118 ー tan 住 = 5. 静 2 cos 日 Sin 日 磁 日 = 場 磁 極 北 南極 自転軸 北 日方向 ァ方向 である . 最初の式から日を求めると , 118 。 41.9 ・である . この値を用いて 4 兀 3 Sin 日 〃ん = 1.1 x 1017 Wb m を得る . 館山の緯度は北緯 34 。 55.7 ' であるから , 南極と鉛直軸のなす角度は 124 。 55 であ る . すなわち , 地磁気双極子の方向は地球 の自転軸から外れている . 実際 , 館山にお 5 ー 7 図地球の磁気双極子磁場 ける磁場の水平成分の方向は , 真北から西へ 6 。 24.2 ' の方向にある . この角度を 偏角という . 地球上のいろいろな地点で磁場の様子をしらべてみると , 磁場は 双極子によって表わされるが , 磁気の北極は北緯 78.8 。 , 西経 69.8 。の地点 ( カ ナダの北 ) にあることがわかっている . [ 問 5 ] 日本のいろいろな地点での地磁気の測定値は理科年表に載っている . 各自 ( 加 ) = 0 周した線積分について 磁気双極子の作る磁場に対しては , 静電場と同じように , 閉曲線に沿って一 の住所に近い地点について [ 例題 ] と同じことを調べてみよ . ( 5.8 ) に表わすことにする . ものであることを示すもので , 電流に由来するものとの区別を強調する場合にこのよう 式 ( 5.8 ) で H(m) と上に添字 ( 襯 ) をつけたのは , この磁場が磁気双極子に由来する 合にのみ有効である . 位を定義することができない . このように , 磁位は磁石による磁場を考える場 に新 . 6 で述べるように , 電流が作る磁場については式 ( 5.8 ) が成立せず , 磁 が成り立つ . * したがって , 電位にならって磁位を導入できる . しかし , 後
114 5. 静磁場 極と S 極とがあること , N 極同士や S 極同士は反発し合 い , N 極と S 極とは引き合うことを述べている . W. Gi1- bert は , 磁気の研究を体系化し , 実際に磁石で球を作り , それが磁針におよばす力の様子を地球の磁気 ( 地磁気 ) と比較し , 地球自身が大きな磁石であることを確かめた . [ 間 1 ] 磁石の北を指す極を N 極 , 南を指す極を s 極と定 義する . 地球の北極は , 磁石としては何極か . [ 答 : N 極を引きつけるのだから s 極 ] 5 ー 1 図磁石の磁極 間のカ 磁石の間にはたらく力を定量的に研究し , 今日に通ずる科学としての磁気学 を始めたのはクーロンである . 彼は , 磁極の間にはたらく力を精密に測定し , それが電荷と同じく逆二乗則にしたがうことを示した . すなわち , 磁石の N 極 には正の磁荷 4 加 , S 極には負の磁荷ーが対となって存在するとし , 磁荷 の間にはそれを結ぶ方向に 1 ク加 4 兀 % Fm ( 5.1 ) という力がはたらくとして , 磁石間の力を説明すること ができることを示した . これを磁気のクーロンの法則と qm 5 - 2 図磁石と磁荷 いう . このカの法則は電荷間の静電気力 ( 1.2 ) とまったく同じ形をしているの で , 静電気のところで述べたこととまったく同じようにして議論することがで きる . 定数色は真空の透磁率とよばれ , この本で用いる国際単位系では = 4 応 x 10 ー 7 N/A2 ( 5.2 ) という値になるように定める . なぜこんなところに電流の単位 A ( アンペア ) が登場するか , ということはだんだんとわかってくる . 磁荷の単位としては , ウェーバー ( Wb ) を用いる . 1Wb の磁荷が lm 離れてあるときの磁気力は [ 答 : 式 ( 5.1 ) から , 1 Wb = 1 J/A である . ] [ 間 2 ] の単位に注意して , Wb を A を用いて表わせ . = 6. 33 x 104 N である . ( 4 ー 2 x 107
新 . 2 磁性体と磁気分極 電気の場合には , クーロンの法則とな らんでガウスの法則が重要な役割を演じ た . 磁気の場合にも , 電気力線にならっ て , 磁カ線によって磁場の様子を表わす ことができる . 5 ー 8 図に磁気双極子によ る磁カ線の様子を示した . 閉曲面を通って外へ出ていく磁カ線の 総本数は閉曲面内の磁荷 Qm' に比例す る . これが磁気の場合のガウスの法則で ある . 式で表わせば 色〃れ ( ) dS = Qm' 常磁性 , 強磁性 119 5 ー 8 図え方向を向いた磁気双極子の 作る磁カ線 ( 5.9 ) となる . 磁気双極子については , 上式の Q 加 ' = 0 である . しかし , 磁石の一方 の極のみを囲むような場合には , 分極磁荷 Q 加 ' は必ずしも 0 ではない . この様 子を調べるには物質中の磁場を考えねばならない . 当 5.2 磁性体と磁気分極ー常磁性 , 強磁性 磁気の場合は単独磁荷が存在しないから , 電流に対応する磁流は考えられな い . また , 磁気的導体というものもない . 微視的磁気双極子は , 正負単独磁荷 の変位によるものではなく , スピン磁気モーメントである . 電子が多数集まっ て構成している巨視的物質の磁気的性質は , 電子のスピン磁気モーメントの配 列の様子によって説明される . * このような立場で巨視的物質をとらえたとき 磁性体という . 磁性体における磁場の様子は , 誘電体における電場と同じよう にして考えればよい . 1 個の電子のもっスピン磁気モーメントの大きさは , ポーア磁子 このほかに , 微視的な電流に由来する磁気もあるが , これについては電流の磁気作用に ついて勉強した後に考える .
150 5. 静磁場 が成り立つ . 磁性体の磁気分極による磁束密度は , スピン磁気モーメントによ る分極の場合も含めて磁化電流によって表わすことができ , によって H(C) を導入すると , アンペールの法則 H(c) = ん が成り立つ . ( 5.46 ) ( 5.45 ) 磁気モーメントと電流による磁場を重ね合せることができる . そこで , 両者に 場源が単独に存在しているときのべクトルを合成したものになる . すなわち , 磁気モーメントと電流とが共存しているとき , トルクや磁気力はそれぞれの磁 気力 , 磁性体に磁気分極を生じさせる作用など , すべて同等である . しかも , は変りがない . 他の磁気モーメントにはたらくトルク , 運動電荷にはたらく磁 磁気モーメントによるにせよ電流によるにせよ , 作られた磁場の磁気作用に が一般的に成り立つ . 式 ( 5.8 ) と ( 5.46 ) から , 召 = 〃 0 〃十 Pm を導入しよう . 式 ( 5.16 ) と ( 5.45 ) とから , 〃と B の間には B = B(m) 十 B(c) よる磁場を合成して , 一般的な磁場と磁束密度 ( 5.51 ) アンペールの法則は ( 5.50 ) ( 5.49 ) また , 式 ( 5.17 ) と ( 5.31 ) とから , ガウスの法則は Bn dS = 0 ( 5.52 ) ( 5.53 ) となる . 式 ( 5.51 ) からわかるように , 場″と召とは , 真空中では単に定数 倍の違いしかない田 = 色″ ). しかし , 磁性体の中では , 羇 . 3 , 羇 . 7 で述べ たように両者には違いがある . そのとき , 磁気モーメントに対するトルクは ル = pm X 〃 と場〃によって , 運動電荷にはたらく口一レンツ磁気力は ( 5.4 )
116 5. 静磁場 である . 磁気双極子間のカから出発して磁気の理論を組み立てるのが本筋であ ろう . しかし , その力はクーロンの法則から導かれることは , 電気双極子の間 の力が電気のクーロンの法則から導かれることと同様である . そういう意味で ( 5.1 ) から出発して磁気の理論を考えていこう . この理論は , 第 1 章の静電場の理論をほとんどそのままなぞりながら磁気の 場合に対応する概念を導入し上に述べた単独磁荷の不存在を考慮して作りあ げればよい . まず , ある空間領域にわたって存在する磁気的作用として磁場 * を 考える . 磁場の強さは , 単位磁荷あたりの磁気力として導入する . すなわち , ある点 P に磁荷があって磁気力 Fm がはたらくとき , によって定義する . 〃の単位は , N/Wb= A/m である . 別の単位系 (CGS 電磁単位系 ) で用いら れる単位工ルステッド (Oe) との間には , 1A/m = 4 >< 1 『 30e の関係がある . 磁石の基本要素となるものは , 磁気双極子が作 る磁場である . 磁気双極子は , 電気双極子になら って , 士の磁荷が小さい間隔 / を隔てて対と ロへと向か 様な磁場″の中に置かれた磁気双極子には うとして , 大きさは = ク記で定義される . この点の磁場の強さ ( 5.3 ) 5 ー 4 図 磁気双極子モーメント のトルクがはたらく . [ 問 3 ] 盟加と〃との角度が日のとき , 大きさを求めよ . 工学では磁界という訳語がよく使われる . トルクの ( 5.4 ) [ 答 : 5 ー 5 図一様な磁場中の磁気 双極子にはたらくトルク
常磁性 , 強磁性 新 . 2 磁性体と磁気分極 5 ー 1 表物質の磁気感受率 * と磁気分極は磁場に比例する . その比例 ( 室温の値 . 相対透磁率 = 係数を磁気感受率 ( 磁化率 ) という . 1 + . 鉄は強磁性体であ 磁気感受率は物質定数であって , 物質の 物質 磁気感受率 種類や温度などの状態による . その値の 空気 3.6 x 10 ー 7 例をいくつか 5 ー 1 表に示した . 強磁性体 2 . 1 x 10 ー 5 アルミニウム を除くと , の絶対値は電気感受率に比 8.3 x 10-4 。マンカ。ン 硫酸銅 1.8 x 10 ー 4 べるとずっと小さい . この表にもあるよ ー 1.7 x 10-4 ビスマス うに , ある種の物質では < 0 となる 水 ー 8.9 >< 10 ー 6 ( 6 ~ 8 ) x 103 鉄 場合がある . これを反磁性という . 反磁 * kg あたりや mol あたりの分極 / 〃 性は電磁誘導による微視的電流の発生と の値を表示する慣習があるので注意 関係しており , その説明は後に行うこと すること . にする . 外磁場がなくても磁気分極している物質を強磁性体 という . 強磁性体では , 磁気原子の間に量子力学的な 相互作用により , 磁気モーメントを互いに平行にする ような力がはたらく . このため , すべての原子の磁気 モーメントが一方向にそろって , 大きな磁気分極が生 じる . これを自発磁気分極という . 一方 , 熱運動は自 発分極をさまたげるはたらきをする . このため , 強磁 性はある温度以下でしか現われない . この境目の温度 5 ー 9 図 をキュリー温度という . 鉄のキュリー温度は 770 ℃で 強磁性体の自発磁化 ある . 鉄の磁石を赤熱すると磁石としてのはたらきを失ってしまう . 赤熱した 鉄をふたたび室温まで冷しても , 磁気分極が生じない . この状態から磁場を作 用させていくと , と〃との関係は , 5 ー 10 図に示すように複雑に変化する . はまず〃とともに増加するが , やがて一定値に飽和する ( A ). このとき の値を飽和磁気分極 s という . この状態から磁場〃を減少していくと , は曲線 OA 上を逆行するのではなく , それよりも大きい値をとりながら減少 し , 〃 = 0 でも有限の値をもつ ( B ). このときの値を残留磁気分極 Pmr とい 121
当 5.9 磁気モーメントと回転運動 異常であるが , これはこれらの粒子が 2 種類のクオークから構成され , 各クオ ークについてはの値は電荷 / 質量であるとして説明されている . [ 間 5 ] 陽子 , 中性子の磁気モーメントの大きさを求めよ . 155 と , 磁気モーメントを磁場の方向に向けるようにトルクがはたらく . このため 電子や原子核のスピン磁気モーメントに対して傾いた方向に磁場″がある = 1.2 x 10 32 Wb m. これらの値は , 電子の磁気モーメントよりも 3 桁小さい . ] = / s ( 陽子 ) カ / 2 = 2.8 色劯 / 4 応 Mp = 1.8 x 10 ー 32Wbm. 同様にして , ( 中性子 ) の絶対値はカ / 2 , であるから , 陽子の磁気モーメントの大きさは ( 陽子 ) に , スピン角運動量の運動方程式は ( 5.60 ) となる . 自転しているコマの回転軸を倒すように重力のト ルクがはたらくとき , コマの自転軸が重力方向のまわりを 回転する才差運動が起こる . これと同じように , スピンの 方向が磁場のまわりを回転する才差運動が起こる ( 5 ー 50 図 ). その回転角振動数 ws は , ( 5.61 ) で与えられる . これと同じ角振動数の電波を送るとスピン 5 - 50 図 磁気モーメントの 磁場のまわりの才 差運動 Pm の運動と共鳴して強く吸収される . これを磁気共鳴という . このような場合に は , 電子や原子核のスピンが感じるのはその場所における微視的磁場である . その値は , その周囲の電子や原子核のスピン磁気モーメントや原子的尺度の電 流の様子によって決まる . このことから , 磁気共鳴は物質の微視的構造に関す る知見を与えてくれる . 才差運動しているコマは , 摩擦によりやがて倒れてし まう . 同様に , ″のまわりを回っている磁気モーメントも , エネルギーを失っ て″の方向を向くようになり , 磁場方向の磁気分極が発生する . [ 問 6 ] 色〃 = 0. IT のとき , 電子と陽子スピンの共鳴角振動数を求めよ . [ 答 : ws = 1.8 x 1010 s-l ( 電子 ) , 2.7 x 107 ご ( 陽子 ) ]
5.3 磁性体と磁場 123 も , 磁気分極の向きはなかなか変らない . これが磁石である . 鉄の〃は 60A / m であるが , 炭素とマンガンを 1 % ずっ加えると 4.4 x 103 A/m に増加し , 強 い磁石となる . [ 例題 ] 鉄の 20 ℃における飽和磁気分極の値は Pms = 2.2 Wb/m2 である . 鉄の 1 原子あたりの磁気モーメントを求めよ . 鉄の原子量ス = 55.8 , 密度 d = 7.9 x 103kg / m3 である . [ 解 ] 1 m3 の鉄の磁気分極の値が Pms Wbm である . 1m3 中の鉄原子の個数は , 4.3 のやり方で求められ , ル d ス x 1 『 3 = 8.5 x 1028 個 / m3 である . となる . となる . これから , 1 原子あたりの磁気モーメントの値は , = 2.6 x 10 ー 29Wbm mS 1 原子あたり約 2 個の電子の磁気モーメントが向きをそろえていることにな この値は , 1 電子あたりの磁気モーメント ( 5.11 ) を用いると , る . この値が , きっちりと整数にならないのは , 鉄が金属であるために , 電子が原子 58.7 , 密度 d = 8. 9x 103kg / m3 を用いて , 1 原子あたりの磁気モーメントを求め [ 問 1 ] 20 ℃におけるニッケルでは Pms = 0.61 Wb/m2 である . から原子へと渡り歩いているためである . 原子量ス = よ . [ 答 : ル = 9.1 x 10 m ー 3 , カ = 6.7 x 1 『 30Wbm = 0.57 カ ( の ] 5.3 磁性体と磁場 磁性体がある場合の磁場は , 誘電体がある場合の電場と同じようにして考え ることができる . 微視的尺度で見ると , 磁場は外部に源をもっ外部磁場〃と , 磁性体の中の磁気モーメントによる磁場″ とを合成したものである . 巨視的磁場は , の微視的磁場を空間平均したものである . そ れには , まず磁気モーメントを平均して磁気 分極で表わし , の作る磁場を求めれ ばよい . この磁場は , 電気分極の場合と同様 5 ー 12 図 分極磁荷 磁気分極と分極磁荷
= 9. 27 x 10 ー 24A m2 120 を用いて , 5 . 4 兀襯 静 色襯 B = 1. 磁 17 x 10 ー 29Wbm 場 ( 5.10 ) ( 5.11 ) である . 襯 B が質量に反比例していることからも推察されるように , 陽子や中性 で関心をもつのは , 巨視的尺度で見た磁性体の様子である . そのために , まず , 磁性原子がたくさん集まって磁性体が作られるのであるが , われわれがこ あって , 磁石の材料となる . オン ) が , 物質の磁性の基本単位である . 鉄 , ニッケルは代表的な磁性原子で 何個分かの磁気モーメントが同じ向きを向いている . このような磁性原子 ( イ トは互いに逆方向を向いている . しかし , ある種の原子やイオンでは , 電子の ている . たとえば , ヘリウム原子には 2 つの電子があるが , その磁気モーメン ーっの原子の中の電子の磁気モーメントは , 多くの場合 , 互いに打ち消しあっ うに , 電子の磁気モーメントやその相互作用では量子論による効果が大きい . つう無視できる . ntB の表式にプランク定数んが入っていることからわかるよ 子の磁気モーメントの値は電子の千分の 1 以下であるので , 物質の磁性ではふ 磁性原子を多数含む領域にわたって平均した磁気モーメント Pm(r) = ( 5.12 ) を導入し加を磁気分極という . 加の単位は Wb/m2=N/Am であるが , これをテスラ (T) ともいう . r は , 平均を求める領域の代表点の位置べクト ルであり , 磁気分極の場を考えることができる . 磁場〃が 0 の場合に , 常磁性体では磁性原子の磁気モーメントの方向は , 熱運動によってまったくでたらめである . 磁場〃がかかると , 磁気モーメン トをその方向に向けるようなトルクがはたらくために , 磁気モーメントの平均 は 0 ではなくなる . こうして , 常磁性体では , 磁場が弱ければ , ( 5.13 ) ある . * = 厩で定義される磁化を用いることもある . 磁化の単位は〃と同じく A/m で
128 5. 静磁場 と召とはきわ立って異なる特徴をもっている . このことは , 次節以降で述べる ように , 磁気のもうーっの原因である電流の磁気作用を考える上で重要である . 5.4 電流にはたらく磁気力 電流が流れている導線の近くに磁石をもってくると , 導線に力がはたらく . 電流は電荷をもった粒子の流れであるから , 運動している電荷には磁気的なカ がはたらくことが , この現象の基本要素であろうと考えられる . 実際 , 磁場の 中を速度じで運動している点電荷クには , カ お = クじ x がはたらくことが , 種々の実験からわかっている . これをローレンツ磁気力という . 磁気力が″では なくてによって表わされることを注意しておこ う . このことは , たとえば高速電子線が磁石の中を 通りぬけるときに受ける力のような例によって , 実 験的に確かめられている . ローレンツ磁気力 ( 5.23 ) は , その定義からして , 速度べクトルじと召の両者に対して垂直である . その向きは , 4 が正のときには , じからおへと右 ねじを回したときにねじが進む向きである . 4 が負 ならば逆向きである . ( 5.23 ) 4 らく口一レンツ磁気力 5 ー 19 図運動電荷にはた [ 問 1 ] え方向に Bz=2T の磁場がある . 面内で , 電子の速度が 105 m/s, の = 4.0 x 105m / s のとき , 磁気力の各成分を求めよ . [ 答 : ー 1.28 x 10 ー N , Fy= e B ~ = 9.6 x 10 ー 14N ] evyBz ローレンツ磁気力は , 電荷の運動に対して常に垂直方向にはたらくので仕事 はしない . しかし , 電荷の運動の方向を変化させるはたらきをもっている . た とえば , 名方向を向いた一様な磁束密度 B の磁場があったとする . この磁場に 垂直な面内での電荷をもった荷電粒子の運動を考えよう . いま述べたよ = 3.0 x