題 問 うとするわけである . 電荷が液体に担われているとすると , 表面張力ととがつり 合ったところで , ェの値が決まることになる . 式 ( 2.20 ) の力を電場の応力と結びつけてみ よう . こんどは , 電気力線が横方向に膨張しよ うとする応力がはたらくと考えればよい . その 値は , 式 ( 2.20 ) を電気力線の側面積 ( 2 ー 24 図 で辺ェに垂直な ) で割って , Q2 Q2 2E0 わ 2 ェ 2 2EOS2 厖 となる . この場合に限らず一般に , 電気力線に 2 ー 25 図電気力線にはたらく は縦方向には式 ( 2.19 ) の縮もうとする応力 , マクスウェルの応用 fe, / ′ 横方向には式 ( 2.21 ) の広がろうとする応力が はたらくことがわかっている . これらをマクスウェルの応力という . 面積 S の 2 枚の導体板を平行に向かい合せて置き , 導線で結んだ . 全体に電荷 Q を与えたとき , 電荷の分布を求めよ . 2. 半径〃 = 2mm の水滴 ( 導体とみなす ) に電荷ク = 4 X10-10C が与えられてい る . この水滴が等しい大きさの 2 つの水滴に分裂し , 電荷も等量に分割された . 分 丿裂前後の水滴表面の電位を求めよ . 3. 電荷を与えていない面積 S の 2 枚の導体板 A , B を , 平行に向かい合せて間隔イで配置し , 導線で結 んである . 一方の導体板 A からェのところに , 同 じ面積の導体板 P を平行に挿入し , 電荷 Q を与え た . このとき , 両側の電場を求めよ . 板 P が」ェだ け移動するとき , 導線を通って流れる電荷を求めよ . 1 2 EoE2 ( 2.21 ) 2 ー 26 図

当 2.4 キャパシターと電気容量 53 ように , 孤立した導体というのは , キャパシターの相手の導体が無限遠にある 場合とみなすこともできる . このとき , 無限遠のことを明らさまにはいわない で , CA のことを孤立した導体の電気容量という . たとえば , 孤立した導体球の 電気容量は C = 4 04 である . [ 問 4 ] 地球を半径〃 = 6.4 x 106m の導体球と考えて , その電気容量を求めよ . [ 答 : 7.1 x 10 ー 4 F. 1 F という電気容量がどんなに大きなものかわかる . ] キャパシターの 2 つの極板を電池の正極と負極に接続すると , 正極に接続し た導体には正 , 負極に接続した導体には 負の等量の電荷がたまる . これを図式的 に書くと 2 ー 17 図のようになる . 第 4 章 で述べるように , 電池は両極の間に協 という電位差を作り出すはたらきをもっ ているから , この電位差がキャパシター キャパシター の極板間の電位差と等しくなるまで電荷が移動する . Q = CV = CVe 2 ー 17 図キャパシターの充電 すなわち ( 2.13 ) として , 士 Q の電荷が蓄えられ る . このことをキャパシターを充 電するという . 実用上は , いくつかのキャパシ ターを導線で接続して使うことが ある . 個々のキャパシターの電気 容量が与えられたときに , 全体を ーっのキャパシターとみなしたと きの合成電気容量は次のようにし 2 ー 18 図キャパシターの並列接続 て求められる . まず , キャパシターの正の極板同士 , 負の極板同士を一まとめ にするような接続を考えよう . これを並列接続という ( 2 ー 18 図 ). この場合 , / 番目のキャパシターの電位差を協とすると , それらはすべて等しい . すな

64 誘 電 体 電流を流さない絶縁体とされている物質は , 静電場を部分的に通すことから誘電体とよばれ る . 誘電体の中には電場により電気的な分極が 生じる . 一方 , 分極した電荷分布により電場が変る . この両者をつじっ まの合うように求めることが課題である . その議論の中で , 電束密度と いう新しい場が導入され , これによって見通しよく計算を進めることが できる . 新しい概念を恐れずに , どんどん使っていこう . 前の導体の章 とこの章で , 物質のある場合も含めて静電場の話は終りとなる . 3. 1 誘電体と電気分極 帯電した平行平板キャパシターの極板の間に , 極板とは絶縁されている導体 板を挿入すると , 電荷はそのまま維持されるが電位差はほとんど 0 となる ( 3 ー 1 図 ( a ) ). これは , 導体中には電場が入れないからである . 導体の代りに絶縁 体の板を挿入すると ( 図 (b)), 電位差はやはり減少するが , 0 にはならない . このことから , 電場は弱められてはいるが , 絶縁体の中に入りこんでいること がわかる . このように , 静電場を通すが電流は流れない性質をもつ物質を誘電 体 (dielectrics) という . 誘電体の中の電荷分布の様子を微視的に考えてみよう . 誘電体の中では , 電 子は原子核のまわりに束縛されている ( 3 ー 2 図 ( a ) ). 食塩 (NaCl) のように 英語の接頭語 di =dia は , ギリシャ語に由来し , through という意味である . この言 葉は , ファラデーが上記の意味で使いはじめた . そのまま訳せば電媒体ということになろ う .

6.2 導体が動く場合 ローレンツ磁気力 167 となると , を打ち消して電流が流れなくなる . この電場をホール電場という . この電場は静電場であり , 次節で考える磁束線の運動によって生じる誘導電場 とは別物である . 導体が静止していても , 電流が磁場に垂直な方向に流れてい るときには , 両者に垂直なホール電場が発生する . これをホール効果という . 一般にコイルが動く場合の誘導法則 ( 6.1 ) は , ローレンツ磁気力から導くこ とができる . コイルの微小部分」 s が速度じで運動しているとしよう . 短い時 間謝の間には , この部分は」 r = じ謝だけ変位する ( 6 ー 12 図 ). 導体内に ある電荷クにはたらく口一レンツ磁気 力は である . ク」 r x 召 qv X 召 この力を受けて電荷クが As コイルに沿って移動したときに受ける 仕事は 協 = ・」 s = 〆」 rxB ) である . ところで , べクトルの公式に より ー」のお 6 ー 12 図 9 ローレンツ磁気力 コイルの部分の移動と ( 6.4 ) と書くことができる . こで , AS = Ar x As は , べクトル積の定義により , 6 ー 12 図の斜線部の面積を大きさとし , 法線方向を向いたべクトルである . すな わち , 式 ( 6.4 ) は , 」 s が」 r だけ移動したときにコイルの内側に取り入れら れる磁束」のにマイナスをつけたものとなっている . こうして , 間に生じる起電力は となることがわかった 」のお この式をコイルに沿って加え合せれば , L1s の両端の コイル全体の

46 らない . 2. 導 体 [ 問 6 ] 球殼の内側面 , 外側面の電荷密度が式 ( 2.2 ) を満たすことを確かめよ . 側面では En ー Er(a) に注意せよ . ) 2.3 静電誘導の例 ( 内 導体が電荷や静電場の近くに置かれた場合の静電場の様子について , 基本的 なことはわかった . しかし , 実際の場合に電場を求めるのは容易ではない . 導 体内部では電場がないのだから簡単である . 問題は導体上の誘導電荷と導体の 外の電場を求めることにある . 両者は式 ( 2.2 ) で関係しあっているのだが , 右 辺の導体面上の電場は外部電場だけではなく , 誘導電荷の全体による電場を含 んでいることが問題を複雑にしている . この点を考えるために昔からいろいろ な工夫がなされている . くわしいことは専門書に譲ることにして , ツこでは 2 つの例について考えてみよう . ( a ) 導体平面と点電荷 2 ー 11 図のようにェ 0 を占める半無限導 体があり , その表面から d だけ離れたェ軸 上の点 A に点電荷 4 ( 正としよう ) が置か れているとしよう . 導体がなければ電気力 線はクから四方八方に放射直線状に広がっ て , ェ坙 0 の領域にも入っていく . しかし , 導体があると表面ェ = 0 に負電荷が誘導 されて外からの電場を遮蔽する . 電気力線 は面に垂直に入ってこの電荷のところで終 る . これが定性的に予想されるところである . 導体 真空 2 ー 11 図導体面と鏡像電荷 定量的な議論をするには , 電場よりも電位を考えた方がわかりやすい . 導体 の面ェ = 0 は等電位面であった . そこで , ェ > 0 における電位として , ( I ) そ れから作られる電場がガウスの法則を満足し , ( II ) ェ = 0 で一定の値をとる , という 2 つの条件を満たすものを見つければこれが答となるであろう . 条件

38 た電荷を誘導電荷という . 2. 導 体 [ 問 1 ] 雷雲が頭上に近づいたときに , 避雷針の尖端に正の電荷が集まった . 雷雲の 下の方にある電荷は正か負か . [ 答 : 負 . 雷雲の上方には正の電荷がある . ] 静電誘導が起こっている導体には , 正の電荷と負の電荷とが別々の場所に集 まっている . 2 つの部分を切り離すと , 正 負の電荷を分けることができる . たとえば , 水分をたつぶり含む地球は導体と考えられ る . 地球に接続してある別の導体の近くに 正の外部電荷を置くと , 導体面には負の電 荷が集まり , 地球には正の電荷が集まる . そこで , 導体と地球とを接続している導線 を断ち切ると , 誘導電荷は互いに独立にな る . 外部電荷を遠くへもっていっても , 導 体は負に , 地球は正に帯電したまま残る . 十 十 十 十 地球 十 地球 十 このようにして , 電荷を直接に接触させな 2 ー 2 図静電誘導による電荷 ( a ) は分離できる ( b ) くても , 導体を帯電させることができる . 外部電荷が作る電場を外部電場という . 外部電場の作用によって導体内の電 荷が移動し , 誘導電荷が生じる . の誘導電荷は電場を作る . これを誘 導電場という . このために , 導体が あるときの電場は , 外部電場とは異 なってくる . それに応じて誘導電荷 が変化する . また誘導電場が変る . 限りがない . 思考の流れ図 ( 2 ー 3 図 ) を書いて考え方を整理してみよう . いままでは図の下のサイクルに入 外部電荷死 外部電場 電場 誘導電場 E 2 ー 3 図静電誘導を考える思考の流れ図 誘導電荷が って , 誘導電荷がと誘導電場を次々に計算していくことを考えていた .

50 いにして , 2. 導体 これまで述べてきた理論では一意的に解が得られることが , 数学的 にも証明されている . だからなんらかの手段によって答が見つかれば , それで よいのである . 2.4 キャパシターと電気容量 2 つの導体 A と B を 2 ー 14 図のよう に互いに近い位置に置き , QA= Q, ー Q と大きさは同じで符号が反対の 電荷を与えたとしよう . この系は全体と しては電気的に中性で , 導体 A の表面か ら出た電気力線は B の表面で終り , 電場 は A, B 、の近くにのみ存在する . このよ 2 ー 14 図キャパシター 十 十 十 十 うに常に等量の逆符号の電荷を蓄える仕組を , キャパシター ンサー ) という . 導体 A, 比例する . B の電位を +A, とすると , 電位差 = ーは電荷 Q に この関係を Q = CV ( あるいはコンデ ( 2.8 ) と表わし , 係数 C を導体 A と B との間の電気容量 ( キャパシタンス ) という . 電気容量の単位は , ファラッド (F) である . IV の電位差のキャパシターに IC の電荷が蓄えられたときの電気容量が IF である . 電荷の単位 C が大きい ために , 以下に見るように IF は人間的尺度では大きすぎる . そこで , 10 ー 6F = 1 gF ( マイクロファラッド ) , または 10 ー 12 F = 1 pF ( ピコファラッド ) が用 いられることが多い . [ 間 1 ] 士 2.0x 10 ー 8C の摩擦電気を蓄えているあるキャパシターの電位差が 50 V であった . 電気容量はいくらか . [ 答 : 4.0x 10 ー 10F = 4.0x 102PF ] 導体の形状や配置が単純な場合には , キャパシターの電気容量を計算によっ て求めることもできる . それには , それぞれの導体 ( 極板という ) に Q, ー Q

当 2.2 導体と電荷 というのは , 多数の電子やイオンを含む空間 の領域にわたって平均した巨視的電荷のこと である . 金属の内部では , 電子と正イオンの 電荷が打ち消し合って , 平均としては中性に なっている . この様子は , 外部電場がある場 合にも変らないのである . 垂直に出ている電気力線の出発点 ( 正 ) , ある 導体表面にある誘導電荷は , そこから面に 41 ØS 導 体 2 ー 6 図導体とガウスの法則 いは終点 ( 負 ) となっている . その面密度び は , 次のようにして求められる . 2 ー 6 図のように , 導体表面上の微小面積要素 AS を挿んで表面に垂直な柱面を考えよう . この柱面についてガウスの法則を 適用する . い . 5 の 1 ー 23 図と同様に考えればよいのだが , 電場は導体外の上面 に垂直に En, 導体内の下面では 0 であるから , ガウスの法則の左辺はど OE 凵 S となる . 一方 , 柱面内の電荷はäAS であるから , び = Eo 、 E 〃 ( 2.2 ) という関係が成り立つ . ここで , 広は誘導電場と外部電場とを合成した全体の 電場の外向き法線成分である . [ 問 1 ] 頭上に雷雲があって , 地表では E = 1.0 x 104 V/m の電場が上向きにあ び = EoE = 8.9 x 10 ー 12 x 1.0 >< 104 = 8.9 x 10 ー 8C / m2 ] る . 地表の電荷面密度を求めよ . たとすると , 電子は互いの斥力で表面に分布してしまう . すなわち , 外部電荷 と , その電荷は結局は表面にしか分布しない . また , 金属に余分に電子を与え 電子が減少するから正の電荷が残る . すなわち , 金属の中に正電荷をもちこむ られる . これは金属の中に電場がなくなるまで続く . その結果 , 表面付近には じである . 正電荷が作る電場によって金属の電子は正電荷のまわりに引き寄せ を金属の中に射込むなどして , 導体の内部に電荷をもちこんだ場合も事情は同 これまで導体の外部に電荷がある場合を考えた . しかし , たとえば正イオン

当 5.8 ″と B ーー磁場のまとめ 導体の性質であって , マイスナー効果とよばれている . これは , 超伝導体の巨 149 視的状態が単一の波動関数によって表わされる量子論的な状態にあることに由 来している . 外部の磁場を強くすると磁化電流の値も増す . しかし , 磁場があ る値を越えると超伝導状態そのものが壊れてしまう . この限界の値を臨界磁場 という . [ 問 3 ] 合金 Nb3Sn の臨界磁場は 1.9 x 107A / m である . この合金で作った半径 4 = lmm の導線に , 超伝導状態を壊さずに流すことのできる電流を求めよ . [ 答 : 導線の表面における磁場は , アン ペールの法則から〃 = / / 2 である . これが臨界磁場に等しいから , 1.2 x 105A ] 5.8 ″とおー磁場のまとめ これまで述べてきたように , 磁場にはスピン磁気モーメントによるものと電 流によるものとがあるので , 電荷による静電場に比べて議論が入り組んでいる . こで , これまでの議論の要点を整理しておこう . まず , 電子のスピン磁気モーメントは , 微視的な磁場〃を作る . 〃は クーロンの法則にしたがい , 磁カ線は N 極に始まり , S 極で終る . 対しては , 任意の閉曲線について が成り立つ . また , B(m) = 色″ ( 十 によって導入した磁束密度についてガウスの法則 召れ ( ) dS = 0 この磁場に ( 5 . 8 ) ( 5.17 ) ( 5.16 ) が任意の閉曲面について成り立つ . すなわち , 磁束線は常に閉曲線となる . 一方 , 電流はビオーーサバールの法則にしたがう磁束密度 B(C) を作り出す . 磁束線は常に閉曲線であり , 任意の閉曲面について 召れ ( ) dS = 0 ( 5.31 )

6.2 導体が動く場合ーーーローレンツ磁気力 169 プラシ P につないでおく . すると , O → P →導線の向きに電流が流れることが 観測された . しかし , 円板の半径 OP と導線よりなる閉曲線を縁とする面を貫 く磁束は , この場合変化しない . もし , 磁石が回転軸のまわりに対称ならば , 磁束線はすべて回転軸を含む面内にあり , したがって閉曲線を縁とする面を貫 く磁束は常に 0 である . 1 6 ー 14 図回転円板の電磁誘導 ④ B このような場合には , ローレンツ磁気力にもどって起電力を考えるとよい . 円板の半径 OP は導体であって , 回転とともに磁束線を横切って動いている . 中心から % の距離にある円板中の電荷 4 にはたらく力は , 大きさは qvB = クの沼であって , 半径に沿って外向きである . したがって , 半径に沿って」の 微小部分の両端に生じる起電力は , 」 = wBrAr である . OP の間には 2 の起電力が生じることになる . これは誘導法則と矛盾しているのだろうか . 閉 回路を貫く磁束は変らないと前に述べた . しかし , 円板の半径 OP にあたる部 分をよく見ると , 幾何学的な配置としては変らないが , それを構成する導体は 円板の回転につれて次々と入れかわっている . こういう場合には誘導法則は使 えないのである . その場合でもローレンツ磁気力による計算は成り立つ . それ は Faraday のもともとの考えーーー磁束線を横切って動くと電流が流れる を正しく定式化したものにほかならない .