3 ・ 4 マトリックス代数の要点 59 行列 ( マトリックス ) と行列式行列と行列式は名前が似ているし形も 4 町 022 4 1 m2 0 1 m2 と , よく似ているので混同している人が少なくない・普通は ( 高校などで ) 行 列式を先に習うので行列を行列式とまちがえて , たとえば 19 22 43 50 などとやっている答案をよく見かける . 乗算に関しては (detCA] (detCBJ) det ( [ み ] CB ] ) A の行列式の値 B の行列式の値積 AB の行列式の値 という公式があるので余計まぎらわしいが , とにかく最後に = 4 と書くのは , 行 列がわかていない証拠である・行列と行列式の違いは次のように覚えるとよい . 行列式は , その名のとおり、式の一種である・たとえば 6 0 は , 0 ビ / 十 6 工十 dhc ー c e 〃ー 6 d / ー f ん 0 という式を略記したものだと思ってよい . 特別な規則で作られる非常に複雑な式 を , そのもとになる数値を並べて表したものである . 値を計算すれば , ーっの数 ( スカラー ) になる . 行列は , 数を並べたものである・一組の数を特定の規則で扱うための道具 ( 記法 ) である . 1 個の数ではどうしても表せない量を表すための手段である . そのよう なもので , よく知られたものとしてはべクトルがあるが , マトリックスは , トルの間の比例関係を表すもので , べクトルに対する演算子のようなものである . 行列の計算公式と行列式の計算式には似たものもあるが違うものが多いので注 意を要する . たとえば 行列式ならば 行列の場合は となる . ( 行列のスカラー倍は各成分をスカラー倍すること ). 0 であるが

3. 構造解析 分配法則 ( 3.4 節の式 ( 12 ) ) を用いると , 全体 これらの式を辺々加えあわせ , の方程式 要素 2 要素 3 1 ん 0 0 昼十昼 ん 2 + ん 3 が得られる . これは 3.3 節の式 ( 9 ) , ( 10 ) および式 ( 8 ) の第 1 式と第 6 式に相 当する . 57 ページのように = 300 = 100 を人れれば 2 = 200 100 ー 100 ー 200 ー 300 〃 3 500 300 ″ 4 ー 300 となる、これは 3.3 節の式 ( 11 ) に相当する . それに続く 3.3 節式 ( 12 ) の内の実質的に解く部分 ( 上の三つの式 ) は , マト リックスで書けば 100 ー 100 ー 100 300 ー 200 ( 8 ) ー 100 300 ー 200 ー 200 2 500 ( 9 )

これを解くと となるから , , 丐 , 娵を代数的に扱って解く、こともできる . まず佖。を消去するため , 式 ( 4 ) この例のように , , , 娵の数値を与えれば数値的に解けるが , もっと一般的に , 区分多項式による 2 変数関数の近似 ( 4 ) ー ( 3 ) = 2 ーエーリ 2. 3 1 = 0 十 0 = 0 十 1 = 0 十 ・ 1 十な 2 ・ 0 ド 1 十な 2 ・ 1 ・ 0 十 2 ・ 1 および式 ( 5 ) から式 ( 3 ) を引くと れノーを = 工ノーエを ) 十佖 2 ( 互ノ ん一れを = 1 ( 工ん一工を ) 十 2 ( ん これから佖 2 を消去するため , 上の式に ( 一 ) , けば これより 下の式に ( の一 ) を掛けて引 ( プーん ) を十 ( ん一互を ) ノ十 ( クを一のれん ( 2.2 節の式 ( 2 ) と同じもの ) , 同様にして ( 工ん一工ノ ) なを十 ( 工ーーエん ) 十 ( ー (i) ん を得る t. はもう少し複雑な式になるが , 以下の計算には必要ないので省略する . [ 演習 ] Cramer の公式を用いて式 ( 6 ) , ( 8 ) を導出し。の計算式も作れ . ↑マトリックスを使えば , 式 ( 6 ) , ( 8 ) を次の形に書くことができる . ん一を 普通 , この係数行列を B で表し , を一ノを 工ノ - ーエを B マトリックスと呼ぶ .

30 2 基本的な考え方 最も簡単なのは , 区分 1 次式 , すなわち「各三角形の上で 1 次式」という近 似である . その 1 次式のとりかたとしては , 各頂点でもとの関数 ( 実際の標高 ) に一致するものを用いるのが便利であろう . そのようにすると隣の三角形の上 の 1 次式と連続につながることになり , 図形的にいえば「折れ面関数」になる ( 図 2.8 ). それは , 数式的には次のようになる . 図 2.8 折れ面関数の例 ーっの三角形の頂点の点番号 ( 26 ページ参照 ) をれ ) , たとし , 座標をそれ ぞれ ( ェぃ ) , ( も , ) , ( 工い ) , 頂点における関数値 ( 標高 ) を , , とする . 一方 , 1 次式を 0 十工十 2 リ とする . 頂点れ去たにおいて , その値が , 丐 , になるためには 0 十工ん十 2 y ん 0 十ーエノ十 2 リノ な 0 十工を十 2 リを ( 2 ) ( 3 ) でなければならない . これを連立 1 次方程式と考え , 0 , , のについて解 けば , 1 次式が決まる . [ 例 ] 頂点の座標が ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 0 , 1 ) , そこにおける関数値が 1 , 0 , 1 ならば ,

3.4 マトリックス代数の要点 マトリックスの各行と列べクトルの成分の積和を縦に並べたもの t と定義する・ 〔例 ] 5 6 1 x 5 十 2x 6 3 x 5 十 4 x 6 定義を一般的な式の形で書けば次のようになる . 0 2 れ 工 1 十 0 肥工 2 十・ 工ー十 222 工 2 十・ 17 39 aml 4m2 工れ 0m1 工 1 十 0m2 工 2 十・ 十 0 ーれ 十 02 れ ・十 a 7 れ . れ 工れ 工れ ( 4 ) 工阨 これを用いれば , 式 ( 1 ) は , 次のように書くことができる . 02 れ aml 0m2 ので , マトリックスとべクトルを並べて書いてあれば , 黙っていても , 成分の ち積和の式は書かない . この種の計算においては , いつも積和ばかり出てくる 変数は変数 , 係数は係数でまとまって , すっきりした形になっている . いちい 式 ( 1 ) では変数と係数がまざって長い式になっているが , 式 ( 5 ) においては , 積和を作ることに決めてしまったわけである . 次に , マトリックスとマトリックスの積は , 左のマトリックスの各行と , 右のマトリックスの各列の , 積和を作って ( 第一行と第 ) 列の積が結果の第一行第ゾ列 になるように ) 四角に並べたもの t マトリックスの列の数とペクトルの成分の個数は等しいものとする . ような場合にのみ定義できる・ 積はその

2 基本的な考え方 24 ( 5 , 7 ) を頂点とする三角形の面積を式 ( 1 ) で計算 ( 6 , 2 ) , [ 例 ] 点 ( 1 , 3 ) , してみよう . 00 ワ / 1 0 1 1 1 = 12 = 24 2 [ 式 ( 1 ) の根拠 ] 行列式の一つの行を他の行から引いても , ・行列式の値は変 らない . 式 ( 1 ) の行列式の第 2 行と第 3 行から第 1 行を引くと 1 0 工 2 ーエーリ 2 ー 1 0 工 3 ーエーリ 3 ーリー ( ェ 2 ーエ 1 ) 朝 3 ー ) ーは 3 ー ) ( リ 2 ー ) これは辺 PI P2 , P 3 を表すべクトル となる . P, P2 = ( 工 2 ーエいリ 2 ー ) PIP3 = ( 工 3 ーエ 1 , リ 3 ー ) の外積 ( べクトル積 ) の 2 成分に等しくす ( ェ成分とリ成分は 0 になる ) , それは ( 0 は両べクトルのなす角 ) 出 P2 国 P3 国 n0 すなわち ( 辺 PlP2 の長さ ) ( 辺 p 3 の長さ ) sin0 = 士 ( 三角形の面積の 2 倍 ) に等しい . 符号は , 点 p ぃ P2 , P3 が上 ( 2 = ) から見て反時計まわりならば 正 , 時計まわりならば負となるが , どちらでもよいように絶対値をとれば s = レ 2 となる . 任意の図形の面積を計算するプログラム廿上記の方法 ( すなわち , 図形を 三角形に分割し , 個々の三角形の面積を計算して加えあわせる , という方法 ) を 用いて , 任意の図形の面積を計算するプログラムを作ってみよう . t もし読者が外積のことを習っていなければ , 初等解析幾何学を用いて垂線の長さ を計算し式 ( 2 ) の値が ( 底辺の長さ ) x ( 垂線の長さ ) になることを証明すればよい . こをとばして先に進んでよい . プログラム作成に関心のない読者は ,

4. 2 連立 1 次方程式の解法 ln 工 1 十 / 幻工 2 十・ ・ + lnl ェれ Z22 工 2 十・・十 I れ 2 工れ であるから , 下から順に れれ これらに要する演算回数は というぐあいに解くことができる . 各〃朝一 1 ) / 2 回除算〃回 乗算と減算 , ( 4 ) を解くのに 〃朝一 1 ) / 2 同 ( 5 ) を解くのに 〃朝一 1 ) 同 2 〃 にすぎない ( あらかじめ A の逆マトリックスを計算しておいて , ェ = スー % と する場合の , マトリックス x べクトルの計算に要する演算回数とほとんど同じ である ). じつは , A が , くンド・マトリックス ( 半幅襯 + 1 ) ならば , んも , くンド・マ トリックスになるから , た一 1 まで ならば , 式 ( 6 ) の芝は , ) = た一襯から ん > 襯 た十襯まで たミ〃ー襯ならば , 式 ( 7 ) の芝は , = ん + 1 から ( 4 ) 式を解く 十算すればよいから , 実際の必要演算回数は , ( 乗算と減算 , 各 ) のに約襯〃 , ( 5 ) 式を解くにも約襯〃 , 合計約 2 襯〃で済む . そういうわけで , ス = んん T になるようなんを求めればよい , ということが これは , 成分別に書けば わかったが , lik 有 ニニロ 0

造解 析 3. 構 ″ 0 ″な 0 0 0 0 リん一リを 6 一リん 0 蘇ーも 0 町一 0 工ノーエ ~ ーリん工 ~ ーエんリん一のも一有 工ん一も の一リノ 1 ( 16 ) 工″ この右辺の係数マ クスを , 普通 , 「 B ] で表す . トリッ 0 一リん リん一リ 0 0 一 0 も 工ん一も ーも リノー町一リん一も一工を一 式 ( 16 ) は変位と歪の関係式の離散近似式であり , マトリックス「 B ] の乗 算は , 一種の数値微分の役割をはたしている . 以上の結果と ( 8 ) , ( 9 ) , ( 10 ) を組合わせると , 結局 要素内の歪は 要素内の応力は }T { 6 } dx イリ 要素の歪エネルギーは U = 要素内 ( 要素の面積 ) ん 0 0 1 ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 20 ) ( 21 ) 2 となる ( 図 3.10 ) CK] = ( 要素の面積 ) ん「 B ] T 「 D ] 「召 ] とおけば , 式 ( 21 ) は次のように書ける . 巨 }T CK] レ } ( 23 ) 一方 , 上記の三角形要素に他の要素から作用するカおよび外力を , 節点に加 わる集中荷重に置き替えて表現したものを ( 22 ) 1 2

2 ・ 3 2. 3 区分多項式による 2 変数関数の近似 区分多項式による 2 変数関数の近似 こんどは山の表面積を計算する方法について考えてみる . 山の表面積の定義 には各種のものがあると思うが , ーこでは , まず地図の上で「ここまでをこの 山の範囲とする」という領域 D を決め , D 上の各地点の標高 ( 海抜何メートル という値 ) をェ , のとし t , D 上の曲面名 = ⅵェ , のの面積 1 十 高見山 を山の表面積と呼ぶことにする . 十 dx dy 753.0 500 4 の 図 2.7 ↑ェ軸 , 軸は水平面上にとるものとする . という方法を用いる方がよい . 多小部分ごとに簡単な式で近似する いくっかの小部分 ( 三角形 ) に分ける で近似するのは一般には困難であるから , 前節のように 関数は少ない . 一案としては多項式が考えられるが , D の全域を一つの多項式 求めることにする . ところで , 2 変数関数の近似式として一般的に使用できる そうもない . そこで近似式を作り , 近似式を積分することによって V の近似を 山の地形は複雑であるから , 上記の積分値を解析的方法で求めることはでき

100 4. 実習用プログラム さらに詳しく書けば ( トリックスの積の定義と , ー > ならば = 0 という 条件により ) , lkj は = 2 , 3 , ・ は = 2 , 3 , ・ い > ん ) ( 11 ) ( 10 ) であるから , これが満たされるようにんの成分を計算する式を作ってみると , まず ( 8 ) により = V 「が得られ , これを用いて , ( 9 ) より い = 2 , 3 , が得られ , が求まり , が求まり , ( 10 ) により , まずた = 2 に対して それを用いて ( 11 ) より ( 0 を 2 次は Z33 が ( 10 ) より —l I )/l を 1 21 22 を 2 引 また偏が ( 11 ) より として求められる . 以下同様で , 〃の順に 結局 , 全体の計算手順は次のようになる . た十 2 , 〃の順に い = 2 , 3 , は = 〃の場合はスキップ ) ん一 lkj ( 12 ) ( 13 ) ( 15 ) ( 14 ) みがスンド・マトリックスの場合には , 式 ( 2 ) を考慮すると , 上式中のは = 「ん一襯と 1 の内の大きい方」からん一 1 まで ノ