< 「一般入試は従来どおり学力で決めるとして、推薦相手の言葉の潜在的意味のうち、否定しやすい要素だ 入試は選抜方法の多様化に応じて、小論文の問題文また けをクローズアップして批判する論法は、手軽なのでつ は課題図書を事前に公表したらどうだろう。試験場でい い頼ってしまいがちな詭弁です。最初にうつかりそちら きなり問題文を見せられる従来型より準備しやすく、受 へ行ってしまうと、指摘されてもなかなか改めづらくな 験生の増加が期待できるだろう」 ってしま、つので、くれぐれも注意すべきです。 「いや、問題文の公表などしたら、難しい印象を与 えて却って敬遠されてしまうよ」 これは私の属する会議で実際にあったやりとりですが 原 の ( < が私 ) 、氏が「寛容の原則」に反していることは明 容 らかでしよう。事前公表する問題文の難易度はいろいろ 考えられますが、ことさらに「難しい文章を選ぶ場合」 真 を想定して、「だから敬遠される」と否定するのは、無 意味な自作自演と一一一〔うべきです。受験生増を見込んだ提解 < 案である以上、印象の悪い小難しい本を指定する案であ るはずがありません。興味をもって読めて、高校教師が 指導やアドバイスをしやすく、大学入学後の授業内容や 傾向がうかがえるような、親しみやすい文章が想定され ているのは当然でしよう。 第 5 章論理学の原理幻 解釈 2 ()—偽 ) 偽である状態よりも真である状態を 正常と見なせ !

そこで、論理のアルゴリズムの一つ、「背理法」とい うのを用います。証明したい命題 < をあえて否定したも 論理と直観を併用すると ? のを仮定として置き、そこから矛盾を導き、やつばり命 マ非存在証明 題 < を否定すると不合理なんだな、つまり < は真なのだ、 と証明する方法です ( 5 章肥節参照 ) 。そこで、最大の アルゴリズム ( 論理 ) とヒューリスティクス ( 発見法 ) 素数は無いのではと当たりをつけて、それを否定した命 は、単に、一一者択一的に競うだけではありません。一つ題「最大の素数は存在する」を仮定として置いてみます。 の証明の中に、アルゴリズムとヒューリスティクスがと その最大の素数を Z と表記しましよう。それともう一 もに使われるのが普通です。代表的な例として、「最大つ、次のような数を考えてみます。 M " ( 1 >< 2 >< 3 x 4 x : : x N) + 1 の素数は存在しない」ことの証明を見てみましよう。 素数とは、 1 とそれ自身以外の自然数では割り切れな は、その作り方からして、 Z より大きい。 Z は最大 い自然数のことです。では、素数のうち一番大きなものの素数なのだから、は素数ではないはずです。素数で は存在するのか。つまり、無限にある自然数をどんどんないからにはは素因数分解でき、次のように表わせま 大きいほうへたどってゆくと、もう素数は現われない、 す ( 素因数分解とは、 x をはさんだ個々の数が素数にな という限界はあるのか。これは単純な問いではありまするまで掛け算を分解することです ) 。 M = a x b x c x d x e x ・ ・ X z が、個人の脳の性能を超えた問題でしよう。どんなに賢 い人でも、直観で考えていたのでは絶対に正解を思いっ は、その形からして、 Z 以下の自然数で割ると必す くことができません。 1 余るのでしたから、からまでの素数はどれも z よ 064

2.13 「」と「ならば」から「」を導くことを拒否 事実と論理は する人とは、論争を始めることすらできません。他方、 区別できるか ? 「プラジルの首都はソウルである」と主張する人は、事 マ経験的事実と論理的真理 実の認識を誤ってはいますが、コミュニケ 1 ションを否 定するには至っていません。地図やテレビや百科事典を 事実として何が正しいかは、経験によって決められる証拠として持ち出して、同じ言葉で、事の真偽を争うこ ので、事実はしばしば「経験的事実ーと呼ばれます。プとができるからです。 ラジルの首都はどこか、ホワイトハウスは本当に白いの経験的事実と論理的真理というのは、しかしそれほど か、世界初のテレビ放送は西暦何年だったか。これらは違うものだろうか、と疑う人もいることでしよう。「カ 現地に行ったり本を参照したりして「経験的に」確かめプトムシは 6 本脚である」は経験的事実、「左利きは右 なければなりません。つまり、世界がどういう姿をして脳人間でありあなたが左利きであるならばあなたは右脳 いるかによって、真偽が決まるのです。 人間である」は論理的真理。前者が正しいかどうかは事 それに対して、論理的真理は、経験で確かめる必要が実を観察せねばならないが、後者は言葉遣いを学ぶだけ ありません。世界がどのような姿をしていようと、「」で真偽が判定できるから。しかし、「カプトムシは 6 本 と「ならば」が認められれば「 c 」も同時に認めら脚である」という判断は、次のような内部構造をした判 れねばならないでしよう。これを否定することは、世界断の短縮形だったのかもしれません。 を言語で表現する行為を否定することであり、コミュニ 「昆虫が 6 本脚であり、カプトムシが昆虫であるなら ケーションを否定することです。 ば、カプトムシは 6 本脚である」 078

できません。そこでここでも、「〔は有理数である、と でしよ、つ。 有理数の中にがメンバ 1 として属していないことを仮定してしまいましよう。 = = 明したいわけですから、これも「非存在」の証明です有理数なのだから、Ⅱ a/b と書けるはずです。 ね。有理数は無限にたくさんあるので、一々全部調べては既約分数、つまりそれ以上は約分できない分数です。 両辺を 2 乗すると、 2 日 a2/ 、寸。よって 2b ~ 日 a 」。左辺 そのどれもがでないことを確かめるという直接証明は は偶数なので、は 2 乗すると偶数になる数。奇数は 2 乗すると必ず奇数になるため、は奇数ではなく偶数。 こうして、 a Ⅱ 2c と書き直すことができます。ただし は適当な整数。 Ⅱ 4c2 。つまり b2 日 2c2 。 すると、 2b ~ Ⅱ ( 2 象 は、 2 乗すると偶数になる数であることがわかります。 つまりは偶数なのです。 しかしこれは変ですね。も偶数、も偶数。 2 とい う公約数を持ってしまいます。これは、 / は既約分 数であるという仮定に反しています。つまり、は既約 分数で表わせる ( 有理数である ) という仮定が間違って いたことを示しています。こうして、は有理数に属し ていないことが証明できました。 この中に a が属さないことの証明 ( 非存在の証明 ) . a が属していると仮定 ↓ 矛盾 仮定の否定 背理法 第 5 章論理学の原理

否定される場合にあたります。ですから「彼はウソをつ かないこともある」とい、つのが本当の非 < とい、つことに なるでしよ、つ。 非も同じです。「全員 7 月生まれでない」とすると、 全部否定なのか部分否定なのかが曖昧です。がメンバ 定 否 全部否定 いないに違いない いる可能性はない いる可能性はある いるかもしれない 部分肯定 部分否定 宇宙人はいない かもしれない いない可能性がある いるに違いない 全部肯定 定 ーに関する全部肯定なので、その否定は、メンバーにつ いて全部肯定はされないこと、つまり部分否定としなけ ればなりません。 O も人間のメノヾ ーこっ、ての全部肯定なので、理屈 は同じです。 Q は、場所についての部分肯定です。よって非は、 場所について部分肯定しない発言でなければなりませ ん。つまり、場所の全部否定になりますね。 対象に関する全部否定である g-@は、対象を全部は否定 しない、 つまり部分肯定すれば非になります。 なにやら厄介そうなのが。「字宙人はいるかもしれ ない」としないよう気をつけましよう。は可能性に関 する部分否定ですから、可能性を部分否定しないように、 つまり全部肯定すればいい。 「いるに違いない」と全面 肯定するのです。 これらのパターンを覚えておけば、一見曖味な肯定・ 否定の言い回しの場合でも、真の意味を見失うことなく、 合理的な議論から外れすにいられるはすです。 第 5 章論理学の原理叨

■ 00 「ヒマラヤの雪男は哺乳類でないということはない」 いの日常言語の含蓄に近くなっていますね。 「でないーを文全体の単純な否定と考えれば、「ヒマ もう一つの注意すべき点はこうです。「クジラは哺乳 ラヤの雪男は哺乳類である、ということはない、という 類でないということはない [ と「クジラは哺乳類である」 が同じことだ、というのは自然に聞こえますが、次の文ことはない、という二重否定は、二度の反転によって肯 定文「ヒマラヤの雪男は哺乳類である」になります。こ はど、つで 1 レよ、つ。 の場合、ヒマラヤの雪男が存在し、そいつは哺乳類だと いうことが暗に主張されています。 しかし、「でないーを文全体ではなく、述語だけに、 かる読み方も可能でしよう。その場合、二重否定文は 「〈ヒマラヤの雪男は〈哺乳類でない〉〉ということはな い」というふうに、第一の否定を述語否定、第二の否定 を文否定と解する読み方ができます。ここでは、雪男が 哺乳類以外の何物かだ、ということが否定されています から、雪男が存在しない可能性も考慮された言い方にな っています。 、は曖昧なので、実証主義的な このよ、つに、「でなし 否定なのか単純な否定なのか、文否定なのか述語否定な 、、ハッキリさせておくことが重要ですね。 第 5 章論理学の原理 偽 真 偽 ( 3 章 10 節も参照 ) 185

解になっていますから、否定として「日本の首都は東京雪女の血液型は < 型でない、とするのがまずいことは 一目瞭然でしよう。雪女が存在しないとすれば、その血 でないーと述べてかまわないというだけです。この暗黙 の了解がない場合は困ったことになりかねません。たと液型について語られたことはすべて偽と言わざるをえ す、肯定文も否定文も偽になってしまう。論理学ではこ えば次の文の否定は何でしようか。 れは避けねばなりません。偽なる文の否定は必ず真にな 「雪女の血液型は < 型である」 らねばならないのです。 したがって、「雪女の血液型は < 型である、の否定は 「雪女の血液型は < 型である、でない」となります。も 、つ よ っと器用な言い方では、「雪女の血液型は < 型であると し な 定 いう事実はないーとでもなるでしようか。こうすれば、 を 雪女の血液型が 0 型や型であるような場合ととも 体 に、雪女がそもそも存在せずその血液型も無いという、 なる甦 であげ根本的な否定をも含めることができます。 真なる文の否定は必ず偽、偽なる文の否定は必ず真。 これが成り立つよう、否定は文全体にかかるものとして まま AJ < る理解するのが論理学の鉄則です。偽なる文の否定も偽に 定なるようなことがもし起きたら、否定の仕方のどこがま ずかったのか点検してみてください。 A は B である 定一 第 3 章論理学とは何かⅡ

3.10 通はそれでいいのですが、厳密には、「日本の首都は東 京でなしー 、は論理的な否定とは言えません。なぜなら、 偽なる文の否定は必ず真 ? 「でないーが「東京である」という述語だけを修飾して ▽文否定と述語否定 いて、文全体にかかっていないように読めるからです。 つまり、「日本の首都は東京でない」は、「日本の首都 論理学できわめて重要な概念として、「否定ーがあり は東京以外のところである」とも読めてしまう。これは、 ます。否定は、日常一一一一口語では「 5 でないーという語で表日本の首都があること、日本というものがあること、 わされますが、あくまで文を修飾する語であることに注等々を暗に意味しています。しかし、日本や、日本の首 意してください。「金属でないもの , とか「非人間的ー都なるものの存在を保証しているようでは、「日本の首 などと言うときの「でないもの。「非」は、日常言語的都は東京である」の本当の否定になっていません。きち には「金属」「人間的」を否定する語と見られますが、んと完膚なきまでに否定するには、「日本の首都は東京 論理学では、そうした語は否定とは呼びません。否定は、である」が成り立たないすべての場合を無条件に含めね あくまで文全体にくつついて、真なる文を偽なる文に、 ばなりません。すなわち、日本などというものが実在し 偽なる文を真なる文に変換する副詞なのです。 ない場合、日本が実在しても首都などない場合、等々を たとえば、「日本の首都は東京である」の否定は、「日も視野に入れなければならないのです。 本の首都は東京である、でない」。なんだか不恰好な日 こうして、「日本の首都は東京である」の論理的な否 本語です。もうちょっとスマートに「日本の首都は東京定は、「日本の首都は東京である、でない。となります。 でない。と書いてもよさそうなものですね。たしかに普通常は、主語が指すものが存在していることは暗黙の了 IIO

5.12 ポはいる」と仮定しましよう。そして「トンボがいれば、 何かが「ない」ことを その習性からしばしば音を立てて飛行し、私たちの目を どうやって証明する ? 引くーという前提と組み合わせましよう。「トンボか私 マ亠月理法 たちの目を引く」という結論が出てきます。しかしこれ は、「誰にもトンボが見えていない という事実との間 証明には、直接証明法と間接証明法があります。たとに矛盾を生じます。ということは ( 前提は常識だから否 えばある教室で、「この部屋に人間以外の動物がいる」定できないとして ) もともと根拠薄弱だった仮定が間違 ことを証明したいとしましよう。壁や窓枠や机の下などっていたということです。このように、「真だとすると を見て、ハエかクモを一匹でも見つければ、証明は完了事実に合わない、だから偽だ」とするのが「背理法」と ですね。これは、直接に実例を提一小することで証明して呼ばれる間接証明法です。 いるので、直接証明法です。 背理法は、アリバイ証明など犯罪捜査でも使われる推 今度は、「この部屋にトンボはいない , ことを証明し論です。ある人物が「 < 市にいなかった」ことは直接に たいとしましよう。この部屋には机や椅子の陰になった証明しようがないので、まず「 < 市にいた」と仮定し、 空間がたくさんあり、全員で手分けして調べてみても、「ならば同時に市にはいないー「実際はそのとき市に 同時にすべての場所を視野に収めることはできません。 いた」という矛盾から、仮定を否定するのです。 つまり、何かが「存在しないーことを直接に観察するこ トンポやアリバイの例はあくまで確率的な証明です とはできません。 が、「厳密な証明」の例として、数学の背理法の実例を そこで間接証明法に頼ることとなります。まず「トン見ておきましよう。が有理数でないことの証明が手頃 200

非この部屋には 7 月生まれでない人がいる 「宇宙人はいないかもしれな 非 0 宇宙に憬れない人がいる い」の否定文は ? 非どこでも人が殺されることはない。 マ部分否定と全部否定 非私は仲良くできる人がいる。 非字宙人はいるに違いない。 次の文の否定を作ってみてください。曖味さのない明 < は、よく次のように「否定ーしてしまう人がいます。 暸な文を心掛けてみましよう。 「彼はいつもウソをつかない」 < 彼はいつもウソをつく。 しかしこれは「決してウソをつかないーという意味な この部屋にいる人は全員 7 月生まれだ。 のか、「いつもウソをつくわけではないーという意味な O 誰もが宇宙に憬れている。 のか、曖味です。というより前者の意味に取られるのが どこかで人が殺されている。 自然でしよう。しかし「いつもウソをつくー全体の否定 私は誰とも仲良くできない。 になっているのは後者です。 < は時間に関する全部肯定 I-L 字宙人はいないかもしれない。 でしたから、その否定は、時間に関し全部肯定されない いかがでしようか。これまでとくに論理学を学んだこようにすること、つまり時間的な部分否定となります。 とがなくて、右の六つを正しく「否定」できた人は、か「いつもウソをつく、わけではない っ士小り・「と」には なり論理的な素質に恵まれていると言えるでしよう。正ホントのことも言う」。さらに厳密には、彼が何も言わ 解は、順にこ、つなります。 ないとか、ウソでもホントでもない無意味なことを口走 非彼はウソをつかないこともある。 る場合も考えられ、それも「彼はいつもウソをつく」が 192