにも減衰 する回路だったことは誤算だったような、わかっていたような w w w 。それはそれで、テ ニスゲームを作った時に個性が出るので、面白いとしましよう。 学校で習う物理は、高校までは、「この条件ではこうなります」というカンジで、数式を 暗記しておけばよかったわけですが、しかし大学レベルになると、空気抵抗や摩擦などの 条件が増えてくるため、微分方程式で表されるようになり、今度は微分方程式を解くとい う一手間が発生します。私がざっと見た限り、大学レベルの物理 ( 力学 ) の参考書は、運動 方程式 ( 微分方程式 ) の立て方と解き方について述べているものがほとんどでした。しか し、アナログコンピュータさえあれば、運動方程式を立てることができれば、後は解いて くれるというのが魅力的です ( というか、立て方がわからないので 1 冊買いました w 。も う社会人なのに「絶対単位が取れる ! 」っていうやっ w ) 。 今後は、まずは積分器の精度を何とかしましようか。今のままでも良いのですが、でき 今回は基本的な設計の仕方がわかったと ればもうちょっと精度をあげておきたいなあ・ ころで、次回は作った回路をベースに発展させていきたいと思います。 次回は最終回 ! になったらいいね w 。

第 2 章微分方程式とは何だ ? どんなおでも いまでんー すす - のス 、、の問題を解いマ ください んても -2 いのてすれ ? まがしマ ください てのこてて 安換 ! 、 ) 一う・い内・・形 ノだっ発がら ラブラス赤換しマ解く大法 答久を予測しマ解く大 をいう、、をは 、、れに 当マはまれば ? 、てこと え知マい当い 一。え象三 、、の変数は ごれだから : じや なるほー 、ト・今・いム / 特性ー 何にせよ、 手は めにソい 0 0 図 2.5 微分方程式を解くということ。何にせよ、手計算はめんどくさい ! ー こでは自力で解く詳しい説明は省きますが、大学の授業などで微分方程式を解く場合、 「微分方程式の形から最終的な解を予測して解く方法」と「ラブラス変換という操作を加え て簡単な方程式に変えてしまう方法」に分かれます。 自分はよく推理マンガに例えることがあるのですが、前者は地道に証拠を見つけて犯人 を探す王道なやり方。後者のラブラス変換は、マンガの世界からこっちの世界にやってき て原作者に問い詰めるという方法です。 後者のほうがチートすぎて簡単な気がしますが、原作者がなかなか口を割らない ( ラブ

11 アナログコンヒュータ基本 第 3 章 のキ アナログ回路でさまざまな計算ができるのは、『ラブサーキット編』でもお話ししたと 思います。今度こそ、微分方程式をアナログコンビュータで解いてみます。アナログコン ヒ。ュータの構成の仕方を説明しましよう。 3 ユ微分方程式を解くために必要な回路 微分方程式を解くには、最低限、次の 3 種類の回路があれば解くことができます。 3.1 ユ係数器 入力に対して、ん倍された電圧を出力します。図 3.1 ( a ) に回路図を示します。見ての通 り、ただの反転増幅回路です。回路方程式は式 ( 3.1 ) になります。 召 2 召 1 よく使う回路なので、図 3.1 ( b ) のような図記号で表します。図中のんには倍率が入りま すが、符号は省略します。 ( 3 ・ 1 ) ( 3.2 ) 一ル一塒 ( 3 ・ 3 ) R2 Vin RI Vout Vout Vin 0 十 (b) 図記号 (a) 回路図 係数器 図 3.1

18 d2 ェの dt2 積分器 1 dx(t) 第 3 章 d2 ェの dt2 アナログコンピュータ基本のキ ーエの 積分器 1 dx の dt ェ ( の 積分器 2 積分器 2 図 3.7 求めたい関数が出るまで積分器を接 続する d2x(t) 1 ーエ ( の 積分器 1 に一奴のをフィードバック ! dt2 図 3.9 積分器 1 図 3.8 dx(t) dt 1 1 積分器 2 初期値も入れられるようにする 3.2 微分方程式を解いてみる さて、テニスゲームを本題にするまえに、まずは簡単な式を解いてみようと思います。手 始めに、式 ( 3.10 ) を解いてみます。 d2 ) dt2 ただし、初期値は以下のとおりとします。 dx(t) ( 3 ・ 10 ) ちなみに式 ( 3.10 ) を解くと、 s ⅲ関数が出てきます。なぜこの式を解いたのかは、おいお い説明します。 3.2 ユ回路を組み立てる 『ラブサーキット編』にて、「アナログコンヒ。ュータを組み立てる」 = 「アナログ回路を数 左辺に来ているのでこれで良し ) ( 1 ) まずこの式を高次の微分項が左辺にくるように変形します ( この場合は d2 奴 t ) / dt2 ナログ回路で微分方程式解く際、キモになるのが積分器です。 を解くということは、関数ェのはどんな形をしているのかを求める操作といいました。 式通りに接続する」ということと解説しました。 7 ページ目でもお話した通り、微分方程式 が ア

3.2 微分方程式を解いてみる は、常に紙が送られていて、電圧によって、ペンが振れるというものです。 マンガで出てくる嘘発見器はこんな感じですよねえ。 オシロスコープ 21 ドラマや 結果を画面に出力すれば、演算結果がグラフのように描かれます。ペンレコーダの ように、横軸を時間にして描画させることも、 XY プロッタのように縦軸、横軸とも ・電圧計 台あれば十分足りてしまいますね。 んなに早い速度の波形でも見ることができます。 できます。また、ディジタルオシロスコープなら、 に電圧にして描画させる ()Y モードとか、リサージュモードとか言います ) ことも このご時世では、オシロスコープ 1 トリガーをシングルにすれば、ど なげば直読できます。 グラフ状にならなくても、値さえ分かればいいやという場合は、出力に電圧計をつ