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検索対象: 有限要素法へのガイド
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1. 有限要素法へのガイド

1 有限要素法とは何か 一般に「 いるものでも , とは何か」を説明するのはむずかしい . 私たちがよく知って それを全然知らない人にわかるように説明するのはむずかし い . たとえば , 水とは何か 左とは何か 「困る」とはどういうことか などの説明を文章に書いてみるとよい . また , 一応の説明ができても , 完全な説明をすることはきわめて困難であ る . たとえば , 道路交通法の冒頭には「自動車とは , 原動機を用い , かっ , レール又は架線によらないで連転する車であって , 原動機付自転車以外のも のをいう」とあるが , この定義によればラジコンのおもちゃの自動車も含ま れることになり , 免許がないと連転できないことになりそうである . 「有限要素法とは何か」という質問に答えようとすれば , やはり同じよう な困難にぶつかる . しかし話の順序として , 最初にアカデミックな定義を書 いておくことにしよう . 1. 1 数学的な定義 かっ無難な定義であると思う . もし試験で「有限要素法とは何か」という問題 い . しかし , いくらか不完全であるとはいえ , これはおそーら一 < 最も簡潔 , 明瞭 一方 , わかっている人のための定義文としても , これで完全であるとは思わな はじめて聞く人にとって , これでは何のことだか全然わからないかも知れない . 近似関数として区分多項式を用いるものをいう . 有限要素法とは , Ritz-Galerkin 法の一種で , 有限要素法を数学的に説明するならば , 次のようになる .

2. 有限要素法へのガイド

ま ん が き この本は有限要素法をきわめてやさしく説明した解説書である . 誰にも読める , 独りで読める , 寝ころんで読める , そういう本である . を理解し利用していただけるように作成したテキストである . 本書は , このような時代の要請にこたえて , なるべく多くの方々に有限要素法 え方さえ理解できれば , かなり自由に応用できるという便利な時代になった . プログラミング・テクニックなどを勉強しないで済むようになり , 基本的な考 素法を使用できるようになった . そのため , 一般の利用者は , 計算法の詳細や , とともに , 優秀な汎用プログラムが普及しフ・ラック・ポックスとして有限要 きた . 好きでも嫌いでも , 勉強し , 使わなければならない時代になった . それ いた . ところが近年 , 有限要素法が普及し , 非常に広く使われるようになって コンヒュ ータにも強く , 勘がよく器用で研究心旺盛な人達が主に使用して 以前は有限要素法は技術ェリートの独占物であった . 数学に強く , 力学に強 ある . また図解を多くして , 視覚的な面からも理解を助けるように配慮した . 単な例題や実習の積み重ねによって , 少しずっ有限要素法に慣れるようにして このような主旨から , 数式の説明よりも「考え方」の説明に重点を置き , 簡 トリックス ) の形も理解しておく方がよいだろうと考え , 必要最低限の数式は アルを読んだり , 関係者と話し合ったりする際に , やはり少しは数学 ( 特にマ 最初は全く数式なしで説明することも検討したが , 汎用プログラムのマニ この程度のことは勉強しておいて損はない . 入れることにした . また同様な理由から , プログラミングのことも少し書いた・ 本書ははじめて学ぶ人のための人門書であるから , 実務家にとっては物足り

3. 有限要素法へのガイド

3 構造解析 有限要素法は構造解析に適しており , そのため構造解析の分野で最も多く 使われている . そこで本章では , 構造解析 ( その中でも基本となる徴小変 形 , 弾性限界内の静的問題 ) への応用について説明する . 有限要素法による構造解析を理解するには , いくつかの重要なポイントが あると思う . すなわち 変位法 方程式の作成を自動化する マトリックスによる定式化 エネルギー法 補間関数 などが基本的であり , これらをきちんと理解することが大切である . は上記の項目を中心に説明する . 3. 1 弾性体の特性 本章で 本論に入る前に , 基本的な用語の意味を説明しておく . 変位というのは , 物体の変形等によって , どの点が , どの向きに 動いたかを表す量で , ( 変位 ) = ( 変形後の位置 ) ー ( 変形前の位置 ) と定義する . どれだけ 変位は , 向きと大きさをもつからペクトル量であり , 座標成分に分けて表す ことができる . 本書では変位を { } で表し t , その座標成分をな , ので表 すことにする . 60 ペ ェ成分が〃 リ成分が 名成分が w ージ参照 . ( 2 ) ↑ 記号 { } は列べクトルを表す .

4. 有限要素法へのガイド

3.6 エネルギー法 擦その他の減衰作用のため , 運動のエネルギーはしだいに失なわれ ( 熱エネル ギーとして放散され ) , 最終的にはポテンシャル・エネルギー最小の状態に落 ちっく . そのとき , 力は ( 系のすべての点において ) つりあいの状態にある ( ーーもしもつりあっていない部分があれば , そこに連動を生じてエネルギー を放出しもっとポテンシャル・エネルギーの低い状態に移行できることにな る ). ( a ) ポテンシャル・エネル ギーが高い状態にある と , もっと低い状態に 移ろうとする . ( b ) しばらくの間は最小点 を行きすぎたり , もど ったりしているが・ 図 3. 7 ( c ) 最終的には , ポテンシ ャル・エネルギーの最 小点落ちつく . ーうし、う考 上記の説明を単純に信じられるならば , それでよい ( とにかく , え方を用いれば , 問題がうまく解けるのであるから ). しかし , 上記の説明では 論理的にすっきりしない . もう少しきちんとした説明ができないものか , と思 われるかもしれない . そういう疑問があるならば , エネルギー原理 ( または変 分原理 ) のことを詳しく書いた本があるから読んでみるとよいす . 変分法と エネルギー原理を表す変分の式は つりあい状態を表す徴分方程式と クトル解析の諸定理を用いると , 同等であることを証明できる 学 , 培風館 . のである . すたとえば鷲津久一郎 : エネルギー原理入門 , 培風館あるいはファン : 固体のカ

5. 有限要素法へのガイド

3.7 平面応力問題 ただし , Ⅳは荷重点数 , , 町は点ーにおける変位 , / ぃは点 / にかかる集中荷重のェ成分 , y 成分 マトリックスによる表現以上の関係式を , マトリックスの形で書くと次の ようになる・ 変位 歪 変位と歪の関係マトリックスを用いて表すと次のようになる . Du/Dx Du/DY Dv/Dx Dv/ Dy ( あとで説明する一一式 ( 12 ) ) % で表す . ( 6 ) ペクトル { 6 } 0 1 0 0 0 0 0 1 イ 0 0 0 1 1 0 0 0 6 ただし 応力と歪の関係 6 ( 8 ) vE 2 ( 1 + レ ) この係数マトリックスを [ D ] で表すことにすれば { び } = CD] { 6 } d2 0 0 - ィー 0 しイ・ 0 0 0 ( 1 ーレ ) / 2 0 0 ( 9 ) 2 歪エネルギー ( あとで説明する一一式 ( 25 ) ) 外力のする仕事 { 引 ( 10 )

6. 有限要素法へのガイド

和の定義マトリックスの和は成分ごとの和 , 64 和 , と定義する . 析 べクトルの和も成分ごとの 3. 構造解 1 + 5 2 十 6 2 3 [ 例 ] 十 8 5 6 10 8 1 2 2 + 8 9 十 1 3 + 5 3 十 7 4 十 8 8 10 10 普通の数に関して , 分配法則と呼ばれる 十 6 ) c = 。 6 + bc という公式があるが , マトリックスやべクトルに関しても同じ形の公式 ( 14 ) ( 13 ) ( 12 ) ( 11 ) を使うことができる . くことにして , ここでは , あとの説明に必要な二 , 三の用語について簡単に説 その他の用語マトリックスに関する詳しい説明は教科書などを見ていただ 明しておく . 正方マトリックス 対角 転置マトリックス 対称マトリックス 正方形の形をしたマトリックス ( 行数と列数の等し 左上→右下の対角線 ( または トリックス . 7 8 9 6 クスでない場合もそれに相当す 対角に関し対称なマ その上の成分 ) のこと . 正方マトリックスの , いマトリックス ). 3 6 6 1 5 0 7 8 対角 ( 正方マト 「例 ] 5 0 2 9 リッ

7. 有限要素法へのガイド

4 ・ 5 入力データの作成法と結果の読みかた [ 要素カード ] 枚 三角形要素の場合四辺形要素の場合 項目の順番 要素番号 要素番号 歹節点番号 ノ 節点番号 ん ( 反時計まわり ) 断面積 115 棒要素の場合 要素番号 節点番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 E Young 率 ただし レ Poisson 上ヒ ん 板厚にこを 0 にすると平面歪要素になる ) P 密度 ( 自動計算のため ) 要素の種類の指定は下記の制御カードによる ( 特に指定をしなければ三角形 要素とみなされる ). 以下のカードが三角形要素のデータであることを示す . * T R I * QUAD 以下のカードが四辺形要素のデータであることを示す . 以下のカードが棒要素のデータであることを示す . * L I N [ 固定条件カード ] 枚 項目の順番項目の説明 固定する節点の番号 ェ方向の変位を拘束したいとき 1 , そうでないとき 0 とする . 方向の変位を拘束したいとき 1 , そうでないとき 0 とする . [ 荷重条件カード ] 枚 項目の順番項目の説明 荷重をかける節点の番号 荷重のェ成分 荷重のク成分 レん〃 1 ワっ 0 1 ワっ 0

8. 有限要素法へのガイド

1 . 2 有限要素法の特長 ため , 3 領域 ( 物体 ) の形が単純でないと適用しにくい 粗い近似解はすぐ得られるが高精度化が困難 という悩みがあった . この難点を解決するため , 有限要素法では区分多項式を 用いている これが , 定義の文章の後半である . 1 ・ 2 有限要素法の特長 前節のは数学的立場からの説明であった . 今日の有限要素法の応用範囲はき わめて広く , 言葉の意味としても多様化している . その本質がどこにあるかを 考え , なるべく全体をカバーするような定義を書こうとすると , どうしても数 学的な表現にならざるをえない . しかし実務で有限要素法を使っている人たちの多くは , 「 Ritz-Galerkin 法 の一種で区分多項式を使うもの」などという意識で有限要素法を使っているわ けではなくて , もっと現実的 ( 工学的 ) イメージをもって有限要素法を使用して いる . そういう人たちに「要するに有限要素法って何なのさ」という質問をし たら , きっと次のような答が返ってくるであろう . 有限要素法は 工学的近似解法である . 近似のノくランスがよい . 理論と実際の中間的存在である . 実際的問題を扱えるのが強み . 応用範囲がきわめて広い . ータと着した計算法である . コンヒュ データを入れれば即座に答が出る便利な道具である . 以下で , これをもう少し詳しく説明しよう . 工学的近似工学的な問題を数学的手法によって解析する場合 , 「工学的な近似」を行なうのが常である . たとえば , 鉄筋コンクリートは , 細かく見れば , 鉄筋とコンクリートを結合 まず最初に

9. 有限要素法へのガイド

2.5 標準的な有限要素モデル 全部についての和をとる , という意味である . 43 ところで , 2 , 3 , の 3 などを , どのように計算すればよいか , ということ を , まだ説明していなかった . それは , 川井モデルのように簡単にはできない . 結論だけを書けば , ただし = { ( リ 3 ー ) ( ーリ 2 ) + ( 有ーエ 3 ) ( ェ 2 ーエ D } = 朝 2 ーリ 3 ) ( ーリ 2 ) + ( ェ 3 ーエ 2 ) ( ェ 2 ーエ D } = { ( リ 2 ーリ 3 ) 朝 3 ーリ D + ( ェ 3 ーエ 2 ) ( ーエ 3 ) } な = ( 熱伝導率 ) x ( 厚さ ) / ( 2 」 ) ( 13 ) 」 = はェ 2 ー新 ) 朝 3 ー ) ー ( ェ 3 ー ) 朝 2 ー川 となるのであるが , どのようにしてこの式が出てくるかという説明は , いろい ろと数学的な道具を使わなければならないので , 「理工学のための有限要素法」サイ〒ンス社 ( 近刊 ) , を見よ ). こでは省略する ( 菊地文雄 濃度差があれば物質が移動する 拡散の問題も , えて解く」という形で , こういう方法を用いてきた . 昔から , 「分布定数系の問題を , 近似的に等価な , 集中定数系の問題に置き換 という性質があるから , 同様な方法で計算することができる . 電気の人たちは , 電気がたまると電位があがる ( 電位上昇 ) = ( 流入電気量 ) / ( 容量 ) 電位差に比例して電流が流れる んある . たとえば電気には , 全く同様にして解くことができるであろう . じつは , そういう問題が , たくさ という性質だけであった . したがって , これと同じような性質の問題ならば , 熱がたまると温度があがる ( 温度上昇 ) = ( 流入熱量 ) / ( 熱容量 ) 温度差に比例して熱が移動する 一般化以上で扱ったのは熱の問題であるが , 計算の基礎として使ったのは , プログラム 2.3 , 図 2.17 に示す . プログラム例式 ( 12 ) , ( 13 ) による計算のプログラムの 1 例および使用法を

10. 有限要素法へのガイド

16 ビットパソコン PC-9801 BASIC 戸川隼人著 2 色刷・ A 5 ・ 2200 円 16 ビット高速 CPU を採用した PC ー 9801 を , 初めての人にも使えるように , 例題 を多く使って説明 . 図形表示は特にわかリやすいと好評 . PC ー 9801F 日本語 BASIC 戸川隼人著 2 色刷・ A5 ・ 2600 円 JIS 第 1 水準の漢字 ROM を標準装備した NEC 最新 16 ビットパソコンの解説書 . 図形処理・ファイル処理・数値計算等が , 初心者にも可能になる . サイエンス社