演習 笞は ☆コンピューターの出力☆ ー 0 . 63 ー 0 . 70 刀 にあるよ . EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF THE COVARIANCE MATRIX EIGENVALUE PROPORTION CUM. PROP PRIN ー 0 .9853 0 .9853 7 .6277 0 .7734 FACTOR LOADING OF THE COVARIANCE MATRIX ー 0 . 98 引 0 . 9952 PRIN ー PRIN 2 0 . 63 0 . 7734 0 . Ⅱ 40 に 0000 0 コ 475 0 .0997 PRIN 2 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF THE CORRELATION MATRIX EIGENVALUE PROPORTION COM. PROP PRIN ー 0 .9847 0 .9847 匚 9694 0 . 70 引 PRIN 2 匚 0000 0 . 田 53 0 .0306 0 . 70 刀 0 . 70 刀 FACTOR LOADING OF THE CORRELATION MATRIX 1 1 4 第 4 章 PRIN ー 0 .9923 ー 0 .9923 主成分分析をしようーーー主成分分析の手順 PRIN 2 0 コ 237 0 コ 237

演習 = 0.7077 えを 0.7077 ぇ 2 * にな、るよ . 0 ☆コンピューターの出力☆ CORRELATION AND COVARIANCE MATRIX 4 .607 ー 3 . 684 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF THE CORRELATION MATRIX PRIN ー PRIN 2 0 . 70 刀 0 . 70 刀 ー 0 . 70 刀 0 . 70 刀 EIGENVALUE 0 .0306 匚 9695 PROPORTION 0 . 田 53 0 .9847 CUM. PROP 匚 0000 0 . 9847 第 4 章主成分分析をしようーー主成分分析の手順 102 ー 0 .9694 3 コ 35

演習 第 1 苙成分は。 = 0.7 ワ 33 右 0 ー 0.634 れ 2 になるよ・ ☆コンピューターの出力☆ VARIABLE X2 MEAN 7 . 05 2 . 23 VARIANCE 4 .607 3 コ 35 SD Z 8 8 3 0 X 4 0 9 5 2 コ 46 CORRELATION AND COVARIANCE MATRIX X2 ー 0.9694 3 コ 35 X2 4 . 607 ー 3.684 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF COVARIANCE MATRIX PRIN ー PRIN 2 0 .7733 0 . 63 X2 ー 0 . 63 0.7733 EIGENVALUE 7 .6277 0 . Ⅱ 40 PROPORTION 0 .9853 0 . 田 47 CUM. PROP 0 .9853 に 0000 96 第 4 章主成分分析をしようーー主成分分析の手順

【コンピューターの出力・その 2 】 ↓相関行列による主成分分析 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF THE CORRELATION MATRIX PRIN ー PRIN 2 第 1 主成分 ↓ 0 コ 0 引 0.70 引 0 . 70 刀 ー 0 . 70 刀 X 2 固有べクトル 匚 5984 ←固有値 0 . 7992 ←寄与率 0.7992 ←累積寄与率 0 . 4 田 6 0 . 2008 に 0000 EIGENVALUE PROPORTION COM. PROP COMPONENT SCORES PRIN 2 ー 0 . 540 ー 0 .837 ー 0 . 053 0 . 827 0 . 030 0 .573 PRIN ー 匚 584 に 464 ー 0 . 477 ー 0 . 962 主成分得点 ↑ 62 第 3 章 すぐわかる主成分分析

【コンピューター出力・その 1 】 VARIABLE MEAN 絽コ 33 説明変量 0 コ 37 → X 2 MAX 7 . 95 23 . 3 VARIANCE Ⅱ . 835 53 . 065 SD 3 .440 7 . 285 CORRELATION AND COVARIANCE MATRIX X 2 0.5984 53 .065 分散相関係数 共分散分散 ↓分散共分散行列による主成分分析 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF COVARIANCE MATRIX 第 1 主成分 ↓ Ⅱ . 835 . 996 X 2 PRIN 2 0 . 9 引 0 ー 0.3093 6 .9573 0 コ 072 匚 0000 PRIN ー 0.3093 固有べクトル 0.9 引 0 57 .9422 ←固有値 0.8928 ←寄与率 0 .8928 国民総生産→ X ー 貿易収支→ X2 EIGENVALUE PROPORTION CUM. PROP COMPONENT SCORES PRIN 2 3.250 ー 0 .848 ー 0 .460 ー 2 . 9 引 PRIN ー ー 4 .328 ー 8 .492 ー 2 .572 ー 3 .060 主成分得点 つな CO 4 L.n C..D ↑ すぐわかる主成分分析 60 第 3 章

固有べワトルの読み方 3.6 固有べクトルを読む 主成分分析のポイントは " 固有べクトルをいかに読み取るか ? " という点にある . といっても固有べクトルそのものを理解しておく必要はまっ EIGENVALUES AND EIGENVECTORS OF THE COVARIANCE MATRIX コンピューターの出力結果を見てみよう . ことができれば , それで十分なのだ . " 固有べクトルとして得られた数値を読み取る " 際に計算手段として登場してくるのにすぎない . つまり , たくない . 固有べクトルは , あくまでも第 1 主成分 , 第 2 主成分 , ・・・を求める ← 山場 ←データは p. 59 国民総生産→ X ー 貿易収支→ X2 EIGENVALUE PRIN ー 0 .3093 0 . 9 引 0 57 .9422 PRIN 2 0 . 9 引 0 ー 0 .3093 6 . 9573 この出力結果をみると , 第 1 主成分の固有べクトルは 0 .3093 0 .9510 なので , 第 1 主成分 21 は ←第 2 主成分は 21 = 0.3093 十 0.9510 であることがわかる . そこで , 21 = 0.3093X 国民総生産十 0.9510X 貿易収支 22 = 0.9510 斯ー 0.3093 上の例は説明変量が 2 個だけなので少し読み取りにくいのだが , の意味する総合的特性を読み取ればよい . 〃 / 2 1. ェ 1 の係数はプラスなので , 国民総生産が多い国ほど 21 の値は大きく なる . 第 3 章すぐわかる主成分分析

欧文索引 ADJUSTED R-SQUARE 4 PARTIAL REGRESSION COEFFI- AIC → Akaike's information cri- terion ANALYSIS OF VARIANCE CHI-SQUARE COMPONENT SCORES CONST 4 , 19 5 119 60 , 62 6 , 122 CORRELATION MATRIX 4 , 62 , 118 COVARIANCE MATRIX 4 , 60 , 118 CUM. PROP → cummulative pro- CIENT pooled PRIN PROPORTION QUADRAIC TERM R-SQUARE regresslon RESIDUAL SD → standard deviation SE → standard error STANDARD ERROR standard error standard deviation 6 119 60 , 62 60 , 62 123 5 , 13 4 , 16 4 , 16 4 , 118 23 6 23 4 portion DF EIGENVALUE EIGENVECTOR F ー VALUE LINEAR TERMS MAHALANOBIS DISTANCE matrix MEAN MEAN SQUARE 60 , 62 4 , 118 60 , 62 60 , 62 4 , 16 4 , 60 , 118 5 124 GENERALAIZED 122 5 , 16 , 27 , 120 , 118 STANDARDIZED PARTIAL REGRESSION COEFFICIENT SUM OF SQUARES VARIABLE VARIANCE WILKS' LAMBDA 6 , 24 4 , 16 4 , 60 , 118 4 , 60 119 , 120 MULTIPLE CORRELATION 4 , 13 索 引 201

どうしても理解したい人もいるかもしれない . 固有べクトルの図形的なイメ ージは , “行列で変換しても , 向きの変わらないべクトル " 7 16 →工 1 匚こ : ) , 15 9 10 111213 14 のこと . 3 1 2 工 1 2 1 工 2 工 - ↑ー 4 15 4 5 ←② , △が 固有べクトル 13 12 7 図 3.5.1 固有べクトルのイメージ この固有値・固有べクトルはいろいろな分野で顔を出す . 均衡の安定性問題 経済においては 産業連関分析 振動系がどのような固有振動をもっか 力学においては 量子力学における原子の状態 スペクトル問題 このことは固有値・固有べクトルの概念がいかに基本的であるかを示してい しかしながら , 主成分分析では確かにコンピューターの出力結果に EIGENVALUE, EIGENVECTOR が登場するが , それは単に固有値・固有べクトルという言葉を使っているだけ なのであり , ポイントは 、、固有べクトルの数値をいかに読み取るか〃 " る . ← 山場 ということなのだ しかし , 固有値・固有べクトルを理解する必要はない 当 3.5 71

因子負荷量 を得るので , 第 1 主成分と説明変量斯との因子負荷量 = 0.8940 第 1 主成分と説明変量との因子負荷量 = 0.8940 となる . この場合 となっているので , 0 .8940 = 1 .5984X0.7071 ←第 1 主成分の 固有値 = 1.5984 因子負荷量 = V ' 固有値 x 固有べクトル←相関行列の場合 固有べクトルでも因子負荷量でも , どちらでおこなっても同じ結果になる . したがって , 相関行列による主成分分析の場合 , 主成分の意味の読み取りは という等号が成り立っていることがわかる . PRIN 2 X 2 EIGENVALUE PRIN ー 0.70 引 0 .70 引 固有べクトル に 5984 ↑ すぐわかる主成分分析 0.8940 0 .8940 因子負荷量 ↑ 固有ペクトル 0 . 4 田 6 0 . 70 刀 ー 0 . 70 刀 ↑ 0 . 44 田 ー 0 . 44 別 因子負荷量 ↑ 86 第 3 章

3.5 しかし , 固有値・固有べクトルを理解する必要はない 主成分分析では EIGENVALUE, EIGENVECTOR という用語が登場する . 見なれない単語なので 、、さっそく , 理解しなくては・・・ . ク” と思うかもしれない . が , その必要はまったくない . 数学の本を開けると , 次のような定義がのっている . 『よくわかる ←線型代数』 p. 213 , 214 定義を数体 K 上の線型空間レの線型変換とする . aeK に対し 第 = カ ( カキ 0 ) を満たす力 e レが存在するとき , を線型変換の固有値とい い , 力を固有値に属する固有べクトルという . 線型変換は行列と同じことなので , 定義はを数体 K 上の次正方行列とする . aeK に対し ( カキ 0 ) を満たす力 eK れが存在するとき , 住を行列の固有値といい , 力を固有値に属する固有べクトルという . しかし , この定義の意味がわかるということと主成分分析がわかるというこ ととは , まったく別問題なのだ . 70 第 3 章すぐわかる主成分分析