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検索対象: 有限要素法へのガイド
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1. 有限要素法へのガイド

2.5 標準的な有限要素モデル する鉄球をくつつけたようなモデルである ( 図 2.15 ) . 図 2.15 三角形の板を頂点で溶接し鉄球をつけたモデル 三角形の頂点に , 番号 1 , 2 , 3 をつけると , この導体の特性は 点 1 と点 2 の間の「熱の通り易さ」 点 1 と点 3 の間の「熱の通り易さ」 点 2 と点 3 の間の「熱の通り易さ」 先ほどと同様に で表すことができる . 「熱の通り易さ」というのは , 点ーの温度が 点の温度が のとき , 単位時間当り 「点ーから点への熱の の熱が , 点ーから点 j に流れる , という意味である . 通り易さ」と「点から点ーへの熱の通り易さ」は等しいから , 032 = : 023 これらの特性値を , 次のような表 ( ひょう ) の形にまとめてみる . 3 2 1 1 ワん 00 0 32 しいて書くならとい * 印の所は「点ーから点への通り易さ」であるから ,

2. 有限要素法へのガイド

2 基本的な考え方 1 枚目のカード ( 節点数 , 要素数などの指定 ) という性質があるから , 同じプログラムで計算することができる . 物質がたまれば濃度があがる 節点数要素数 ( 注 ) 節点数は 81 以下 . X X X X X X X X ( いすれも整数型 ) 熱入力および熱吸収条件の与え方には 定温度熱源 ( ある点の温度が一定として計算 ) 定熱量熱源 ( ある点に入る熱量が一定として計算 ) の 2 種類がある . 前者の条件を与える点の数が , 後者の条件を与える点の数が 節点カード ( 1 点につき 1 枚 , 番号順 ) である . れ / は 0 でもよい . 節点番号 X X 座標 要素カード ( 1 要素につき 1 枚 ) 要素番号頂点ー X X X X X X 頂点ノ 温度指定力ード ( 1 点につき 1 枚 ) 頂点ん X X 4 座標 熱伝導率 板 厚 点番号 X X 熱源カード ( 1 点につき 1 枚 ) 点番号 温度 点番号と要素番号以外 は実数型 ( 必す小数点 をつける ) 図 2 . 1 7 流入熱量 プログラム L AP の使用法の要点

3. 有限要素法へのガイド

3. 構造解析 三角形要素 2 次元の問題を有限要素法的に扱う際の最も簡単な要素は , 角形 1 次式要素である . 問題とする領域を三角形の網目に分け , 頂点に一連番 号をつける . いま , ーっの要素 ( 三角形 ) に注目し , その頂点の番号をれカん とする . この三角形の中の変位を , 1 次式 ″ = な十工十に y ( 11 ) 0 = 十な幻工十 22 y で近似する ( それは , 要素内の歪が一定であるとみなしたことに相当する ). 頂点における変位を 分 成 分 成娵 点ー 点歹 点た とする . これは上記のような表 ( 2 次元配列 ) の形で扱うのが論理的には明快 でよいが , そのようにするとあとの計算式をマトリックスで書けない ( 4 次元 的な配列が必要になる ) ので , 便宜上 , 3 点の変位成分を全部 1 列に並べて ェ成分 点 / の変位 y 成分 ェ成分 点ノの変位 y 成分 ェ成分 占たの変位 y 成分 の形で扱うのが普通である . 式 ( 11 ) のな , 設が頂点れカんにおいて上記の値 をとるためには 加十な工十リを一 10 十工ノ十 十な 11 工ん十貶張 十 21 工を十な Yi な十幻工ノ十 22 十れ工ノ十なん 0 ( 12 ) ( 13 )

4. 有限要素法へのガイド

48 ( 例 1 ) 1 次元の場合 座標系 0 変形前 変形後 変位 ( 例 2 ) 2 次元の場合 変位 知 ) 5 変形後 点 P の変位 変形後の座標 P' 点 P の座標 変形前 3. 構造解析 、 tlR, VR) 変位 ( む変位の成分 な変位のェ成分 変位 (up, vp) 点 Q の変位 ェ 6 = 10.5 . 変形後の座標 カ / Q ・ 点 Q の座標 図 3.1 変位 0 値・ = 場所 0 = よ。、異なから , ~ , 。 , 。・ = 場所 , , 0 ・ 0 関数あり , 詳しく書けば ということになる . 4 は , y , 名 ) ( 工 , め名 )

5. 有限要素法へのガイド

2 基本的な考え方 , に「その行の数値の和の , 符号を逆にしたもの」 42 うわけであるが , 普通は , を書き込む . すなわち 温度 TI 点 1 通り易さ 通り易さ 013 点 3 通り易さ 点 2 温度 T2 図 2. 1 6 ( 十 013 ) ( 0 料十 023 ) ( 0 引十 032 ) 022 いろいろと便利なことがある t. とする . そのようにすると , 表 ( マトリックス ) こうしてできた 0 22 これは , 構造解析に を , その三角形 ( 要素 ) の「伝熱性マトリックス」という . おける「剛性マトリックス」に相当するものである . これさえできてしまえば , あとは簡単で , 式 ( 5 ) に相当するのは dt Ct また , 定常温度分布は , 連立 1 次方程式 ( すべての / に関し連立 ) ( 12 ) を解くことにより , 求められる . なお , 上式中 , は , 点 ~ に隣接する頂点 ↑たとえば平衡状態の方程式は次の形で表される . の 3 T2 = ( ー 02 ー 32 033 ( 11 )

6. 有限要素法へのガイド

3 ・ 2 変 位 法 53 を入れて整とんすると 2 一 2 々 2 ー 2 十〃 3 3 42 ー〃 3 = ( 固定点 1 の反カ ) この連立方程式を解いて ( まず下の二つの式を解き , 結果を第 1 式に代入 ) = 0.5 点 1 バネ① バネ② 点 2 点 3 このように , 変位法では , 変形前 バネ①の特性ん 1 = 2 ( 軸カ 2g につき lcm 伸びる ) バネ②の特性ん 2 = 1 ( 軸カ lg につき lcm 伸びる ) 変形後 図 3. 4 各節点の変位を仮定する . それをもとに各節点でのカのつりあい方程式を作る . その方程式を解く ( 変位が求まる ). 変位から歪を計算する . 歪から応力を計算する . という手順で問題を解く . [ 備考 ] 連続体の場合 , 変位は連続関数になるが , 有限要素法では , いくつかの代

7. 有限要素法へのガイド

68 3. 6 エネルギー法 [ 演習 ] 図 3.4 の問題をマトリックス法で解け . このような方法をマトリックス法という . 3 ・構 造 解 析 上記の手続きの数学的意味を考えてみると , 2 ) ~ 5 ) は単なる式の代人か , 簡単な変形だけであって , 特にむずかしい点はない . 問題は 1 ) であって , こ れさえわかれば , あとは簡単である . いまの例では , 1 ) も簡単であった . ノくネ要素の要素方程式 は , Hooke の法則 と , 外力のつりあいの条件 からただちに得られる . す正解にいえば極小 , 極小点 . エネルギーが残っているので , 最小点を行きすぎたり , もどったりするが , 摩 ギーの低い状態に移っていって , 最小点 t に達する . しばらくの間は , 運動の い状態に移ろうとして動きはじめる . そしてしだいにポテンシャル・エネル ている玉のようなもので ( 図 3.7 ( a ) ) , もっとポテンシャル・エネルギーの低 ポテンシャル・エネルギーが最小でない状態というのは , 坂の途中に止まっ その理由は次のように考えたらいいと思う . シャル・エネルギーが最小すになる , という原理 ( 法則 ) である . エネルギー原理これは簡単にいえば , つりあいの状態においてはポテン ギー原理というものを理解することが必要である . 法で作ろうとしても , なかなかうまくいかない . これを解決するには , エネル しかし , 一般には , 要素方程式はこれほど簡単には得られない . 常識的な方

8. 有限要素法へのガイド

解 析 3 ・構 造 これを = 0 と置いて解けば ん = を得る . 上記の計算の意味を考えるため , いろいろな変位を仮定したときのエネル ギーの値をグラフにしてみたのが図 3.9 である . エネルギー 極小点↓ 図 3.9 〃 = 0 のときは , 歪エネルギーが 0 , 位置のエネルギーも 0 ( そこを基準に とったから ) , 合計 0 である . 4 を増していく ( おもりが下がっていく ) と , 歪 エネルギーは増加し , 位置のエネルギーは減少する . その際 , 歪エネルギーは がに比例し , 位置エネルギーは記に比例するので , ポテンシャル・エネル ギー ( 合計 ) は , 最初は減っていって , マイナスの値をとるが , やがて増加に 転ずる . エネルギー原理によれば , この極小点がつりあいの状態 , というわけ である . 極小点を求めるには , 「谷底は平らである」という性質を用いて , 微 係数 ( 勾配 ) が 0 という条件で方程式を解けばよい . いまの問題は簡単だから , 上記のようにするよりも , 直接につりあいの式を 書き下す方が早い . しかし , もっと複雑な問題になると , エネルギー原理を用 いる方が有利になる . それは , 弾性力学の問題の場合 ,

9. 有限要素法へのガイド

2. 2 三角形の網目を使う 分割する もとの図形 点番号 1 【 / 4 8 ー 1 ワ 1 ワ 3 っ 0 -4 一 0 一覧表を作る 点の一覧表 三角形の 、 1 対応表を作る 頂点の番号 1 1 1 4 一 0 っ 0 三角形の一覧表 図 2.4 図形データ入力の定石 手順としては , まず「与えられた図形を三角形に分割する」という作業があ るが , これを自動的にやるのはむずかしいから , 人手でやることにする . すな

10. 有限要素法へのガイド

構造物を設計したとき , それが予想される荷重に耐えられるかどうか , また こういうやりかたを し ( 式 ( 3 ) ) , それからさらに応力を求める ( 式 ( 5 ) ( 6 ) ). 構造物がどのように変形するかをまず計算し , 得られた変位を用いて歪を計算 普通は , 少しまわり道のようであるが , 変位を未知数 ( 未知関数 ) にとり , 難点があるので , あまり使われない . よさそうである . そういうやりかたも不可能ではない . しかし実用上は種々の だから , 計算の際には , 応力を未知数 ( 未知関数 ) として方程式を作ったら えている部分があれば設計を変更しなければならない . の各部分の応力を計算し , その値を材料の許容応力限界値と比較し限界を越 その場合 , 設計者にとって最も関心があるのは , 応力分布であろう . 構造物 な目的である . 弱いとすればどこが弱いか , というようなことを検討するのが , 構造解析の主 くネ②が縮もうとする力は昼朝 3 ー〃 2 ) くネ①が縮もうとする力はん 1 2 ー ) くネ②の伸びは 3 ー〃 2 くネ①の伸びは 2 ー 点 1 , 2 , 3 の変位をい 2 , 〃 3 とする . [ 例 ] 図 3.4 のような問題の場合 , 次のようにして解く . 変位法という t. 52 3. 2 変位法 ( 点 1 の反カ ) = ( 42 ー ) ( 2 ー ) = ん 2 ( な 3 ー 42 ) 3. 構 造 解 析 点 1 における力のつりあいを式で書くと 占 2 における力のつりあいを式で書くと 点 3 における力のつりあいを式で書くと ん 2 3 ー 42 ) = / t 上記が普通の ( 初心者用の ) 説明であるが , 有限要素法の関係者は , のような意味で変位法という言葉を用いている場合が多いようである . 変位が連続になるように接続するのが変位法 . 要素の境で 応力が連続になるように接続するのが応力法 . むしろ次