9 ー 3 時間に依存しない摂動 等式 は摂動論が適用できる必要条件である . 197 ( 9.33 ) ( 9.32 ) 式の右辺の和では , C 霧 = 0 として襯半〃とした . その理由は波動 関数 ( ミ用の規格化条件 = 1 十ス ( C * 十 C ) 十 0 ( ス 2 ) ( 9.34 ) である . この条件が任意の値のスに対して成り立っために , スの係数が 0 C 十 C * ( 9. 35 ) という条件が導かれる . この条件から Re C9n) = 0 が導かれるが , すぐに示 すように lm (%) は不定なので , lm C%z) = 0 とおける . すなわち , ( 9. 36 ) ( 9. 29b ) 式で〃 = 襯とおくと , の固有値 ESO) に対する摂動論での 2 次 もス→ 0 で島 0 ) ( のになるなの固有関数なので lmc は不定なのである . である . ″ ,. ( ミス ) がの固有関数ならば , 〃を実数とすると。ス ( ど , ス ) の補正項 ES2), E}i2) = 〃羸 C9k) = 〃々々れ ( 9. 37 ) 々半〃、 0 ) ー第ん、 ( 0 ) が得られる . スの 2 次の項までをまとめて , ス = 1 とおくと , 行の固有値 En の近似値 En E}P) 十〃十 ( 9. 38 ) が得られる . ( 9.38 ) 式から , 〃 0 の基底状態の固有値房のへの摂動論の 2 次 の補正項 E { 2 ) は正ではないこと , Ef2)$0, がわかる . 例題 9 ー 1 ( 一様な電場の中の 1 次元調和振動子 ) ェ方向を向いた一様な 電場 E の中に , ェ軸に沿って単振動する電荷ク , 質量襯の 1 次元調和振動 子がある . この振動子のハミルトン演算子〃 = 〃 0 十 ' ,

第 9 章 演習問題 2 1 1 レは ) 半導体 絶縁体 図 9 ー 2 半導体と絶縁体の境界面付近 でのポテンシャル 2 2 襯 ェ 2 十 ( 矼ー協 ) ェ 2 の 2 矼市 く〃 > = 4 わ 3 襯〃わ ワ 3 わ襯 平〃 2 0 3 〃 襯 2 わ 2 く〃〉はわ = ( 3 川〃 / 2 が ) 1 / 3 で極小値 したがって , 3 5 / 3 カ〃 2 これが基底状態のエネルギーの近似値 ( 上限 ) である . となる . 十 ( 9. 102 ) ( 9. 103 ) 2 2 1 / 3 1. 水素原子の 2p 状態の縮退しているノ = 3 / 2 とノ = 1 / 2 のエネルギー準位 ( 2P3 / 2 と 2p 司はスピン一軌道相互作用 ( 7. 114 ) によってどう変化するか . 2. 2 準位近似で私 1 = 〃 22 の場合 , 乙 = 0 で波動関数が / = 衛だとする . この とき / の時間的変化を調べ , 系はと 2 の間を周期 T = EI ー E 」で往復す ることを示せ . 3. 〃 0 のすべての固有値が縮退していない場合 , 固有関数 0 ) の 2 次の補正項 2 ) を (ß)14 と表わすと 1 2 第 9 章 1 2 盟れ ( E ー E ) ) 2 ー℃牆 2 =

206 9 近似解法 きに , 電子ビームはどういう状態にどのような確率で遷移していくかという 問題である . となる . この場合 , ( 9.79 ) 式の積分を行なうと , 力のの ( 9.81 ) 時刻 = 0 に状態ノにあった系が時刻 / に状態んに発見される確率は , 摂 動の第 1 近似では , (E%O) ー E (. のレ 2 ℃ ) ( 畊 (ELO) ー E ( 0 ) ) 2 2 カ である . これが始状態ノから終状態んへの行・の作用による遷移確率であ る . ( 9.82 ) 式を理解するために , 図 9 ー 1 の横軸にの = ( 0 ) ー E ) / カ , 縦軸に 4 [ sin2 ( の〃 2 ) ] / の 2 を描いた . この図の中央の山は < 2 瀲の範囲にある . の事実は , 摂動が加えられはじめてからの時間をとすると , ℃足 ) ( 2 が 比較的に大きく , 終状態んへ比較的に大きな確率で遷移できるのは , AE= ( 9.82 ) ー E 劉ミカ図な のときだけであることを意味する . (AE)(At) ミカ すなわち ( 9. 83 ) 4 sin2 ( の〃 2 ) けはじめてからの時間が長くなると , す高く , 幅 2 応〃はますます狭くなり , 公式 ー 67 ー 4 応ー 2 応 0 2 応 4 兀 6 兀 = 2 お ( の ) 終状態んが連続エネルギー固有値に属す状態の場合を考える . 摂動をか 図 9 ー 1 の中央の山の高さはますま お ( の ) に近づいていく . 物理数学の 図 9 ー 1 lim

3 1 次元問題 1 ーー束縛状態 いェ ) 0 い〃 ) + ー襯の 2 ( ェーの 2 レ ( ェ ) 図 3 ー 9 安定なつり合い点ェ = 〃とその近傍でのポテンシャル . 力が働かな dV い条件は F= dx ェ = 0 で , 復元力が働く条件は > 0 イエ 2 と近似できる ( 図 3 ー 9 ). したがって , 古典力学での質点の運動方程式は 2 2 - 襯の 2 ( ェ - の となり , これを解くと , 質点は点 = 4 の近傍で角振動数のの単振動 工 = 十ス COS ( の十の ( 3. 43 ) ( 3. 44 ) を行なうことがわかる . 単振動を調和振動ともいうので , 単振動を行なう系 を調和振動子 (harmonic oscillator) とよび , 位置エネルギー ( 3.42 ) を調和振 動子ポテンシャルという . 振動は日常生活のいたるところで見られるが , 分子や原子核も振動してい る . この節では〃 = 0 , レ ( の = 0 の場合の調和振動子ポテンシャル , 1 〃の工 2 をもっシュレーディンガー方程式 が卍″ 1 十一一襯のェ″ = Eu 2 襯ド 2 ( 3. 45 ) ( 3. 46 ) の解 , すなわちエネルギー固有値と固有関数を求めるコ→でレ ( ェ ) →なので , 前節の議論からこの場合の固有状態はすべて束縛状態でエネ ルギー固有値は離散的固有値である .

9 ー 5 変分法 のん この結果を使うと , 系の基底状態のェ 2 2p ( 屬 0 ) ーカの ) 209 ( 9. 93 ) である . これもフェルミの黄金律とよばれる . 電磁波の吸収や放射に応用されている . ( 9. 93 ) 式は原子や分子による [ 参考 ] 電子の粒子像でのエネルギー E と波動像での振動数レ , 角振動 数のとの関係 E = ル = 力の [ ( 1.13 ) 式 ] は , 摂動が外部からの角振動数のの 電磁波による場合の ( 9.91 ) 式によって確立されることを示そう . この場合 , エネルギーカのの光子の吸収・放出を伴う始状態ノと終状態んの間での遷移 におけるエネルギー保存則からカの = ー E が導かれる . 一方 , ( 9.91 ) 式の導き方を調べると , 始状態と終状態の角振動数の々とのの間にはの ーのという関係があることがわかる . したがって , 2 つの式から一 E(/) ー E リ = 川ーのⅡ = 川レ、 , - が導かれる . 9 ー 5 変分法 あるハミルトン演算子〃のエネルギー固有値を知らなくても , で表わされる状態でのエネルギーの期待値く〃 > を計算できる . 行の規格化された固有関数系レ ,. } は正規直交完全系を作るので , { } で 波動関数を と展開すると , エネルギー期待値 ( 9.94 ) は E れ℃引 2 c 引 2 波動関数 ( 9.96 ) ( 9. 95 ) ( 9. 94 ) と表わされる ( はの固有値 ) . ネルギー固有値 EI に対する不等式

9 〃ーれ 2 〃 1 〃 1 〃 2 〃 1 ー 3 時間に依存しない摂動 れ 2 れ、 2 01 ( 9.53 ) 〃 2 〃 2 〃。 V れ 2 0 である . ( 9.53 ) 式を解いて求めた ESI) を ( 9.52 ) 式に代入すると CS}) が得ら れる . 摂動の第 1 近似までのエネルギーは Ea = E 十 E ! 1 ) である ( ( 9.48 ) 式の E . は ESI) の 1 例である ). ( 9.54 ) 無摂動ハミルトン演算子の固有関数島 0 ) に対する 1 次の摂動論の補正 ・・ , 心以外の″が次の係数で混ざる . ( 9. 55 ) (Stark e 仕 ect ) という . 電場が + 2 方向を向いている場合 [ お = ( 0 , 0 , E ) ] , けることがわかっている . この電場による準位の分裂をシュタルク効果 ある . 水素原子を一様な静電場の中におくと , この 4 重の縮退は部分的に解 2p 状態には ( 〃 , / , 襯 l) = ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , 0 ) , ( 2 , 1 , ー 1 ) の 4 重の縮退が 例題 9 ー 2 ( 水素原子のシュタルク効果 ) 水素原子の第 1 励起状態の 2s, になるべく近い島 0 ) , の 0 ) , ・・・を選んだ . 算子の独立な固有関数″ , ・・ , ″に任意性があるので , ″の固有関数 このように , 固有値 E}P) が縮退している場合には , 無摂動ハミルトン演 摂動ハミルトン演算子は 〃′ = eE ・戸 = eEä = eEr cos で , 4 つの固有状態の間の行列要素の中で 0 でないものは , をしてみると , 〃罅部分の計算 ( 9.56 )

4-3 トンネル効果 75 レは ) 2 図 4 ー 6 一般的なポテンシャル障壁 30eV で , 厚さが ( 1 ) 1.0nm , ( 2 ) 0.10 nm のポテンシャルの土手を透過す るときの透過率 T を , 正確な式 ( 4.30 ) および近似式 T 2 紐の両方を使 って計算せよ . [ 解 ] 協ー E = 20eVX ( 1.6X10 ー 19J / eV ) = 3.2X10-18J ( 1 ) = 1. Onm = 1.0X10 ー 9m のとき 2 旗協ー E ) 〃 2 9.11X10 ー lkg 3.2X10 ー 18J ( 1.05X10 ー 3 4J ・ s ) 2 T = 3.7X10 ー 20 , T e 2 ( 2 ) = 0.10nm のとき翹 = 2.3 , T = 3.5 x 10 ー 2 , T e 2 = 1.0 >< 10 2 なお , 位置エネルギーが図 4 ー 7 の場合の反射率と透過率は , ( 4.33 ) 式で が = [ 2 襯 ( E 十協 ) ] 1 / 2 / 力とし , % を - 協で置き換えたものであることが 2 つの場合のシュレーディンガー方程式を比較することによってわかる . いェ ) 1 ア ん〃 xl. 0X10 ー 9m = 23 = 1.1X10 20 ー 46 e 一 4.6 e 0 井戸型ポテンシャル 図 4 ー /

9 ー 3 時間に依存しない摂動 19 ラ る場合とを考える . 〃 ' が時間に依存しない場合には , 〃の固有値と固有関 数はの固有値と固有関数を少し補正することによって近似的に求められ ると考える . 〃 ' がある時間の間だけ作用する場合には , 〃・ = 0 のときに の定常状態島のにあった電子が行 ' ( t) の効果によって別の定常状態″に 遷移する確率を計算する . 9 ー 3 時間に依存しない摂動 無摂動ハミルトン演算子私の固有関数島 0 ) は正規直交完全系を作るように C れ ) [ E 々 + ス出々 ] = ( ス ) C ( ス ) E 々十ス〃を利用すると , と展開する . このとき En(A) と C ス ) を決める ( 9.4 ) 式は , ( 払 ) 選べるので , 払の固有値携 ( ス ) の固有関数″れ ( ど , 用を ( 9. 22 ) ( 9. 21) となる . 襯々 である . 於 ) す ( の於 ) ( の ( 9.22 ) 式を摂動論で解くために , C ス ) を C 〃々 ( ス ) = C 十ス C 十ス 2C 十・ とスのべき級数で表わす . ( 9.19 ) 式の島 0 ) , 1 ) , , ( 9. 23 ) ( 9.24 ) によって 第 0 ) = C 0 ) , 星 1 ) = C 寐 0 ) , 2 ) = C 0 ) と表わされる . ( 9.19 ) 式で , ( ミス ) はス→ 0 の極限で 0 ) ( のに一致する と要請したので , 〃々 であることが ( 9. 25 ) の第 1 式からわかる . ( 9.18 ) , ( 9.24 ) , ( 9.26 ) 式を ( 9.22 ) 式に代入すると , ( 9. 26 ) ( 9. 25 )

次 / 角運動量 7 ー 1 スピン 143 ー 2 電子のスピン角運動量演算子 S と固有関数 目 14 ラ 7 7 7 7 7 た 3 スピンの回転巧。 ー 4 磁場の中の電子 ( 2 ) ー 5 角運動量演算子の交換関係巧 6 ー 6 角運動量演算子の表現行列と固有値 1 5 2 第 7 章演習問題 168 -8 スピン一軌道相互作用 167 7 ー 7 角運動量の合成 163 巧 8 8 多粒子系 8 ー 1 多粒子系のシュレーディンガー方程式と波動関数 8 ー 2 同種粒子 177 8 ー 3 独立粒子近似 第 8 章演習問題 187 9 近似解法 191 9 ー 4 時間に依存する摂動 2 。 3 9 ー 3 時間に依存しない摂動 195 9 ー 2 摂動論 193 9 ー 1 代数的方法と 2 準位近似 9 巧変分法 2 。 9 第 9 章演習問題 2 1 1 10 散乱 10 ー 1 散乱断面積ラ 10 ー 2 ボルン近似 2 2 0 10 ー 3 部分波展開と位相のずれ 第 10 章演習問題 X111 ・ 143 ・ 173 ・ 2 巧 ・ 191 173 226

V111 物理をいかに学ぶか です . 第 9 巻『相対性理論』は力学と電磁気学に続く巻として位置づけられ ます . 各巻の位置づけは , およそ上の図のようなものです . 図は下ほど基礎 的な分野です . このシリーズが , 理工系の学生諸君が物理を本格的に学び , 身につけるこ とに役立つならば , それは著者 , 編者一同にとってたいへんうれしいことで す . 1994 年 3 月 編者長岡洋介 原康夫