6. 電磁 C のみ んのみ 2 = i のん , 沢のみ 2 = 沢 , 190 誘 導 2 ( 6.52 ) ( 6.50 ) ( 6.51 ) 2 式 ( 6.44 ) の複素インピーダンスは , ことができる . これらの値を直列合成したものとみなす 一般に , ム C を組み合せた複雑な回路についても , 電流と起電力の関 係は ( 6.45 ) のように 2 を用いて表わすことができる . したがって , 直流回路 のキルヒホフの第 2 法則は , 電気抵抗を複素インピーダンス 2 と読みかえ れば , 交流回路へも拡張できる . これと電荷の保存則により , 複雑な交流回路 の計算も簡単にできる . これが複素数を使って計算することの第二の利点であ る . 特に 2 つの複素インピーダンス 21 と 22 の部分を直列に合成した回路の複 素インピーダンスは 2 ( 直列 ) = 21 + 22 である . また , 並列に合成した回路の複素インピーダンスは ( 6.53 ) 2 ー 1 ( 並列 ) = 21 ー 1 + 22 ー 1 で与えられる . の直列合成 6 ー 34 図インピーダンス ( 6.54 ) / 2 6 ー 35 図インピーダンス の並列合成 [ 例題 ] 6 ー 36 図の合成複素インピーダンスを求めよ . [ 解 ] 上半部分の合成インピーダンスは , んと C を直列につないでいるので 21 = i{wL ー ( の c 尸 }

189 6.7 交流回路 Q = 0.2 / 30 6 ー 32 図 LRC 回路のインピーダンス . Q = Æ/R V'C. 2 Q=O. 2 0 ) 0 ) 0 6 ー 33 図 LRC 回路の位相の遅れ . Q = の沢 e'C. 回路に , ム C が単独にある場合の複素インピーダンスと位相の遅れは , それぞれ次のようになる .

198 6. 電磁誘導 軸に沿っての単位長さあたりの , (a) 磁場のエネルギー , (b) ンスを求めよ . ( ヒント : 第 5 章の問題 7 の答を参照 ) 自己インダクタ 6. ん = 2H , = 2000 , C = 0.2 ″ F を直列に接続した回路がある . 次の周波数の / に対して , インピーダンスと位相の遅れを求めよ . / = 50 , 100 , 200 , 250 , 300 , 500 Hz. フ . 周波数 / 1 = 50Hz ( 東日本 ) で使っていたん RC 直列回路を五 = 60Hz ( 西日本 ) へ移した . 同じ起電力振幅に対して , 消費電力を同じにするには , 抵抗 R をどのよ うに調節すればよいか . 8. ム , C をすべて並列につないだ回路の合成インピーダンス / と位相の遅れ多 を求めよ .

188 となる . となる . と表わすことができる . 6. 電磁誘導 協 広 この表現を用いると この式を ( 6.43 ) に代入し , 実数部をとると 0 i()t ーの cos ( の これは , 式 ( 6.34 ) の形にほかならない . インピーダンス Z は , 式 ( 6.44 ) の絶対値から / = 2 + [ ー ( の c 尸 ] 2 [ 問 1 ] 0 を用いて , Q の表式を求めよ . で与えられる . のん一 ( の c ) ー 1 tan の = となる . また , 位相の遅れのは ( 6.47 ) ( 6.48 ) [ 答 : 00 = ア 0 / i のを式 ( 6.43 ) に代入して実数部をとる . Q = (V0/wZ)sin(Øt ーの ] [ 間 2 ] 60 サイクルの交流 ( の = 60 x 2 = 3.8 x 102 s-l) に対する R = 500 0 , ん = 2H , C=5x 10 ー 6F の回路の / , を求めよ . ( 6.49 ) のようにのとともに連続的に変化する . では負である . そこで , の変域を一 2 から 2 と選べば , のは 6 ー 33 図 式 ( 6.48 ) によると , tan はの = の 0 で 0 となり , の > 0 では正 , のく 0 で極大となる . このことの意味については次節で考えることにする . で極小となる . その様子を 6 ー 32 図に示した . 電流振幅 / 0 = % / / は , の = の 0 LC 1 は発散し , その途中でのん一 ( の C 尸 = 0 となるの , すなわち 子を調べてみよう . 式 ( 6.47 ) を見ると , / の値はの→ 0 およびの→で インピーダンス / や位相の遅れの値は , 角振動数のに依存する . この様 [ 答 : / = 5.5 x 102 0 , tan の = 0.46 , の = 24. 7 。 = 0.43 rad]

6. 電磁誘導 194 タンスは慣性に , キャパシターは復原力に対応していた . その見方からすれば , インダクタンスとキャパシタ ーを組み合せると , ちょうど バネに結んだ質点のように , 電気的振動が起こるのではな いかと期待される . 実際 , ん と C を直列に接続し , も 電源もない回路の方程式は , 式 ( 6.36 ) , ( 6.37 ) から 6 ー 38 図電気振動 ( a ) と力学振動 ( b ) この式から / を消去すると となる . d2Q バネにつながれた質点の運動方程式 となる . これは , d2 ェ とまったく同じ形をしている . 式 ( 6.59 ) の一般解は , 式 ( 6.49 ) のの 0 = 1 / 、圧 0- を用いて Q = Qcos ( の + の である . Q と住は任意定数で , その値は初期条件によって定まる . [ 問 4 ] ー = 0 で Q = 40 , / = 0 であった . Q(t) を求めよ . の 0Q0 sin = 0 より , 住 = 0 , Qo = 40. QoCOS 住 = ク 0 , このように , LC 回路には , 角振動数の 0 の電気的振動が起こりうる . この 振動は , 電源がなくても持続する , 電荷の固有振動である . の 0 を回路の固有角 振動数という . LC 回路の複素インピーダンスは ( 6.59 ) ( 6.60 ) Q = の COS の 0

di と , 0 , アに対する式が得られた . 6.7 交流回路 こで , は ー沢ア + 0 187 = 協 (cos 十 i sin 研 ) = 協 e ( 6.41 ) ( 6.40 ) で定義される複素数起電力である . このように , 複素数化した方程式とは , 実 は 2 つの回路の問題を同時に扱う方程式である . このうち , ′のついた回路 は , 実際には存在しなくても頭の中で考えておけばよい . 複素数の解が求まれ ば , 問題にしている回路の量は Q = Re 0 , / = Re ア と , 実数部をとる ()e はその記号 ) ことにより得られる . 強制振動にあたる角振動数ので変動する解を求めるために , ア = ア oe i のんア 0 ー 10 丿 / 0 と置こう . 指数関数の微分の公式から , 式 ( 6.39 ) , ( 6.40 ) は ーア 0 + 広 0 ( 6.42 ) ( 6.43 ) となる . 広は , Re 広 = 協 , lm 広 = 0 で定義する ()m は虚数部をとるとい う記号 ). このように , 時間微分が定数 iw を掛けることに置きかえられるのが , 複素数 を用いた解法の第一に便利な点である . この 2 つの式を組み合せると + i { ー ( の c 尸 } 広 = 広 となる . そこで , 2 = R + i { のん一 ( の c 尸 } によって複素インピーダンス 2 を定義すると , 2 ア 0 = 広 となる . 複素数 2 は , 絶対値 / と偏角を用いて 2 = Zeié ( 6.44 ) ( 6.45 ) ( 6.46 )

6. 電磁誘導 である . したがって , 棒を一定の速度で動かすには , この力を打ち消す外カ凡を 4 方向に加えなければならない . B2 / 2 184 e,Y この外力がする仕事率は ″ 2B2 / 2 であり , これはジュール熱に等し このように , 定常電流のときは , 棒を引っ張る外力のした仕事は起 電力を経てジュール熱となる . 外カ を加えなければ棒は減速され , やが て静止する . しかし , 静止する間は 起電力は生じている . それは , 運動 の方向を垂直に変えるというロー 6 ー 29 図動く導体棒の電磁誘導とエネルギー レンツ磁気力の性質により , 棒の 方向の運動エネルギーがェ方向に電流を流す起電力に変っていくためである . 外力は 4 方向の運動エネルギーを補給しているのである . 6.7 交流回路 6.2 で示したように , 電磁誘導を利用して周期的に変動する交流起電力 ( 6.33 ) 協 = 協 cos の を発生させることができる . この起電力によって回路に同じ角振動数のの電流 l=locos(wt—の が流れる . * 電流の振幅ムは , 起電力の振幅 % に比例する . ( 6.35 ) 係数 / を回路のインピーダンスという . また , 一般に電流振動の位相は , 起電 力に比べてだけ遅れている . / およびは , 回路に含まれている電気抵抗 , インダクタンスムキャパシタンス C と , 角振動数のによって決まる . * のは角振動数 . 振動数 ( 周波数ともいう ) / とは , の = 2 の関係にある . / の単 位は s-l = Hz ( ヘルツ ) である . 4 ( 6.34 ) / 0

192 6. 電磁 交流回路のインピーダンスを用いると , く〉 = COS = 2 / 誘導 く既〉は 1 一 Re( 広た ) 2 と表わされる . ただし , ア 0 * はア 0 の複素共役である . ム C を直列に接続した回路では , Zcos+=R に注意して , 2Z2 2 [ 沢 2 十のん一の C ) ー 1 く〉 = ( 6.56 ) ( 6.57 ) となる . この式からわかるように , 電気抵抗を含む回路ではく既〉は常に正で ある . それは , ジュール熱により平均として電力が消費されるからである . れに対して , 電気抵抗を含まない回路では , く既〉 = 0 となる . すなわち , この 場合は , エネルギーは電源と回路の間を周期的に往復し , 平均としてはどちら の向きにも移動しない . [ 問 2 ] = 0 , C →でんのみを含む回路について上のことを確かめよ . [ 答 : 前節の式 ( 6.51 ) により , / = のム = 2 である . したがって , / = ( % / のん ) cos()t ー 2 ) = ( 協 / のん ) sin となる . 既 = ( 協 2 / 2 の L)sin ( 2 ) で , その平均は 0 である . ] ム , C が与えられているとき , くル》をのの関数として調べてみよう . のに依存する部分は , 分母の / ( の ) 2 であるから , の→ 0 およびの→では く〉は 0 となる . く〉が最大になるのは Z が極小になるとき , すなわち , のの 0 のときである . したがって , くⅣ》の様子は 6 ー 37 図のようになる . そ の様子は , 固有角振動数の 0 の振動子の角振動数のの外力による強制振動に似 ている . この意味での 0 を回路の共鳴角振動数という . 電源起電力ののがの 0 に一致したとき , 回路は共鳴 * して大きな電力を消費する . のがの 0 から外れ るとく〉は急速に減少する . く既〉が共鳴値の 1 / 2 になる角振動数をの 1 , の 2 電気工学では共振という訳語を使う .

6.8 交流回路の共鳴と電気振動 i{wL ー ( の c ) ー 1 2 ツ 2 である . 両者を並列合成すれば , である . 下半部分はのみであるから 191 ・客ラー = R + i{wL ー ( の c 尸 } 収応 / 2 ーの R2 + { ー ( の C ) -1 } 2 となる . ただし , のは式 ( 6.48 ) で与えられる . 当 6.8 交流回路の共鳴と電気振動 6 ー 36 図 / 2 の例 インピーダンス合成 前節で述べたように , 交流回路の起電力がレ = Vocoswt のとき , 電流は / 2 ー V010{cos の + cos(2wt ーの } 1 = 協 / 0 = % ゐ cos cos ( ーの = cos()t ーのとなり , 位相がだけずれている . このとき , 電源のする 仕事率は 事をし , それが回路で消費される電力となる . 仕事率の時間平均値は , 電源へエネルギーが逆流することもある . しかし , 平均としては電源は正の仕 角振動数で変動する項を表わす . ある時間帯では仕事率は負になる , すなわち , となる . 右辺の第 1 項は時間によらずに一定で , 第 2 項はそのまわりに 2 のの く既〉 = ー協 / bcos = VeffIeffCOS4 1 ( 6.55 ) と表わされる . 2 1 1 eff e ff は , それぞれ起電力 , 電流の実効値と電気工学でいう量である . cos+ を力率と いう . [ 間 1 ] 協 = 100 V, ゐ = 2 A のとき , Veff, leff はいくらか . して We のグラフをかき , く〉を求めよ . [ 答 : 協 = 70. 7 V, ん = 1.41 A, また , = 応 / 6 と くル》 = 86.6 W]

磁性体がある場合の magnetic materials 147 圧電気 piezoelectricity 86 イ お - お対応 E-B correspondence おー〃対応 E-H correspondence 索 ア アインシュタイン ( 1879 ー 1955 ) A. Einstein 153 , 230 アポガードロ数 ( ル ) Avogadro num- 184 , 188 , アンペールの法則 Ampöre's law アンペア (A) ampere 87 , 138 ber 8 , 94 139 , 150 拡張された 202 , 206 general i zed 151 151 for 位相の遅れ delay of phase 191 一般化されたオームの法則 ized Ohm's law 92 陰極 cathode 101 インダクタンス inductance インピーダンス impedance ウ general - 174 184 , 187 245 N 極 N ー pole 114 S 極 S ー pole 114 江口元太郎 86 エネルギー保存則 conservation law of energy 183 工ールステッド ( 1770 ー 1851 ) H. C. Oersted 132 工ルステッド (Oe) oersted 116 エレクトレット electret 86 オ 遅れの時間 ( 緩和時間 ) delay time (relaxation time) 109 オーム ( 0 ) Ohm 89 オームの法則 Ohm's law 89 , 92 回転 rotation 211 回路電流の慣性 inertia of current of coil 177 解の一意性 uniqueness of the solution ガウス (G) gauss 125 ガウスの法則 Gauss' law for magnetic field 119 , 205 , 206 , 208 , 209 工 カ 49 ヴァン・ド・グラーフ型発電機 van de Graaf generator 101 ウェーバー (Wb) weber 114 磁性体の 磁束密度に対する materials 124 for magnetic for magnetic flux density 135 磁場の for magnetic field