問題 - みる会図書館


検索対象: 有限要素法へのガイド
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1. 有限要素法へのガイド

150 5. 使用法と計算例 分布荷重 集中荷重 の区別がある . 有限要素法の計算では , 最終的には , 分布荷重もすべて , 節点 にかかる集中荷重に換算して扱う . この換算は , 業務用のプログラムでは , た いていプログラム内部で処理してくれる . ただし , その処理を簡単にするため , 荷重分布の形は簡単なもの ( 一様分布など ) に限られている . 5. 2 簡単な例題 有限要素法は , もともと , 複雑な計算に適した解法であるから , 例題もある 程度 , 複雑なものをやる方がいいのかもしれないが , そういう本格的な例は別 の機会にとりあげることにして , 今ここでは , はじめて使う人を対象に「演習 の時間 1 回 ( 1 時間ぐらい ) でできる」ことを目標に , また , 精度の検討がで きるように , ということも考えて , 図 5.3 のような , 簡単な問題をとりあげて みた . これはいわゆる「片持ち梁」の問題で , じつは , 有限要素法にとては , 精度的に不利な問題であるが , そういう問題を体験しておくこともむだでない と思う . 板厚 2mm tutu 0 600 mm 図 5 . 3 要素分割簡単な形であるが何通りもの分割が考えられる ( 図 5.4 ). 本当は , 同図 ( e ) ぐらいに細かくするのが望ましいが , とりあえす同図 ( a ) で計算して みることにしよう . 番号づけ前節の注意に従って , 節点番号は自由端から , 図 5.5 のようにつ ける . 要素番号も , それに合わせて , 先端からつけることにしよう . 座標データ図 5.5 のような座標をとれば , 各点の座標は次のようになる .

2. 有限要素法へのガイド

2. 1 有限ということ 「有限の数学」と「無限の数学」の利害得失を考えてみよう . 無限の数学の よい点は , なんといっても「厳密」ということであろう . 有限の数学で得られ る答は , たいてい , 近似値にすぎない . また , 無限の数学は , 思考の過程は複雑であるが最終的に必要となる計算は 概して簡単である . 式 ( 1 ) をまともに計算するには , 電卓かソロ / くンを使いた くなるが , 式 ( 3 ) なら , 暗算で済む . 3 というのも簡単であるが , これも「無限の数学」の一種である . しかし , 無限の数学には , ーっ , 弱点がある . それは , 適用できる範囲が狭 いということである . 学校で勉強しているときには , 学校で習った数学で何で も解けるような気がするかもしれないが , 学校でやる演習問題は , じつは「解 ける問題」だけを , 先生が苦心して選んで出題しているからできるので , 勝手 に問題を作ったら , そんなにうまくはいかない . その点 , 有限の形の近似計算は , はるかに適用範囲が広く , 実用上の問題も たいてい解ける , という強みがある . 数値的な計算の手間がかかるが , コン ータを使えば処理できる . 精度が心配ならば ヒュ 誤差評価を行なう . 必要に応じて細かい分割 ( または高精度公式 ) を用いる . など , 慎重な取扱いをすればよい・ たとえば , 先ほどの例では , 図 2.1 の (b) ならば過大近似値 , 小近似値が得られるはすであるから , ( c ) ならば過 1 で , 右辺と左辺の差は 1 < 工 2d 工 < 1 であるから , どちらで計算したとしても誤差は 1 / 〃以下である ( 実際の誤差は , その半分ぐらいである ) . したがって ,

3. 有限要素法へのガイド

FORTRAN ( 77 増補版 ) 原田賢一著 2 色刷・ A5 ・ 1350 円 基本的な例題を中心に流れ図とプログラムを 2 色刷リの見やすい構成で示し , 各章末に文法ノートと演習問題を配した入門書の決定版 . FORTRAN 77 大駒誠一著 A5 ・ 1380 円 新しく標準化された FORTRAN 77 の特色を平易にわかりやすく解説 . 初心者 が自然にプログラムの本質と技術を習得できるよう工夫されている . サイエンス社

4. 有限要素法へのガイド

3.7 平面応力問題 つりあい方程式よりもエネルギーの式の方が簡単で扱い易い エネルギー法の方が低次の近似式を使用できる 73 などの事情があるためである . その実際を , 平面応力問題の場合について , 強してみよう . 3. 7 平面応力問題 するのが無難であろう . ることが望ましいが , 2 次元的に解析するのであれば , やはり平面応力モデルを使用 す厚い板の場合は 3 次元的な効果が入ってくるのでできれば 3 次元的に解析す という仮定を入れて解析することをいう . 薄い板の面内変形の問題に関して↑ 板の厚み方向の応力成分は 0 弾性体の式に すること , ととれるが , 厳密な意味では , 3.1 節で概説したような 3 次元連続 平面応力解析というのは , 常識的に解釈すれば , 応力問題を 2 次元的に解析 そういうわけで , 本書でも , こから先は平面応力問題を中心に説明すること て作られたプログラムで , かなり実用的な計算をやることもできるのである . パンチし , 計算機にかけてみることが可能であり , そうし プログラムを書き , りマスターすることができて , しかもあまり複雑でなく , 演習の時間に自分で それに対し , 平面応力問題を勉強すれば , 有限要素法の基本的な技術を一通 ログラムを作っても , ほとんど実用には使えない . 簡単すぎて , 有限要素法に特有な各種の技術を学ぶ機会がないし , せつかくプ 一方 , うんと簡単な問題としては , 1 次元の有限要素法があるが , これでは かかり , 人力データの作成もたいへんなので , 初心者の教育には適当でない . が , 3 次元の解析には大きなメモリー ( 記憶装置 ) を必要とし , 計算時間が相当 一般性を重視するなら , 3 次元連続体の問題から入る方が良さそうである いろな理由がある . び , プログラムを作り , 使ってみることだ , といわれている . それには , いろ 構造力学における有限要素法を理解する早道は , 平面応力問題の計算法を学

5. 有限要素法へのガイド

1 有限要素法とは何か ようになり , 学校や研究所でも大型コンヒータを持っところが多くなってき た . その頃から , 有限要素法の応用分野は急に広がり , 多種多様な方面で利用 されるようになった . 有限要素法を使えば , 自由に思いどおりのモデルを作れる 複合材料の解析ができる 弾性限界を越えた状態の解析ができる 3 次元連続体としての解析ができる 形状が複雑でもよい などの利点があるので , 特に , 材料力学 , 破壊力学の問題には広く応用され , 成果をあげている . 非金属材料を ( まがりなりにも ) 解析できることは , 有限要素法の強みで , ート , 合板 , その他 , 各種のものに応用されて ゴム , プラスチック , コンクリ いる . Kobayashi は , 動脈壁 ( 1966 年 ) , 眼球 ( 1969 年 ) などの応用解析に有 限要素法を応用したが [ 7 ] , これも材料力学的研究の系統を見ることができる . 近年は , 骨や歯の解析にも利用されている . 非構造分野への応用有限要素法は主として構造解析の手法として使われて きた . それは , 構造解析の問題が , 一般に 微分方程式の問題としては扱いにくい しかし有限要素法ならば簡単 という性格をもっているからである . それに対し , は ( 問題にもよるが , 概して ) 微分方程式の問題として扱い易い 有限要素法だと少し困難がある 流体力学や電磁気学の問題 という性格がある . そのため , これらの分野における有限要素法の利用は , 遅 れていた . しかし , 近年 , この方面への関心が高まり , 産業界でも積極的に利 用しようという傾向になってきている . 基礎理論有限要素法は , 最初 , 物体を直接にモデル化して解く , という発

6. 有限要素法へのガイド

2.5 標準的な有限要素モデル 全部についての和をとる , という意味である . 43 ところで , 2 , 3 , の 3 などを , どのように計算すればよいか , ということ を , まだ説明していなかった . それは , 川井モデルのように簡単にはできない . 結論だけを書けば , ただし = { ( リ 3 ー ) ( ーリ 2 ) + ( 有ーエ 3 ) ( ェ 2 ーエ D } = 朝 2 ーリ 3 ) ( ーリ 2 ) + ( ェ 3 ーエ 2 ) ( ェ 2 ーエ D } = { ( リ 2 ーリ 3 ) 朝 3 ーリ D + ( ェ 3 ーエ 2 ) ( ーエ 3 ) } な = ( 熱伝導率 ) x ( 厚さ ) / ( 2 」 ) ( 13 ) 」 = はェ 2 ー新 ) 朝 3 ー ) ー ( ェ 3 ー ) 朝 2 ー川 となるのであるが , どのようにしてこの式が出てくるかという説明は , いろい ろと数学的な道具を使わなければならないので , 「理工学のための有限要素法」サイ〒ンス社 ( 近刊 ) , を見よ ). こでは省略する ( 菊地文雄 濃度差があれば物質が移動する 拡散の問題も , えて解く」という形で , こういう方法を用いてきた . 昔から , 「分布定数系の問題を , 近似的に等価な , 集中定数系の問題に置き換 という性質があるから , 同様な方法で計算することができる . 電気の人たちは , 電気がたまると電位があがる ( 電位上昇 ) = ( 流入電気量 ) / ( 容量 ) 電位差に比例して電流が流れる んある . たとえば電気には , 全く同様にして解くことができるであろう . じつは , そういう問題が , たくさ という性質だけであった . したがって , これと同じような性質の問題ならば , 熱がたまると温度があがる ( 温度上昇 ) = ( 流入熱量 ) / ( 熱容量 ) 温度差に比例して熱が移動する 一般化以上で扱ったのは熱の問題であるが , 計算の基礎として使ったのは , プログラム 2.3 , 図 2.17 に示す . プログラム例式 ( 12 ) , ( 13 ) による計算のプログラムの 1 例および使用法を

7. 有限要素法へのガイド

5 使用法と計算例 5. 1 要素分割 有限要素法で問題を解析する場合 , 次のような手順が必要である . 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 物理的な簡単化 要素分割 入力データの作成 カード穿孔 コンヒ。 ータ処理 結果を読む 解釈し検討する 各段階について , もう少し詳しく説明しよう . 1 ) 物理的な簡単化 実際の問題を , 適当に理想化 , 簡単化して , 有限要素法で扱うことのできる 程度の問題になおす . すなわち , 個々の問題に許される範囲内で 細部構造の省略 影響の少ない要因の省略 特性の線型化 2 次元化 , 1 次元化 対称性の利用 局所化 などを行なう . こういう処理は , 有限要素法に限らず , どのような方法で解析 する場合もやるわけであるが , 有限要素法の場合には , 必要に応じて , 従来の 方法よりもはるかに詳しい解析ができるのであるから , 簡単化しすぎないよう に , しかも計算費用をむだにしないように , その間のランスを考えて , 詳し さの程度を適切に決めることが大切である . 既に発表された計算例などを参考

8. 有限要素法へのガイド

2 基本的な考え方 熱の場合は , 熱容量というす . 普通は , 温度を 1 ℃上げるのに必要な熱量で , 熱容量を表す . これを C とすれば , 4 力。リーの熱が入。てきたとき , 温度は q / C 度だけ上がる . 先ほどの式に結びつけて式に書くと 恤 ( TI ぃ 1 ー 2 + 一 1 ) + 6 ( T dt を十一 00 となる廿 . これが温度分布 ( の時間的変化 ) を計算していくときの基本的な公 式である . 連続体の場合以上で考察したのは , 純粋に離散的な問題であ。た . 問題と する領域 ( マンシ = ン ) は , 最初から有限箇の小部分 ( 部屋 ) に分かれていた . それに対し , 今度は , 連続体の問題を考えよう . 三の具体的な例を図 2.11 に示す . 連続体の問題を扱う方法は , 大きく分けて二つある . いい湯だな 早く冷えないかなあ 図 2. 1 1 ーっは , 連続体を , 先ほどのマンションと同じように碁盤目に分け , 方程式 を作り , それから「分割を無限に細かくした場合の極限」を考える , という方 ↑実際の部屋の熱容量には壁も関係している . 壁は「熱を伝える物」と「熱を蓄え る物」という二重の役割をもっている . しかし , 一応 , 熱容量は部屋の方に集中して いると割り切って考えることにする . この式の具体的な計算法および数値例は , 拙著 ; 「数値解析とシミ = レーション」 ( 共立全書 211 ) を参照されたい .

9. 有限要素法へのガイド

8 1 有限要素法とは何か る . ごく簡単な問題を解くにも数十元 , 実際的な問題を解くためには数百元 , 数千元の連立方程式の計算をしなければならない . だから筆算でやるのは事実 上不可能で , どうしてもコンヒ。ュータを使わなければならない . それも高速 , 大型のコンビ = ータを必要とする . 見かたによっては , 非常に不経済な解法で ある . しかし , コンヒ。 = ータの使用を前提とすれば , 計算量の多いことはべつに苦 ことに有限要素法の計算は , 必要演算回数が多いけれども処理は にならない . きわめて規則的で , コンヒ。 = ータに適している . それに対し , 従来の解法の多 くは , コンヒ。 = ータを使っても , 格段に精度がよくなるとか , 解けない問題が 解けるようになる , といったメリットが出にくい . たとえていうならば , 建設工事でも , 機械を使用する際には機械向きの工法 を用いるのが当然で , 機械に適した工法を用いなければせつかくの機械が生か されない . 有限要素法は , それと同じような意味において「コンピ = ータに適 した計算法」なのである . プラック・ポックスとして使える実務家にとって , 有限要素法の最大の魅 力は , 既に非常にすぐれた汎用プログラムができていて , 一般の利用者は , 単 にデータを入れさえすれば即座に答の出てくるプラック・ポックスとして有限 要素法を利用できる , という点であろう . こんなに便利な手法は珍しい . 他の 方法だと , 新しい問題を解くたびに 方程式を立てる 近似計算式を作る プログラムを作る ( 数学的な知識が必要 ) ( 計算法の知識が必要 ) ( 計算機の知識が必要 ) という手順を経なければならない . そんなことは簡単だ , と思う読者がおられ るかもしれないが , 実際はなかなかたいへんで , 一発で成功するとは限らず , 何回も試行錯誤をくりかえすことが少なくない . また , 物理 , 数学 , 計算機に 関するかなり高度な知識を要求されるから , 誰もができるというわけにはいか ない . 実力が不足なら , あるレベル以上の問題は解けない , ということになっ てしまう . それに対し , 有限要素法の場合は , 汎用プログラムがあるので , 大部分の問

10. 有限要素法へのガイド

5.4 いろいろな分割で計算してみる 159 X103 先端のたわみの計算値 8 4 2 分割数 6 図 5.7 分割の細かさと計算結果の関係 5. 4 いろいろな分割で計算してみる こんどは , 丸い穴のあいた板を引っ張った場合の , 穴の周辺の応力分布を計 算してみよう . これは , 三角形要素による曲線境界の近似法 分割の粗さの調節法 対称的な問題の処理法 などの練習に役立っと思う . 問題とする板の形状 , 寸法 , 荷重条件 , 材料定数などを図 5.8 ( a ) に示す . 穴のある板に力を加えると , 穴の近くに応力が集中し , 破壊などの原因になる ことがあるので , 設計上重要な問題である . これまでの実験や理論的考察から , 同図 ( c ) のような応力分布になることが予想される . 断面 P Q 上の平均的な応 1 3 24