第 10 章シンタクスの視点から論理学のゴールに迫る 理解するために次のような数学の問題を考えてみよう。 【問題】 sin 日十 cos 〃 = とする。このとき , sin 2 日を求めよ。 これをこんな風に解いた人がいるとしよう。 253 ええと , どうやったらいいのかな。そもそも , 「サイン」 , 「コサイン」って何だっけ。た しか三角形に関係あったと思うけどわすれちゃった。よくわからないけど , とにかく sin 〃十 cos 日 = の両辺を 2 乗してみよう。 sin2 日十 2 sin 日 cos 日十 cos2 〃 = 2 そういえば , sin2 日十 cos2 日 = 1 じゃなかったつけ。こいつを代入してみよう。 両辺から 1 を引いたらすっきりするぞ。 1 十 2 sin 日 cos 日 = 2 になった。 式の意味はわからないが , あれま。でちゃった。答えは 1 だ。 sin 2 日 = 1 やれ。 どうしよう。そうだ , 2 sin 〃 cos 日 = 1 たしか 2 sin 日 cos 日 = sin 2 〃って公式があった。こいつを代入して 闇雲に変形していたら目指す答えが出てきた。おおかたの受験生に ・そのときに , 公式と呼ばれるいつでも使ってよい式を導入して目標となる式を導いてい を仮定と呼ばう ) から , 目標となる式をみちびくということである。 ・われわれが普通「証明問題を解く」と呼んでいるのは , 問題に与えられた特定の式 ( これ 目するべきことは , るのに対し , ( 2 ) の式はいつでも成り立つ式で , どんな問題においても使って良い式だ。ここて圧 この 2 種類の式はちょっと性格が違う。 ( 1 ) の式はこの問題でだけ成り立っと仮定される式であ ( 2 ) その他に , sin20 十 cos29=1 と 2sin0cos9=sin20 といういわゆる「公式」を使った。 ( 1 ) 出発点となったのは , sin9 十 cos0=00 これは問題で与えられた仮定となる式である。 いまの数学の問題で使った式を整理してみよう。 仮定からの演繹 視の立場つまりシンタクスの立場に立って行えるようなものなのだ。 件についての考慮は proof の構成には必要ない。つまりここで言う proof は , 全く意味・真理無 も proof は構成できるということがわかる。「→」が「ならば」であるとか , 「 A → B 」の真理条 こういった経験はあるだろう。ここで P → P の proof を見直してみると , 式の形だけを見ていて る。 という 2 つの点にまとめられる。 、ア こで言う与えられた特定の仮定から出発して目標となる式に

第 11 章めくるめく非古典論理の世界にようこそ ! 283 つまり , RG / 2 に ) v R ( にに ) は真だから , そこから論理的 に出てくる P も真だ , とされたわけだ。 そして , なぜこの仮定が正しいとされるのかと言うと , そ れが排中律 A V—•A の形をしているからなのである。しか し , この証明が腑に落ちないャン君は次のように言う。 ャン : 結局 v2 は有理数 , 無理数 ? それに決着をつ けないで , ただ単に排中律の形をしているという だけの理由で , 頭ごなしに「 v/2 には有理数であ るかそうでないかのいずれかである」は正しい , と言われてもなあ・・ ダヴィッド : 君は , あることが成り立っているというこ とと , それがばくらにわかるということを混同し R 2 の V•R 2 の prem R 2 の prem R ( 、 / 2 つ→ p ーみ intro Prem ー。 R ( つ→ P P V elim ー今 intro てない ? ばくにだって v'2 にが有理数なのかどうかはわからない。それどころか , 人類の数学の能力のすべてを使っても , この問題に決着はつけられないかもしれない よね。でも , 真偽を確かめる手段がわれわれにはないということから , それが真でも 偽でもないということに飛躍しちゃいけないと思うよ。人間に知ることができるかど うかとは関係なしに , 数の世界にはにという数があって , それは有理数かそうで ないかのどっちかに決まっているんだから , 少なくともどっちかであるということじ たいは主張してかまわないんじゃないの。 ャン : ええっ ? 君は人間が数学をやっていることとは独立に , 数の世界というのがあると 考えているの ? 数ってのは人間が発明したものでしよ。だから , 人間につくること ができなかったら , そんな数は存在しないわけだし , 人間に確かめる手段がないよう なことがらがそれでも , どこかで真か偽のどちらかに決まっているなんてナンセンス じゃないか。 を使うなと言ってるのと同じだぜ。どんな数学になるのかお手並み拝見といこうか ダヴィッド : 困るのは君の方だろ。数学者に排中律を使うなと言うのはボクサーにげんこっ 法も排中律も使い放題で数学をやっていると , いまに痛い目に遭うぞ。 ャン : そこまで言うんだったらそうするさ。でもね , そんな風に人間の限界を無視して背理 よ。それとも君は僕たちの数学とは違った数学を始めるつもり ? 数が存在すると言っちゃいけないなんてことになったら , 数学なんてやってられない ろ ? 実際にそういう数の実例をつくったりつくる方法を見つけるまでは , そういう とあるんでしょ , というやり方 , つまり背理法を使った証明はそれこそ日常茶飯事だ るということを証明するのに , そういう数がないと仮定すると矛盾しちゃうからきっ あるなんて考え方に立ってやられていないもん。これこれの性質を持った数が存在す ダヴィッド : 君こそおかしいよ。だって現に数学はわれわれにつくることのできる数だけが

16 第 2 章 論理学の人工言語をつくる 2.1 2.1.1 自然言語から人工言語へ 論理学か人工言語を使うわけ 本書の後ろの方をべらべらとめくってみてほしい。どう ? 目がチカチカするでしよう ? 現 代の論理学は , 記号論理学 (symboliclogic) と呼ばれているくらいで , やたらと記号を使う。な ぜこんななじみのない記号言語を使うのだろう。われわれは日本語 , 英語 , 工チオピア語 , タイ 語などといういわゆる自然言語 (naturallanguage) でものを考え , 論証するのだから , こんな 記号は余分ではないか ? なぜ現代の論理学はだれもしゃべらない人工言語 (artificial lan- guage) を使うのだろうか ? はは一ん。さては , 素人を論理学から遠ざけるための陰謀だな ? そうではない。これまでに次のことが確認された。 ( 1 ) 論理学の目標は , 命題の正しさ ( 真理 ) といちおう区別された意味での論証の妥当性とはなにかをはっきりさせることにある。 ( 2 ) そのた めに論証の内容のことはいったん忘れて , 論証の形式のみに注目する必要がある。 ( 3 ) その際「で ない」 , 「または」 , 「ならば」 , 「すべて」 , 「 Every 」などのいわゆる論理定項の振る舞いに注目す る必要がある。 現代論理学が積極的に記号言語を用いるのは , そのほうがこれらの課題をうまく果たすことが できるからだ。もちろん自然言語だってそれなりの形式 , つまり文法形式 (grammatical form) をもっているから , 自然言語の表記法をそのままっかって論理学をやろうと思えばできないわけ ではない。しかし , 自然言語は論理的に出てくるということに関係する命題の形式 ( これはしば しば論理形式 (logicalform) と言われる ) を表示するにはあまり都合良くできていない。たとえ 秀明は駿を尊敬している 駿は秀明に尊敬されている ジョンはマロリーを憎んでいる マロリーはジョンに憎まれている これらのペアは , 上の命題と下の命題が同じことを述べており , 上から下も , 下から上も論理

第 4 章機械もすなる論理学 4.1.7 妥当性 , トートロジー性 , 論理的同値性の判定とタブロー ・ , An から結論 C を導く論証が妥当である式集合 { AI , ・論理式 A がトートロジーである {•A) が矛盾している。 矛盾している。 ・前提 AI , A2 (C) が 101 という関係があった ( 66 ページの 3.7.5 を見よ ) 。したがってタブローは論証の妥当性や論理式の トートロジー性の判定方法としても用いることができる。その判定基準はほとんど明らかだけれ ど , 念のために書いておくと次のようになる。 【判定基準】 ( 1 ) 前提 AI , ・・・ , An から結論 C を導く論証が妥当である A ぃ 並べたものからはじめたタブローが閉鎖タブローになる。 ・ , An および¯C を縦に ーー・コ A からはじめたタブローが閉鎖タブローにな ( 1 ) 次の論証が妥当であるかどうかをタブローを使ってチェックせよ。 練習問題 23 る。 ( 2 ) 論理式 A がトートロジーである (a) P (b) Q ( 2 ) 次の論証が妥当であるかどうかをタブローを使ってチェックしてみよう。 を含むから , 攻略法を使ってみること。 2 回以上の枝分かれ (a) P → Q Q → R R → S (b) P → R Q → R PvQ ( 3 ) ( 4 ) 次の論証が妥当であるかどうかをチェックせよ。 (a) PYQ (b) 以 Q R →•P 次の推論が妥当であるかどうかを判定せよ。 得することができないからだ。 とらないと我が党は勝てないが , ごみ処理場の建設が中止されないと , 無党派層の投票を獲 が選挙で勝つにはごみの減量プランを立てなくてはならない。なぜなら , 無党派層の投票を (b) ごみ処理場の建設中止にはごみの減量プランを立てることが必要だ。したがって , 我が党 復は両立せんからなあ。 い。ということはもう一期の続投は無理ということだな。なんせ , 行政改革の実行と景気回 2 つを実行しなければならない。しかし , わしは政治腐敗防止政策を実行するつもりはな (a) 我が政権がもう一期続投するには , 行政改革 , 景気回復 , 政治腐敗防止のうち少なくとも

236 9.4 第Ⅲ部論理をもう 1 つの目で見る 述語論理への拡張 9.4.1 V 除去規則とヨ導入規則 だいぶ自然演繹にも慣れてきたのではないかな。こうなると述語論理にも自然演繹を拡張した くなるのが人情というものだ。ついでに同一性も扱えるとよい。 ・・というわけでやってみよ う。方針はもう明らかなように , ▽ , ヨ , = のそれぞれについて除去規則と導入規則を立ててや ればよい。まずは一番簡単な V 除去規則とヨ導人規則から見てみよう。 ▽ EA A / 引 【除去規則 (Y elim) 】 【ヨ導入規則 ( ヨ intro) 】 A / 引 ヨ EA Velim において代入する個体定項住は任意である。つまりこれまでに出てきているものでも 出てきてないものでも何でもよい。さっそくいくつかの例を見てみよう。 ( 1 ) VxPx から PaAPb の演繹 V xPx Prem Pa VeIim Pb VeIim PaAPb Aintro ( 2 ) Raaa からヨ xRaxa の演繹 ヨ xRaxa ヨ intro Raaa Rrem ( 2 ) で見るように , ヨ導入は必ずしも 1 つの式の個体定項に対して一斉に行う必要はない。 まり , 必ずしもヨ xRxxx としなければならないわけではない。 ( 3 ) Vx()x → (x) と Vx()x → (x) から Pa → Ra の演繹 つ これまでの攻略法はそのまま有効。だから , 【演繹の枠組みをまずつくれ】と【→を目指すには】 るだけ使うともう出てしまう (ii)o この演繹は攻略法だけでできてしまった。 を使って ( i ) までは簡単にいく。その後は【復活はいつでも OK 】 , 【除去はいつでも OK 】を使え

第 5 章論理学の対象言語を拡張する 131 は , 第 1 行に [UI] をほどこして 4 行目を得たとこ ' こで , a という個体定項が導入された ろにある。 ため , 第 2 行に [EI] を適用して第 6 行目を書き足 すときに , もう a を使ってしまったので , まだ経 路に出てきていない b を使わなければならなく なった。 ( しかもごていねいなことに , その前に枝分か こうしてまた新しい個体定項が れをさせている ! ) 出てきたから , もう一度第 1 行にもどって , x に b を代人しなければならなくなった ( 第 7 行 ) 。この ようにして 4 つに枝分かれした複雑なタブローに なってしまったのである。そこで , 次の攻略法が賢 いタブロー書きには必要だ。 【攻略法】 [ EI ] はなるべく [ UI ] の前に適用すること。そうすればやたらと個体定項を導入 せずにすむ。 練習間題 32 Pa → Qa ! ヨ xQx ! ヨ xPx ! Vx()x → Qx) —nPa Pb Pb → Qb ! Qa Pb Pb Qb Vx¯lQx Qb Pb → Qb ! Qb Vx¯lQx Qb Pb ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 次のことを同時に信じている人は矛盾しているか。 タバコを吸うものはみな肺ガンになる。ジェームズはタバコを吸わないのに肺ガンになった。 次のことを同時に信じている人は矛盾しているか。 タバコを吸うものだけが肺ガンになる。ジェームズはタバコを吸わないのに肺ガンになった。 VxPx は「すべてのものは P である」 , ▽ yPy も「すべてのものは P である」になる。 ことはこの 2 つの式は論理的同値ではないだろうか。タブローで確かめよ。 以下に示した論証が妥当かどうかをチェックせよ。 という (a) (b) オーウ ! 東洋の人みんなカンフーできマース 日本の人は東洋の人ね ダカラ日本の人みんなカンフーできるはずヨ 真のフォースを知る者は争いを好まぬものじゃ しかるに人間はみな争いが好きなものじゃ じゃによって人間どもはみな真のフォースを知る者ではない この子は肉料理しか食べない 肉料理は体に悪い この子の食べるものは体に悪いものばかりだ スマートにやってちょ 次の論証はルイス・キャロルの本にあった。正しい論証かどうかをチェックしよう。上手に やれば見かけほど大変ではない。とはいえ , 何も考えないでやると大変なことになる。

第 2 章論理学の人工言語をつくる 17 的に出てくる ( 論理的に同値と言う ) 。この特徴はこれらのペアが共通に持っ形式によるはずだ。 ( 2 ) x x は〇〇に ~ されている ( 1 ) 〇〇は x x を ~ している というわけで , ヒントをつかむという方針でいこう。 自然言語で行われた論証を徐々に記号化することで , どのような人工言語をつくったらよいかの り論理形式が記号表現の表面に現れているような言語をこれからっくっていきたい。ここては つまり , 自然言語では隠れてしまっている構造で , 論理学が注目しようとしている構造 , つま えられた論証が妥当かどうかが簡単に判定できるような言語であってほしい。 はっきりと分かれているような言語 , 論証の論理形式が一目で分かるようになっている言語 , 与 いわけだ。それは , 論証の妥当性にかかわる部分 ( 論理定項 ) と , そうでない部分が最初から を明確にする」という目的だけに役立つように思い切って単純化した言語をつくってしまえばよ て我々はすでにたくさんのことをやっている。その様々な用途のうち , 「論証の妥当性とは何か は ' れから作るのだから , 我々の目的に応じて好きにつくってよいからだ。自然言語を使っ 言語は , 命題内容に気を取られずにその形式を浮かび上がらせるのに好都合だ。なぜなら , 記号 たがって , 自然言語をそのまま使って論理学を展開することは得策ではない。これに対し , 記号 このように , 自然言語では命題の論理形式が文法形式におおい隠されてしまうことがある。し 分だったということだ。 うではないのはなぜか , ということの説明としては , ( 1 ) と ( 2 ) のような形式の取り出し方では不十 と ( 2 ) のような形をしている。ということは , 最初の 2 つのペアが論理的に同値なのに ( 3 ) と ( 4 ) はそ のだから , ( 4 ) からは ( 3 ) が出てくる。しかし ( 3 ) からは ( 4 ) は言えない。しかし ( 3 ) と ( 4 ) もそれぞれ ( 1 ) とだ。誰からも愛されるアイドルがいるなら , どんな人も少なくともそのアイドルを愛している いる。これに対し , ( 4 ) が述べているのは , 全ての人から愛されているアイドルがいる , というこ ( 3 ) と ( 4 ) は明らかに違う。 ( 3 ) は , 登場人物の誰にもそれぞれ愛する人がいるということを述べて ( 4 ) 誰かはみんなに愛されている ( 英語では , Somebody is loved by everybody) ( 3 ) みんなは誰かを愛している ( 英語では , Everybody loves somebody) という理論をたてたとしよう。でも次の例はどうか ? という具合に形式を取り出して , 「 ( 1 ) の形をした命題と ( 2 ) の形をした命題は論理的に同値である

第 6 章おおっと述語論理のセマンティクスがまだだった つまり述語記号の後ろに個体定項を置いたものだけに限ってもいいだろう。述語記号も P, Q, R ・・といろいろあるから , それを一括して表す図式文字があると都合がよい。そこで様々な述語記 号を代表する図式文字として中を使うことにしよう。まず , これらの文字を使って , 次のよう に原子式の真理を定義する。 【 TI 】 VM ( 中の = 1 vM(a)evM@) この定義によると , 原子式中がモデル M のもとで真であるということは , そのモデルの付 値関数 VM が個体定項に割り当てるもの VM(a) が , VM が述語記号中に割り当てる集合 v M((I)) に要素として含まれているということである。例えば , モデル MI では , VMl(Pa) = 1 VM(a)eVM(P) ■ e { ・◆ } となる。この場合 , 右辺が成り立つので , 左辺も成り立つ。し たがって論理式 Pa はモデル MI のもとで真になる。おつ。うまくいきそうだ。 複合的な論理式の真理を定義してみよう・・ さて , 出発点は押さえたので , 次に , 複合的な論理式の真偽がその部分論理式の真偽に応じて どのように決まるかを帰納的に定める規則をたてよう。複合的な論理式をつくる操作は , ( 1 ) 結合 子でつなぐことと , ( 2 ) V, ヨで量化することの 2 種類だ。前者に関してはもう命題論理のとき に決めてあった。これを使わない手はない。そこで , 結合子については従来通り次のように定義 139 【 T2 】 ( 1 ) A が B △ C のとき , VM(A)=1 VM(B)=I かっ VM(C)=I ( 2 ) A が B ▽ C のとき , VM(A)=1 VM(B)=I または VM(C)=I ( 3 ) A が B → C のとき , VM(A) = 1 VM(B) = 1 でないかまたは VM(C) = 1 ( 4 ) A が一旧のとき , VM(A) = 1 VM(B) = 1 でない。 これはようするに真理表による結合子の意味の定義を帰納的定義の形に書き直したものにすぎ ない。こうして , 残るは量化された論理式だけになった。 量化子について 論理式 V EB が真だというのは , 論議領域に属するすべてのものについて B が成り立っとい うことだから , 論議領域に属するすべてのものが B に割り当てられる集合に属しているという ことだ。同様に , 論理式ヨ穹 B 穹が真だというのは , B に割り当てられる集合になにか 1 つでも 個体が属しているということだ。 みた。 ・・と , とりあえずこのように考えて次のような規則を立てて

10 第 I 部論理学をはじめる れば真だ。しかし , キャメロンとユアンが共演したかどうかということはそれらの前提から出て くるようなものではない。だから論証 3 は正しい論証とは言えない。もっと極端な例として次の 論証を見てみよう。 【論証 5 】 1 十 1 = 2 ポスニア・ヘルツェゴビナの首都はサラエボである イソギンチャクは腔腸動物である ここに現れる 3 つの命題はどれも真である。しかし , だからといって , イソギンチャクについ ての生物学上の真理が算数の命題と世界地理の命題から論理的に出てくると言う人がいたら不気 味だ。 これに対し , 論証 2 はどうか。これは第 1 の前提が偽 , そして得られた結論も偽である。しか し , 仮にこの 2 つの前提を正しいものとして認めたとしたなら , それらから結論は論理的に出て くるという点で , 論証としてはちゃんとしている。というわけで , どうも , 論証の正しさとそこ に現れる命題の真偽とを区別した方が良さそうだ。つまり , ・論証 1 は真の命題のみを含む正しい論証。 ・論証 2 は偽の命題を含んだ正しい論証。 ・論証 3 は真の命題のみを含む間違った論証。 偽の命題が含まれていても論証としては正しいこともあるし , 真の命題だけからなっていても 論証としてはまちがいということがあるわけだ。そこで , 論証の正しさと命題の正しさを区別す る言葉があるとよい。これからは , 命題や文については「真 (true) 」 / 「偽 (false) 」を使い , 論 証の正しさについては , 「これこれの論証は妥当である ( va ⅱ d ) / 非妥当である (invalid) 」という 1.2.2 成功した論証と言えるためには らその実例を挙げてみよう。 では , 妥当な論証で前提はすべて偽 , 練習問題 1 表現を用いる。 結論は真な命題になっているものがあるだろうか。あるな は妥当だが , 妥当な論証がすべて成功しているとは限らない。 き , その論証は成功している (succeed) と言うことにしよう。論証が成功していればその論証 いのは , ( 1 ) 論証が妥当であり , なおかっ②その前提がすべて真である , ときなのである。このと 気にはならない。それはなぜか。前提に間違いが含まれていたからだ。論証の結論を信頼してよ 論証 2 は妥当な論証だということがわかった。しかし , だからといって論証 2 の結論を信じる

第 3 章人工言語に意味を与える 67 練習問題 15 次の 3 つの定理をそれぞれ証明せよ。 【定理 11 】前提 A い・・・ , An から結論 C を導く論証が妥当である集合 { AI , 矛盾している。 【定理 12 】論理式 A がトートロジー 式の集合 {—nA} が矛盾。 ・ ,An —nC) は 【定理 13 】前提 AI , ・・・ , An から結論、 L を導く論証が妥当である ( ただし , 工は任意の矛盾式 ) 集合 { AI , ・・・ , An } は矛盾している。 こうしてく論証の妥当性〉 , く論理式の集合の矛盾 > , 本概念が互いに結びつくことが分かった。 3.8 論理的帰結という関係 3.8.1 論理的帰結を定義する 論理的帰結の概念と 2 重ターンスタイル くトートロジー > という論理学の 3 つの基 前提 AI , ・・・ , An と結論 C をもつ論証が妥当であるということは , AI , ・・・ , An から C が論理的に 出てくる (C logically follows from A ぃ ・ ,An) とか , C は AI , ・・・ , An の論理的帰結である (C is a ・ An ) という言い方でも表現される。したがって , 論証の妥当性とい logical consequence Of AI う概念が定義されたからには「論理的に出てくる」という概念や論理的帰結という概念も定義さ れたと考えてよい。 これからは , C が AI, ・・・ , An の論理的帰結であることを AI, ・・・ , An I=C と書くことにしよう。 うに定義できる。 は , 昔 , 駅や遊園地の入り口にあった回転式改札ロのことだ。さて , AI , この「ト」記号は , 2 重ターンスタイル (double turnstile) と呼ばれる。ターンスタイルというの ・ ,Anl=C は , 次のよ ちょっとまって。もうすでに「論証の妥当性」という言い方があってきちんと定義されている ち , AI , ・・・ , An を同時に 1 とし , なおかっ C を 0 とするような真理値割り当ては存在しな 【定義 1 】 AI , ・・・ , An ト C AI , ・・・ , An , C を構成している原子式への真理値割り当てのう んだから , こんな記号を導入するのは二度手間で無駄じゃないの ? ・・ま , そうとも言える この記号を使うことにはちょいとしたメリットがある。それを以下で示そう。 ・ , An ト C は全体として , 左辺においた論理式の集合と右辺の論理式との間にある関係が なりたっているということを主張している。そこで論理式の任意の集合を I* で表し , 次のよう が ,