3 第 2 章微分方程式とは何だ ? 微分、積分っていう言葉は聞いたことあると思います。高校数学で「微分の逆が積分で ~ 」とか「微分は傾きで ~ 、積分は面積で ~ 」とか言いつつも、結局なにやってるのかよく わかってないまま計算方法だけを覚えてる、・・・なんて人はいるかも知れませんね wo でも 微分方程式っていう言葉は普段聞かない人もいるかと思います。むしろ微分積分の時と同 じく、結局何をやってるのかわからないまま問題だけを解いてるなんて人もいるかも知れ ません。 ざ ~ っとですが、微分方程式とは何者か ? 。微分方程式を解くってどんな意味か ? 。簡 単に説明しましよう。 2 ユ微分・積分とは何者だっ ! 微分方程式の話をする前に、微分・積分って一体なんだよ ! っていう話からしましよう。 よく「微分は積分の反対で、積分は微分の反対なんでしょ ? 」っていう学生さんがいる みたいですが、そんなアホつぼい回答は恥ずかしいから、今すぐやめましようね ? ( ピキ ピキ。 ちょっとわかっている人は「微分は傾きで、積分は面積を求めることなんでしょ ? 」と答 えるでしよう。 (a) 微分とは、瞬間を切り取って考えたもの ! (b) 積分とは、ちょっとの変化を足しあわせて みたものだ ! 図 2.1 微分・積分ってこんな感じ 0
18 d2 ェの dt2 積分器 1 dx(t) 第 3 章 d2 ェの dt2 アナログコンピュータ基本のキ ーエの 積分器 1 dx の dt ェ ( の 積分器 2 積分器 2 図 3.7 求めたい関数が出るまで積分器を接 続する d2x(t) 1 ーエ ( の 積分器 1 に一奴のをフィードバック ! dt2 図 3.9 積分器 1 図 3.8 dx(t) dt 1 1 積分器 2 初期値も入れられるようにする 3.2 微分方程式を解いてみる さて、テニスゲームを本題にするまえに、まずは簡単な式を解いてみようと思います。手 始めに、式 ( 3.10 ) を解いてみます。 d2 ) dt2 ただし、初期値は以下のとおりとします。 dx(t) ( 3 ・ 10 ) ちなみに式 ( 3.10 ) を解くと、 s ⅲ関数が出てきます。なぜこの式を解いたのかは、おいお い説明します。 3.2 ユ回路を組み立てる 『ラブサーキット編』にて、「アナログコンヒ。ュータを組み立てる」 = 「アナログ回路を数 左辺に来ているのでこれで良し ) ( 1 ) まずこの式を高次の微分項が左辺にくるように変形します ( この場合は d2 奴 t ) / dt2 ナログ回路で微分方程式解く際、キモになるのが積分器です。 を解くということは、関数ェのはどんな形をしているのかを求める操作といいました。 式通りに接続する」ということと解説しました。 7 ページ目でもお話した通り、微分方程式 が ア
3.2 ープ 微分方程式を解いてみる オシロスコ d2 ) dt2 19 XY モードで観測 CHI CH2 dx(t) dt 1 1 図 3.10 組み立てたアナログコンヒ。ュ ( 2 ) d2 ェの / d 卩を t で積分すると d ェの / 卍です。また d ェの / 市を t で積分すればェのに なります。つまり、積分器を 2 つ使えばェのを求めることができます ( 図 3.7 ) 。この ように、求めたい関数が出るまで、積分器をつないでいきます。 ( 3 ) さて、式 ( 3.10 ) は、 d2x(t)/dt2 と一ェのが同じであるといっています。そこで、 x(t) を係数器で一 1 倍にしたものを、積分器 1 の入力に返します ( 図 3.8 ) 。 ( 4 ) 式 ( 3.10 ) を解くには初期値が必要です。そこで、積分器 2 から初期値を入れられるよ うにします ( 図 3.9 ) 完成した回路を図 3.10 に示します。 3.2.2 単位を変換する→その上スケーリングもする 当たり前ですが、アナログ電子回路で計算するのですから、入力する値も出力する値も もちろん電圧です。でも、実際解こうとしているものは、速度や距離などの電圧以外の物 理量です。また、解いた微分方程式によっては、目視出来ないほど早かったり、オペアンプ の動作速度 ( 帯域幅やスルーレートなど ) がついていけなかったり、オペアンプの出力が 飽和してしまうなんてことも考えられます。 そこで、オペアンプが演算可能なレベルにしたり、目視できるようにしたり、変数を変換 することをスケーリングといいます ( 特に、単位時間を変換することをタイムスケーリン グといいます ) 。 物理量をスケーリング アナログコンピュータが扱うのは電圧なので、 I[V] あたりの物理量に単位変換をします。 そこで、数値になっている物理量を、 X の [ V ] = 住ェのとなるような変換係数住 ( この住を
2.1 微分・積分とは何者だっ ! この△はデルタ (Delta) といい、微小な ~ という意味です。 すっこ一く短 い時間での傾きを求めているとも言い換えることができます。 この式は、以下のようにも書き換える事ができます。 dx(t) これが微分というものです。 積分とは 5 この式は、 では今度は、 A 駅から B 駅までの距離を速度メータの表示から割り出すにはどうすれば 積分の逆は微分だよね ? 」という人がいると思いますが、確かに計算方法は逆の操作をし そして、よく微分積分の話が出ると、「積分は、微分する前の関数を求めるヤツだから、 ェの一 この操作を数式で書くと、以下のようになります。 グラフの面積を求めている事と同じことをしています。 る瞬間での速度から求めた距離を足し合わせればいいわけです。行っている操作としては、 わせればいいのです。より正確に距離を算出するには、記録する間隔をどんどん短く、あ いいでしよう ? 。今度はさっきの逆、一定時間ごとに速度を記録、距離を算出して足し合 ていることになります。でも、せつかくなので、意味も含めて覚えてくれていると嬉しい なぁ ( 、 の微分 ( 2 階微分 * 1 ) ということになります。 そう、速度を微分すればいいわけです。つまり、速度は距離の微分、加速度は距離の微分 では瞬間的な加速度を求めるにはどうすればいいでしよう ? なら加速度は負、変化なしならゼロになります。 け速度が変化したかというものです。速度が上がっているなら加速度は正、下がっている おまけですが、加速度について話をしておきましよう。加速度は加速の度合い、どれだ おまけですが、加速度についても * 1 れ回微分をしたことをれ階の微分といいます dt2 d2 ) dx(t)
ロ色 付録 A 初期値も設定できる積分器 図 A. 3 作った積分器の使用例。立てて実装する。
3.1 微分方程式を解くために必要な回路 Vin vout Vin 十 (a) 回路図 Reset Vin 図 3.4 Vout (b) 図記号 図 3.3 積分器 リセット回路付き積分器 十 Vout 0 SW 13 ( 3.7 ) ただし、図 3.3 ( a ) の回路のままでは、オペアンプのオフセット電圧などの微小な電圧が 少しずっ積み重なって、出力が勝手に出てきてしまいます。そこで、コンデンサと並列に アナログスイッチを接続して、出力をリセットできるようにします。 図 3.4 にリセット回路付きの積分器を示します。 初期値も入れられるようにする 図 3.4 の回路は、リセットを解除した瞬間は ( 0 ) = 0 [ V ] です。このままでも使えま すが、 6 ページ目でお話したような運動方程式などの微分方程式を解く場合、初期値も考え なければなりません。 そこで、リセット回路付き積分器に、更に改良を入れて、初期値も代入できるようにした ものが、図 3.5 です。 この回路は SWI ~ SW3 を制御することで、表 3.1 の動作をします。それぞれの動作に ついて説明します。
14 Vin VO RI ↑ SW 1 R3 第 3 章 ↓ SW2 R2 Vin Vout (a) 回路図 アナログコンヒ。ュータ基本のキ Vout VO (b) 図記号 図 3.5 初期値も人れられる積分器 ( 1 ) 演算 ( 積分動作 ) ていた場合は、 れ電 ) = の演算を行います。 ( 2 ) 保持 ( ホールド ) {SW1,SW2,SW3}={0,0,0} の時、 ます。 ( 3 ) 初期値設定モード ( 追従モード ) は、不完全積分回路といって、通常、 {SW1,SW2,SW3}={1,0,0} の時、入力電圧を積分します。この時、初期値がセットされ 1 ( の卍 + % 0 ) RC ( 3 ・ 8 ) コンデンサ C にチャージされた出力電圧を保持し ト〇技等の本ではローパスフィルタとしてよく載っ {SW1,SW2,SW3}={0,I,I} の時、初期値厩 ( 0 ) をセットできます。この時の回路構成 ので、 5 ァ [ s ] 経てば 99 [ % ] 充電されています ) 。 圧が演算に使われてしまいますので、注意が必要です ( おおよそ、時定数がア =CR2[s] な ですぐに演算モードにすると、抵抗が並列に接続されているため、充電しきっていない電 また、保持モードにするまでは、出力は入力協に追従する状態になるのがミソです。 ていますね。協に初期値電圧を入力すると、初期値がコンデンサ C にチャージされます。
35 付録 A 初期値も設定できる積分器 今回製作した、初期値も設定できる積分器の回路図を図 A. 1 に示します。 # 10 R3 51k 2 1 # 0 # 1 # 15 Y-CO U2 4053 CI 10u U2 4053 # 13 IX # 12 OX VRI 100k RI 51k CN 1 Vin Vout # 14 X.COM UI LM358 # 11 R2 51k # 1 # 0 # 4 Z.COM U2 4053 # 9 LM358 CN2 十 - 0 Z 1 っ 4 っノ SWI SW2 SW3 CN3 4 よっ 4 っ VCC GND VEE -0 8 フ . INH VCC GND VEE U2 4053 LM358 図 A. 1 初期値も設定できる積分器回路図 CN4 V +
第 2 章微分方程式とは何だ ? 4 8 っー CD 4 っ 0 -1- 三、 l-u 芝 P のの dS 60km/h A 駅 距離 00E 図 2.2 速度メータは短い時間で移動した速 度を求めている。 これが微分 ! 。 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Time[sec] 一定時間ごとの速度。グラフの面積 図 2.3 が走った距離になる。積分 = 面積というの はそういうことかもね。 厳密にいうなら、 微分はある瞬間的な時間 ( またはある一部分、領域 ) を見た時の動き ( または変化量 ) を表したもの 積分はある瞬間的な時間 ( またはある一部分、領域 ) を見た時の動き ( または変化量 ) を足しあわせて長い時間 ( または領域 ) で見た場合のもの と言えます。 イラストにすると、図 2.1 のような感じです。微分はある瞬間を切り取って考えたもの、 つまり一枚の写真のようなものと言えます。積分はこのちょっとの変化を足しあわせてみ た、連続写真や、映画のフィルムのようなものと言えます。 2 ユユ距離と速度 ( ついでに加速度 ) の関係 べタベタですが、微分、積分は距離と速度と加速度の関係で考えた方がイメージが付き やすいです。 A 駅から B 駅まで電車に乗っているところを想像してみてください ( 図 2.2 ) 。 微分とは 速度は距離 + 時間で求めることができるのは、小学校で習ったと思います。では電車の 速度メータはどうやって今の速度を求めているのでしよう ? 。速度メータは時速で表示さ れていると思いますが、 1 時間待たないと表示されないわけでもないわけではないですよ ね。常に現在の速度を表示しつづけているわけです。そう、常に”現在の”速度をね ? 。 そうです。表示されているのは瞬間的な、すつご一く短い時間での移動速度を求めてい るわけです。数式で書くと以下のようになります。 △ lim △ t → 0
付録 A 初期値も設定できる積分器 目次 35