70 4 べクトルの徴分とべクトル微分演算子 例題 4.2 平面上を運動する質点の速度べクトルの , 加速度べクトル啅 ) は , 2 次 元極座標では , む = ど ep 十リの e の , 0 = な ep 十な e と書けることを示せ・ P—Pé2, = 邱 + の [ 解 ] 2 次元極座標での単位べクトル % % と , 直角座標ェ , リでの単位べクトルれ j との関係は , coséi 十 sin4J, e ー sin の i 十 cos の j 平面上を運動する質点の位置べクトル r のは , それそれの座標系で , と表わされる・ ( 1 ) ( 2 ) 直角座標での単位べクトルは時間によって変わらないが , 2 次元極座標での単位べク トルは時間変化する , ーの cos の i ー sin j —ésin4i + écoséj=éeø したがって , 速度の p 成分を % , の成分を % とすれば , ( 2 ) 式を時間 ~ で徴分して , ( 3 ) 式を用いると , この公式を使って , 叱 ) , 〆のを 2 次元極座標系で表わす・ = vpep 十こ , e = p 十ら十 ( P の十の十 P の % 加速度べクトルを求めるために , ( 4 ) をもう一度一で徴分する . したがって , 加速度の袒成分を % , の成分を % とすれば , 0 = な ep 十な の = 邱 + 2 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )

64 ランダウの記号 1016Q ・ m 程度で全くオーダーが違う・ であり , 同じオーダーであるという・ところが , 石英ガラスの電気抵抗率は という言葉を用いる・例えば , 銅や鉄などの電気抵抗率は 1 ~ 10X10 ー 89 ・ m 物理の世界では , 上で述べたような数学的意味でなくても , よくオーダー 者のランダウ (). D. Landau, 1908 ー 1968 ) ではない・ このランダウは , 数学者のランダウ (). Landau, 1877 ー 1938 ) であり , 物理学 これらの記号 0 ( 大文字オー ) , 。 ( 小文字オー ) をランダウの記号という・ が使われる・ であることを意味している・エ→ 0 ではなく , ェ→などの場合にも同し記号 というように用いる・この式は , ェ→ 0 のとき , 日 / ( ェ ) ーな 0 ーな 1 ェ } / 新が有界 な 0 十な 1 工十 O( 2 ) 例えば , 級数 / ( ェ ) = な 0 + な洋 + な 2 ェ 2 + ・・・のとき , とかく・ って , とかく・ / ( ェ ) / 〆ェ ) → 0 のときは , / ( ェ ) は〆ェ ) よりも「低い位数にある」とい いう ) とき , / ( ェ ) と〆ェ ) は「同じ位数 ( 。 rder ) にある」といって , ェ→ 0 のとき , ゾは ) / 〆ェ引がェによらない定数で上から押えられる ( 有界と すのに便利な記号がある・すでに使っている読者も多いかもしれない・ 本書では用いなかったが , 無限小や無限大の様子 , 近似式の剰余等を表わ ~

1 ー 1 初等関数 Sin ょ 4 COS B COS 員 Sin B —Csin(A + B) + sin(A—B)] —Csin(A + B)—sin(A—B)] 残りの公式を示すには , 余弦 ( コサイン ) 関数に対する加法定理を用いればよし . 5 COS cos(x 十 ) 十 cos(x ーリ ) = 2 cos 工 cos リ cos(x + の一 cos(x ーの = ー - 2 Sin 工 SIn リ ( 5 ) ( 6 ) 工 + = 4 ェーリ = B とおくと , ( 5 ) と ( 6 ) より , それそれ和を積に直す公式の 3 番目と 4 番目の式が得られる・また , ェ = 4 リ = 召とおけば , ( 5 ) と ( 6 ) より , それそれ積を和に 直す公式の 3 番目と 4 番目の式が示される・ 尸 1 題 1 ー 1 日ⅡⅢ日日日日ⅢⅢⅢⅡⅢⅢⅢⅢ日ⅢⅢ日日ⅱⅡⅡ [ 1 ] ( 1 ) 振幅は同しであるが異なる角振動数をもつ 2 つの調和振動ェ 1 = c 。 s 叫ー とェ 2 = c 。 s の 2 を合成せよ・また , 叫との 2 が近い値のとき , その合成振動は @1 + の 2 ) / 2 を角振動数とする調和振動の振幅が , @1 ーの 2 ) / 2 の角振動数でゆっくり変調された形と ( 2 ) の 1 = 1 俿 , の 2 = 8 の場合の合成振動の様子を図示せよ・ なっていることを示せ・ [ 2 ] [ 3 ] ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) [ 4 ] ( 1 ) 次の定積分を示せ・川と〃は正の整数とする・ sm 川ェ d ェ = 0 , COS ~ 工 COS 〃工 d 工 Sln 〃 2 工 COS れ工イエ cos 川ェ d ェ = 0 S1n ? れ工 S1n れ工 d 工 = ら = なら こで , …はクロネッカーのデルタ記号ö… = 0 ( 川半〃 ) , 1 ( 川 双曲線関数に対して , 次の式を示せ・ COSh2X ー sinh2x = 1 cosh 工 cosh 十 sinh 工 sinh cosh(x 十の = sinh 工 COSh リ十 cosh 工 cosh リ sinh(x 十の = リ = ae ( 2 ) リ = e ーリ 2 sin 2 ー ー 62 , 2 / 2 朝 > 0 , b> の , 次の関数の振舞いを説明し , グラフに描け・ sinhx の逆関数を sinh-lx とかくと , sinh-lx = 10g ( ェ十 VI + ェ 2 )

178 問題解答 をつくり ( 上では , 任意定数を選びなおした ) , 初期条件 0 れ工 エ , の = 人工 ) = 十。 cos 十おれ sin 2 をみたすようにする・上式の右辺は , 関数人工 ) のフーリエ級数展開にほかならないから , 人工 s ー一 ② ②を①に代入したものが求める解である・ 問題 7 ー 4 = c 川 2 十がとして , [ 1 ] 例題 7. 5 より , の… 可工 , 鰺の = …。 cos の… sin 川工 sin 〃なリ 川 = 1 れ = 1 4 dx d 人工 , y)sin 川な工 sin 〃リ 係数を以下に示す・ 16 々 144 々 な 6 ァれ 3 〃 3 ( 1 + ( ー 1 ア + 1X1 + ( ー 1 ) " + 1 ) ( 3 ) = 16 々 2 川〃 ( 川 2 ー 4)( が一 4 ) 〔注〕 ( 3 ) で = = 22 = 0. [ 2 ] ″ 0 , のに対する波動方程式は , ( 1 ) 1 + ( ー 1 ) " + 1X1 + ( ー 1 ) " + 1 ) 7 ( 2 ) ー 1 尸 + れ 可 ) = ⅳ , のをとおくと , 上の式より , = C2 リ′ この方程式の一般解は , リ 0 , の = 人 / ーの + 〆 / + のよって , 0 , の = / 0 ーの〃 + 〆の / れ [ 3 ] エ , の = T(t)X(x)Y( のとおいて , 2 次元熱伝導方程式に代入し , T / 十んカ T = 0 ① X 〃十化 X = 0 , Y ″十日 Y = 0 ② 境界条件 0 の = 可な , の = エ , 0 , の = ″ ( ェ , ) = 0 より , x ( の = x ( の = 0 , Y( の =Y( の これらをみたす②の解は , カ… = , + , … =@川/の2, = ( / の 2 として , x ェ ) = sin(mrx/a), 塚の = sin(nry/ の また , このカ…に対して , ①の解は T 冖の = … e →

10 1 基本的な知識 例題 1.3 ェ =pcosé, = psin ののとき , / ( ェ , のに対して次のことを示せ・ 1 ) ー = 0 ならば , / ( ェ , のは袒だけの関数である・ 2 ) + = 0 ならば , / ( ェ , のはのたけの関数である・ D2f D2f D2f 1 鈩 1 D2f D ェ 2 D リ 2 釦 2 袒 Dp 〆 Dé2 [ 解 ] x=pcosé, リ = sin のより , p = V ェ 2 + リ 2 , の = tan ー 1 朝な ) ・リを一定として , p = 評夲いをェで微分する・ ( 工 2 十 2 ) 1 / 2 Dx 同様にして , Op/Oy=y/p=siné. また , Dx 1 ェ 1 + 朝な ) 2 よって , 合成関数の徴分公式 ( 1 ・ 7 ) より , Dp Dp Dx Dé Dx Dp Dp Dy Dé Dy COS の P cos の sin の一一十 よって , / はのによらず p だけの関数・ 2 ) 上と同様に計算すると , ェ ( 明売 ) + 明 0 の = 〆明 D の = 0. ょって , / は袒によら ずのだけの関数・ Of cos 鈩 2 1 2 ・ 2 ェ ( ェ 2 + の一 1 / 2 COS の 1 ェ 2 1 + ( のェ ) 2 Sin の 必工必工 工 2 十 2 COS の 工 2 十 ( 0 ( 0 ( 0 ( 0 COS の ( 1 ) Df Df sin の sin の COS の 4 ) ( 1 ) 式をもう一度偏徴分して加え合わせれば , 証明すべき式を得る・ D2f Dp D O Df D ェ 2 Dx Dx Ox Dp Dx Dx Dx sin 一一一十 十 十

174 問題解答 この 2 つの式からを消去し , 偏微分方程式を用いると , Uy = も + カ = も + ( ーの ) = 0. よって , Uy=0. すなわち , U はだけの関数となり , 一般解は , 4 = の [ 2 ] ( 1 ) ェ半では d2 可 2 = 0 で , 4 ( の = u( り = 0 を考慮すると , 0 ミエ < では = な 1 ェ , < ェ坙ーでは 4 = ェー 1 ) ェ = どでイエ ) は連続である条件より , な 1 ミ + なーり = 0 ① . た , d2 可 2 = ー〆ェーめを , ェ = どー e からェ = + e まで積分すると 〆ェー沌 = dx ミ + を ま な 1 上に求めた 4 を用いて ( 6 → + 0 の極限を考える ) , な 2 ーな 1 = ー 1 ②・① , ②を解くと , < ェ坙り 印ーエ滬 ( 0 ミエ < め ー 5/1 = ( 1 ーの川な 2 = ー印が得られ , 結局 d2 ェめ ( 2 ) G ( 0 , ど ) = G ( 4 め = 0 だから , ″ ( の = 4 ( ェ ) = 0. また , 問題 7 ー 2 [ 1 ] ストークスの波動公式″ ( ェ , の = ( 1 / 2 ) { 人工 + の + / ( ェーの } + ( 1 / 2c ) ( 1 ) 境界条件 4 ( 0 , の = 0 は , 7 1 工十 ( ー 工 -0 ー 〆 s を用 2 これがすべての一で成り立っためには , (@), 〆ェ ) は奇関数 , / ( ーの = 一人の , 〆ーの = 〆の・したがって , 区間工と 0 で定義された関数人工 ) , 〆のを奇関数として拡張すれば , ストークスの波動公式が解になる・ ( 2 ) 境界条件 u(), の = 0 より , / ( ェ ) , 〆ェ ) は奇関数・境界条件可ムの = 0 は , 1 1 ん十 c ー 〆 s = 0 2 よって , 奇関数人の , 〆ェ ) はさらに周期 2 んの周期関数となる・したがって , 区間 0 ミエ $L で定義された関数 / ( ェ ) , 〆のを周期 2 んの奇関数として拡張すれば , ストークスの公 2 1 ( 3 ) 境界条件 0 , のは , 式が解になる・

3 ー 2 2 階微分方程式 51 例題 3.3 次の微分方程式を解け . 川は定数とする・ [ 解 ] 1 ) 微分方程式にはリが含まれていない・ / = 力とおく・与えられた方程式は これは 1 階方程式である・定数変化法を用いる・エ ) = c ( ェン一 3 = とおいて , ( 1 ) 式に代入 2 1 ) リ″十 3 / = 6 ェ , 襯 2 3 ) 川 が十 3 カ = 6 ェ すると , C/ = 6 ェ e3 '. よって , C(x)= dy 2 もう一度積分して , 一般解の = ェ 2 ーーエ 3 2 ) 微分方程式にはェが含まれていない・ カだから , 与えられた方程式は 2 十 C1e¯3x 3 2 + CI , すなわち , ( 1 ) ( 2 ) ー c 窿 3 ' + C2 (CI, C2 は任意定数 ) を得る・ / = 力とおくと , リ″ = ゆ / = の / ・ / = dy リー 2 ( 3 ) は , ゅー 2 / 朝一 2 ) = 0 と変数分離形であるので , log 冽ー 2 log ツー = c, ( 4 ) は再び変数分離形であるので積分できて , 1 リ ( ェ ) CI ェ十 C2 dy カ = = CI 朝一 2 ) 2 (Cr, C2 は任意定数 ) ー 1 / 朝一 2 ) = CI ェ + C2. すなわち , 3 ) リ = / とおくと , これを積分すると d2 リ翅 2 = こ洫 / であるから , 与えられた方程式は , 1 dv 肌 2 ー F 朝ソリ = 定数 = E 2 ( 3 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 5 ) の = お朝沌とおくと , 上の式は一 2 + の = E. し = 翅と書きなおして積分 すると , 一般解は (), c は任意定数 ) = 士 0 + C) VE— V( の dy ( 7 ) 2 この問題は , と表わされる・ よばれる・ 1 次元の力学であり , 峽のはポテンシャル・エネルギーと

1 ) 8 問題解答 の O ェ の O リ O/Oz 2 の 2 ーの 3 工の 3 ー 2 の 1 リの 1 ーエの 2 ▽・ v = ーー ( 2 の 2 ーリの 3 ) 十一一イエの 3 ー 2 の 1 ) + ーー朝叫ーエの 2 ) [ 3 ] ( 1 ) 定義の式を計算すると , = ( / li 十 / 2j 十 13 ん ) ・ i—十 j—十ん一一 = 小▽の ( 2 ) ▽の = ( 2 ェリ 2z 十 23 ) i 十 ( 2 ェ 2 十 2 ) j 十 ( ェ 2 十 3 2 十のん . 点 P(2, ー 1 , 1 ) での値は , ▽の = 5i ー 7j 十 9 ん . また , べクトル i 十 2j ー 2 ん方向の単位べクトルは , “ = 十 2j ー 2 ん ) / 12 十 22 十 ( ー 2 ) 2 = ( i + 2j ー 2 ん ) / 3. したがって , 求める方向徴分係数は , / 面 = = 1 ー 0 + 2j ー 2 ん ) ・ ( 5i ー 7j + 9 ん ) = ( 3 ) 点 P から描いたべクトルと , 曲面の = c + 」のと の交点を Q とする ( 図参照 ) ・単位法線べクトル = + ら j + らん , や Q = 山とすれば , 点 Q の座標は Q ( ェ + ら山 , リ + 12 山 , 2 + ら誑 ) であるから , ( 1 ) と同様の計算で , 〆ェ十 II 」なリ十 12 」な 2 十 13 」の一〆ェ , の lim = 小▽の dn 」一→ 0 また , 例題 4.4 より , Vé = Ⅳれであるから , / = Ⅳ . この 2 つの式より , V4 ( 4 ) 点 P での任意単位べクトルを“ , ととの角を 0 とする . ( 1 ) と ( 3 ) より , COS 0 dn dn よって , 0 = 0 , すなわち , れ方向でのの方向微分係数は最大で , 最大値はⅣ . 問題 4 ー 5 ▽ x v = 2 の 2 の十 2 の 2j 十 2 の 3 ん 3 2 1 4 = c 十の Dx ( 0 ( 0 2 十 十コーーーコ ( 0 ( ひ [ 1 ] ( 1 ) Vx(V4)= わーー十 j ーーー十ん一一 Dy Dz OyDz OxDy OyOx j 十

3 常微分方程式 例題 3.4 2 階非同次 ( 非斉次 ) 方程式 の一般解は , 同次 ( 斉次 ) 方程式の 2 つの独立な解のを使って , / ( ェッ 2 / はン 1 リ ( 工 ) = 1 叭十 2 の一叭ーーー -- ー記工十の—dx 」 ( 工 ) = 1 リ 2 ー 1 リ 2 と求められることを示せ・ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) [ 解 ] 定数変化法を用いる・工 ) = CI ( ェッ 1 ( ェ ) + C2 ( ェン 2 ( ェ ) とおく・未知関数は CI ( ェ ) と C2 ( のの 2 つであり , 微分方程式 ( 1 ) は 1 つの条件しか与えないので , 条件 叭 CI ) + の C2 ) をつけ加える・ェ ) = CI ( ェッ 1 ( ェ ) + C2 ( ェッ 2 ( ェ ) を徴分して , ( 4 ) を用いると , / = CI リ 1 / 十 C2 リ 2 = C 辺 1 ″十 C2 リ 2 ″十 CI 1 ′十 C2 リ 2 これらを徴分方程式に代入すると , / ′ + カ ( ェ ) / + 〆ェ ) リ = CI { の″ + カ ( ェ ) + 4 ( ェン 1 } + C2 セ 2 ″ + エッ 2 ′ + 久ェッ 2 } ( 4 ) 十リ / CI ′十 2 ′ C2 ′ ところが , いのは同次方程式の解であるから , 上の式で , よって , ( 5 ) より , 1 ℃ 1 / ( ェ ) + の℃ 2 / ( ェ ) = / ( ェ ) { } 内はともに 0 である・ ( 5 ) 仮定により , のとのは独立な解であるから , 」 = 叭リ / ー叭包 2 は 0 でない . ( 6 ) したがって , 連立方程式 ( 4 ) と ( 6 ) より , 0 C20 ) = 上の式を積分すると , CI ( ェ ) C2 ( の / ( ェッ 2 ( の / ( ェン 1 ( ェ ) dx 十 2 イエ十 1 1 1 ー / ( ェン 2 い ) い 1 は任意定数 ) い 2 は任意定数 ) ( 7 ) をの = CI ( ェン ) + C2 ( ェッ 2 ( ェ ) に代入すれば , 証明すべき公式 ( 2 ) を得る・

2 ー 1 べクトル 17 Ⅲ日日Ⅲ日日日日日ⅡⅡⅡⅢ日日日Ⅲ日日日ⅢⅢ日ⅢⅢⅢⅱⅢロ 題 2 ー 1 日日日ⅡⅡⅢⅢ日日日日日日日日日日日Ⅱ日ⅡⅢⅱ日Ⅲ [ 1 ] 質点にカ , , よって求めよ . カ , , [ 2 ] 2 つのべクトル ・ , おがはたらいている . 合カ = 十 + ・・・ + を作図に ・ , がつりあっているとき , その図はどのようになるか・ = 3i ー 2j 十 4 ん , がある・れ j, んは基本べクトルである・ ー i 十 3j 十 2 ん ( 1 ) べクトル rl + r2 とその大きさを求めよ・また , rl + r2 に平行な単位べクトルを 求めよ・ ( 2 ) べクトル 2r1 ー r2 とその大きさを求めよ : また , 2r1 ー r2 に平行な単位べクトル を求めよ・ [ 3 ] ( 1 ) んをそれそれ点 A, B の位置べクトルとする . 2 点 A, B を通る直線上 の任意の点 P の位置べクトル r は , 次の式で表わされることを示せ・ r = ー 4 + ( 1 ーのみ ( 2 ) ス , C をそれそれ 3 点 A, B, C の位置べクトルとする . 3 点 A, B, C で決定さ れる平面上の任意の点 P の位置べクトル r は , r = ス 4 + gB 十レ C , 次の式で表わされることを示せ・ ス十″十レ = 1 i ◎冗 3 ◎セ - ・一一単位べクトル i 大きさが 0 でない任意のべクトルスがあるとする・このとき , スと同じ向き : ミの単位べクトル。を , 。 = ス川川によって作ることができる・当りまえと思わー ーれるかもしれないが , 重要な事実である . 実際に , 第ト 1 であることを各自た 三しかめよう・大きさを 1 にしたという意味で , 単位べクトルを正規化 ( または規ー ー格化 normalized) べクトルともいう・