エネルギ ー法 3. 6 んな du = 1 2 ( ただしはバネ定数 ) となる . 一般の弾性体の場合には , 歪が一様でない 応力や歪が複数個の成分をもっ などの事情から , もう少し複雑な考察を必要とするが , 結論としては ( 歪エネルギー ) 物体内部 ( 応力 ) ・ ( 歪 ) d ェ ( 2 ) となる . ただし , 上式中の ( 応力 ) ・ ( 歪 ) は , 応力の各成分とそれに対応する歪の成分の積和 と解釈するものとする . 49 ページの記号を用いて書けば次のようになる . ( 歪エネルギー ) ( びェら十 % % 十 ez 物体内部 工リ XY YZ YZ 十「 + て十てエ ) dr ( 3 ) 微分して = 0 と置く エネルギー原理を用いてつりあいの状態を計算するに は , ポテンシャル・エネルギーの計算式を作り ( その極小点を求めるために ) 未 知変数で微分して = 0 と置いた方程式を解けばよい . [ 例 ] 図 3.8 の問題の場合 , 系の ポテンシャ / レ・エネノレギ 歪エネルギー くネの 十 おもりの 位置エネルギー 変位〃は , 歪なしのときを 4 = 0 とし下向きを正とする . 位置のエネルギーは最初の状態を基準にして計るは = 0 のとき 0 ). ということにすると , 系のポテンシャル・エネルギー″は 1 2 んは / くネ定数 襯はおもりにかかる重力 kg 重 /cm

50 3. 構造解析 応力 弾性体に歪があると , 歪のない状態にもどろうとして , 内部的な力を この力を応力という . 数量的に表すには , 物体内部の微小断面を考え 生ずる . ( 微小断面を介して伝わるカ ) / ( 徴小断面の面積 ) によって表す . 歪と同様に 6 個の成分をもっ . ェ軸方向の伸縮に抵抗するカ y 軸方向の伸縮に抵抗するカ 直応力 2 軸方向の伸縮に抵抗するカ ェーリ平面内の剪断変形に抵抗するカ リー 2 平面内の剪断変形に抵抗するカ 剪断応力 2 ーエ平面内の剪断変形に抵抗するカ 応力は , 普通の「カ」と少し違う . 特に次の点に注意すること . [ 注意 ] ペクトル量 ( 向きと大きさをもっ量 ) ではない・ 向きや符号の意味が異なり , 成分の個数も違う . 座標変換の公式が異なる . 単位面積あたりの値であること . 応力と歪の関係歪があまり大きくならなければ , 応力と歪は比例する , と いうことが知られている . この比例関係の基本になるのは , 図 3.3 のように 一方向だけの一様な応力 状態を与えた場合である . その場合 , その方向の直応力と直歪の関係を び = E 6 剪断応力と剪断歪の関係を て = G r 図 3.3

3. 構造解析 は , このような仮定がおおむね妥当であるといわれている . 基礎方程式上記の仮定を人れて , 基礎的な関係式を 2 次元の形にまとめる と , 次のようになる . ェ成分″は , の 変位 成分。は , の ェ方向の直歪 変位と歪の関係 リ方向の直歪 6 剪断歪 ェ方向の直応力 応力と歪の関係 びェ リ方向の直応力 剪断応力 0 ( 0 ( 0 ( 0 ( ひ Dr ( e ェ + ン % ) ( 2 ) 2 ( 1 + レ ) ただし G = んは板厚 ただし D は問題とする領域 Ⅳ = ( / ″ + 9 の d ェ d リ 成分 ) ( ただし / 曰は荷重密度のェ成分 , ( 集中荷重の場合 ) Ⅳ = ( + ) すポテンシャル・エネルギーはそれだけ減少する . 歪エネルギー ( 3 ) ( びェら + % + てア ) dx イリ 外力のする仕事す ( 分布荷重の場合 ) ( 4 )

70 歪エネルギー 3. 構造解析 弾性力学の問題を扱う場合 , ポテンシャル・エネルギーとし ては , 位置のエネルギーに代表される普通のポテンシャル・エネルギーと , 弾 性体の歪エネルギーを考慮すればよい . 両者の違いは , 力が変位に依存するかしないか , という点にある . / くネでおもりを吊るした場合を考えてみる . お たとえば , 図 3.8 のように もりにかかる重力は , 変位に無関係に一定である ( 厳密にいえば , 地球の中心 からの距離の 2 乗に反比例するわけであるが , スネが少し伸びた程度のことな らば , 重力の変化は無視できる ). それに対しノくネが縮もうとする力は , 変位 に比例する . 最初の 1 mm はわずかのカで伸びるが , 次の lmm を伸ばすには もう少し大きな力を必要としさらにもう 1 mm 伸ばすにはもっと大きな力を 必要とする . 逆にいえば , スネを使って仕事をしようというとき , 変位すの大 きいときには大きな力が出るが , 仕事をすれば / くネはしだいにもとの中立の状 であるから , ( 仕事 ) = ( カ ) x ( そのカで動かした距離 ) 物理の時間に学んだように エネルギーとは仕事をする能力のことであり , 図 3. 8 重さ m 変位 バネ定数た 態にもどってゆき , 変位すが小さくなると小さな力しか出ない . す正確にいえば歪 . であり , 今のノくネの問題の場合には 動かせる徴小距離 ) } の総和 = { ( ある歪の状態でとり出せるカ ) x ( そのカで ( 歪エネルギー ) = ( 歪を 0 にする過程でとり出せる仕事 )

3. 構造解析 80 y 成分。 ( ェ , の ェ成分ェ . の 変位 歪 変位と歪の関係 工 V ö工 ( 0 ( 0 十 応力 応力と歪の関係 { 。 } = D 作 } 平面応力モデル ( 厚み方向の応力が 0 ) の場合 0 0 ーレ ) / 2 レ 1 0 1 レ 0 2 平面歪モデル ( 厚み方向の歪が 0 ) の場合 0 0 要素内の変位を 1 次式で近似して 形状関数 夜 10 十夜工十夜 12 伐加十夜幻工十夜 22 0 0 0 ( 1 ー 2 レ ) / 2 ( 1 + レ ) ( 1 ー 2 v ) とおけば 夜 12 十夜幻 三角形要素領域を三角形の網目に分割し その内の一つの三角形の 頂点の番号を ( 有 , の ) 頂点の座標を ( 均 , 丐 ) 頂点の変位を 2 次元応力解析の計算式のまとめ 図 3.10 ( ェぃ ) ( 娵 , ) ( ェぃ ) ( ない )

3.7 平面応力問題 ただし , Ⅳは荷重点数 , , 町は点ーにおける変位 , / ぃは点 / にかかる集中荷重のェ成分 , y 成分 マトリックスによる表現以上の関係式を , マトリックスの形で書くと次の ようになる・ 変位 歪 変位と歪の関係マトリックスを用いて表すと次のようになる . Du/Dx Du/DY Dv/Dx Dv/ Dy ( あとで説明する一一式 ( 12 ) ) % で表す . ( 6 ) ペクトル { 6 } 0 1 0 0 0 0 0 1 イ 0 0 0 1 1 0 0 0 6 ただし 応力と歪の関係 6 ( 8 ) vE 2 ( 1 + レ ) この係数マトリックスを [ D ] で表すことにすれば { び } = CD] { 6 } d2 0 0 - ィー 0 しイ・ 0 0 0 ( 1 ーレ ) / 2 0 0 ( 9 ) 2 歪エネルギー ( あとで説明する一一式 ( 25 ) ) 外力のする仕事 { 引 ( 10 )

片持ち梁 150 川井モデル 37 行列 59 行列式 59 剛性マトリックス 固定条件の処理 Choleski 法 97 エネルギー原理 FEMT 円孔板 応力 要素剛性マトリックス 68 91 160 50 仮想記憶方式 105 と歪の関係 80 転置マトリックス 熱伝導 34 六ンド・マトリッ 歪 49 エネルギー 平面応力問題 変位 47 と歪の関係 要素分割 マトリックス P oi on 比 変位法 14 4 51 52 悪い分割の例 6 0 列べクトル Rayleigh- Ritz 法 64 67 57 クス 70 8 0 73 165 2 58 9 1 6 7 三角形の面積 23 精度 154 節点番号のつけかた 全体剛性マトリックス 剪断弾性係数 51 弾性係数 (Young 率 ) 116 DDL 145 67 51

3.1 弾性体の特性 Q そのェ , 名は変形前の座標ですか , それとも変形後の座標ですか ? A 普通は変形前の座標を使うと思ってよいでしよう . 」ェ 49 変形前 変形後 変形前 社 ( の 変形後 変位社は , の 変位社 ( ェ + ム , の 伸び」社 = 社は + 」ェ , の一社 ( ェ , の 伸びの割合」」ェ すれ」社 = 社 ( + 」の一社は , の すれの割合」社 / 」 4 伸びたときに正 縮んだときに負 のとき負 / は のとき正 , になる 図 3. 2 徴小部分の変形のもようを表す量で , 歪というのは , 6 個の成分をもっ . ェ方向の伸縮 6 Dr リ方向の伸縮 直歪 D w 名方向の伸縮 ェー平面内のずれ 剪断歪 リー 2 平面内のずれ 名ーエ平面内のずれ 6 ( 3 ) 〃 0 名 十 十

解 析 3 ・構 造 これを = 0 と置いて解けば ん = を得る . 上記の計算の意味を考えるため , いろいろな変位を仮定したときのエネル ギーの値をグラフにしてみたのが図 3.9 である . エネルギー 極小点↓ 図 3.9 〃 = 0 のときは , 歪エネルギーが 0 , 位置のエネルギーも 0 ( そこを基準に とったから ) , 合計 0 である . 4 を増していく ( おもりが下がっていく ) と , 歪 エネルギーは増加し , 位置のエネルギーは減少する . その際 , 歪エネルギーは がに比例し , 位置エネルギーは記に比例するので , ポテンシャル・エネル ギー ( 合計 ) は , 最初は減っていって , マイナスの値をとるが , やがて増加に 転ずる . エネルギー原理によれば , この極小点がつりあいの状態 , というわけ である . 極小点を求めるには , 「谷底は平らである」という性質を用いて , 微 係数 ( 勾配 ) が 0 という条件で方程式を解けばよい . いまの問題は簡単だから , 上記のようにするよりも , 直接につりあいの式を 書き下す方が早い . しかし , もっと複雑な問題になると , エネルギー原理を用 いる方が有利になる . それは , 弾性力学の問題の場合 ,

造解 析 3. 構 ″ 0 ″な 0 0 0 0 リん一リを 6 一リん 0 蘇ーも 0 町一 0 工ノーエ ~ ーリん工 ~ ーエんリん一のも一有 工ん一も の一リノ 1 ( 16 ) 工″ この右辺の係数マ クスを , 普通 , 「 B ] で表す . トリッ 0 一リん リん一リ 0 0 一 0 も 工ん一も ーも リノー町一リん一も一工を一 式 ( 16 ) は変位と歪の関係式の離散近似式であり , マトリックス「 B ] の乗 算は , 一種の数値微分の役割をはたしている . 以上の結果と ( 8 ) , ( 9 ) , ( 10 ) を組合わせると , 結局 要素内の歪は 要素内の応力は }T { 6 } dx イリ 要素の歪エネルギーは U = 要素内 ( 要素の面積 ) ん 0 0 1 ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 20 ) ( 21 ) 2 となる ( 図 3.10 ) CK] = ( 要素の面積 ) ん「 B ] T 「 D ] 「召 ] とおけば , 式 ( 21 ) は次のように書ける . 巨 }T CK] レ } ( 23 ) 一方 , 上記の三角形要素に他の要素から作用するカおよび外力を , 節点に加 わる集中荷重に置き替えて表現したものを ( 22 ) 1 2