2 ろ 2 ー 3 行列 例題 2 ・ 3 に対して , 8 ) AT 十 BT, 9 ) BTAT を計算せよ・ [ 解 ] ワ -4 ・ワ 1 -4 一 11 っ 3 71 1 3 一 4 十 2 3 ) 十 2 召ー 3C ー 1 十 2 ー 12 4 十 4 ー 3 ) 3 ー 6 ー ( ー 6 ) 2 ← 1 ) + ( ー 1 ) 2 2 ・ 1 + ( ー 1 ) ( ー 3 ) 4 ← 1 ) + 3 ・ 2 4 ・ 1 + 3 ← 3 ) ー 1 ・ 2 十 1 ・ 4 ( ー 1 ) ( ー 1 ) + 1 ・ 3 5 ) お = 2 ・ 2 + ( ー 3 ) 4 2 ← 1 ) + ( ー 3 ) ・ 3 4 ) と比べると , 一般には召半召であることがわかる・ ー 26 6 ) (AB)C = 18 ー 1 十 1 1 ) 十月 = 2 ) 一召 = 3 3 一 71 CO 11 っ 0 4 ) 召 = ー 11 7 ) 4 召 c ) = 結合則い B ) c = 4 召 c ) が確かに成り立っている . 8 ) AT 十 BT= 1 ) の結果を使えば , ( 十 B ) T = T + 召 T が成り立つのがわかる・ 9 ) BTAT = 4 ) の結果を使えば , (AB)T=BTAT が成り立つのがわかる・ ー 26 18 14
ー 1 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 多重積分 , 線積分 , 面積分と積分定理 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 ー ー 2 ー 3 ー 4 ー 5 ー 5 ー 4 ー 3 ー 2 ー 1 ー 5 ー 4 ー 3 -2 ー 1 目次 定数係数の 2 階線形徴分方程式・ 2 階徴分方程式・ 常徴分方程式と 1 階微分方程式・ 振動・ 連成振動・ べクトルの微分とべクトル微分演算子 運動座標系・ 2 次元 ( 平面 ) 極座標・ べクトルの徴分・ べクトル場とべクトル演算子・ 公式と応用・ ストークスの定理・ ガウスの定理・ 平面におけるグリーンの定理・ 線積分と面積分・ 多重積分・ フーリエ級数とフーリエ積分 ー 1 フーリエ級数・ ー 3 フーリエ積分・ ー 2 フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数・ 偏微分方程式 6 ー 4 デイラックのデルタ関数・ ー 1 2 3 偏微分方程式・ 1 次元波動方程式・ 1 次元熱伝導方程式・ 44 49 54 う 8 61 65 66 69 72 79 83 84 89 94 97 ・ 100 ・ 105 ・ 106 ・ 110 ・ 115 ・ 118 ・ 123 ・ 124 ・ 127 ・ 151
144 問題解答 1 1 一 1 一カ [ 4 ] 日 = 第 2 章 問題 2 ー 1 [ 1 ] べクトルの和は結合則をみたすので , どのような順番に和を作ってもよい お 1 の終点に 2 の始点 , お 2 の終点にお 3 の始点 , と順に 3 和をつくる ( 右図 ). 合カは , お 1 の始点からの 終点へのべクトルとなる . カ 1 , 2 , ・・・ , 。がつりあ っているとき , = 0 であり , 。の終点は 1 の始点 と一致する・すなわち , 閉じた図形になる・ = 十 2 十・・・十宿 [ 2 ] ( 1 ) = + r2 = ( 3 ー 1 + ( ー 2 + 3 ) j + ( 4 + 2 = 幻 + j + 6 ん . ト問 + j + 6 22 + 12 + 62 = . = rl + r2 に平行な単位べクトルは ! = ( 2 / ) + ( 1 / V ) j + ( 6 / れ一 ) ん ( 2 ) = 2r1 ー r2 = 行ー 7j + 6 ん . ト 4. = 2r1 ー r2 に平行な単位 べクトルは月 = ( 7i ー 7j + 6 ん ) / V134. [ 3 ] ( 1 ) AP と PB は平行だから , AP = ェ PB とかける . AP=r—A, PB=B—r を この式に代入して , r ース = イおー r ). これを解くと , ( 1 + ェ ) r = ス + ェ t = 1K1 + のと おけばい半 B ならばェ半ー 1 ) , r = + ( 1 ーの丑 ( 2 ) 右図を用いる・直線 CP と直線 AB の交点を Q とする . 点 Q は直線 AB 上にあるから , ( 1 ) より Q の位置べクトル OQ = ース + ( 1 ーの丑また , 点 P は直線 CQ 上にある から , r = s OQ + ( 1 ー s 刈 . この 2 つの式から , r = s { + ( 1 ーの + ( 1 ー s ) C = s + s ( 1 ーの + ( 1 ー s ) C. よって , ス = 立 , ″ = s ( 1 ーの , ン = 1 ー s とおけば , r= ス十″十レ C , ス + + ン = 1. 問題 2 ー 2 恤ト V 語 - , 明 = V な . ( 2 ) 。・ 6 = [ 1 ] ( 1 ) ー 23. ( 3 ) ax わ = ー i 十 j 十ん ( 4 ) 。とわに垂直な単位べクトル・は , 士@x の / x 房 = 士 ( ー j + ん ) / V ( 5 ) cos0= ー 23 / 2AY/ 朝 3 ー = ー 0.997. よって , とわのなす角は約 176 。 . [ 2 ] ( 1 ) ( ・・・ ) , で ( ・・・ ) のェ成分を表わす・ (Ax(BxC))z=Ay(BxC)z—Az(BxC)y = / Cy ーお yCz) ー . ( BzC , ー召 , C. ) = Bz(AzCx 十 AyCy 十 AzCz) ー Cx( = B , 十 yBy 十 .4 ) = い・ C 辺 , ーい・ cx. 成分 , 2 成分に対しても同様・まとめると , Ax(BxC)=(A ・ C) ーい・お )C. ( 2 ) ス・ ( xC ) = ( Byc.. ー既 cy ) + 4 ( Bzc , ー c. ) + 4 ( c 广 Byc ェ ) = 2 4 0
5 ー 5 ストークスの定理 101 例題 5.7 を示せ・ = ー〆 2 , 1 , ー 1 ) + 〆 1 , ー 1 , 2 ) 3 ) 点 A(I ー 1 , 2 ) から点 2 , 1 , ー 1 ) へ行く路を c とする・仕事・を計算せよ・ [ 解 ] 1 ) カの回転▽ x を計算する・ 1 ) カ = ー朝 3 + 3 れツ + ( 2 2 ー 3 2 ) j + ( 2 リ 22 ーエ 3 ) んは保存力であること 2 ) お = ー V+ となる関数ェ , 2 ) , すなわち , ポテンシャルのを求めよ・ ▽ x お = の D ェ の D リ の Dz ー朝十 3 れ 2 ) 2 リ z2 ー 3 ェリ 2 2 リ 22 ーエ 3 よって , カは保存力であり , 仕事私は路 c の選び方によらない = ( 4 ー 4 ) 十 ( ー 3 ェ 2 十 3 ェ 2 ) j 十 ( ー 3 リ 2 十 3 リ 2 = 0 2 ) 一方 , = i + j + ん . = ー▽のより , d 工十一一 d リ十 お・にお = ー朝 3 十 3 れ 2 十 ( 2 2 ー 3 ェの ) j 十 ( 2 z ーエ 3 ) んを代入して , お・ dr ー ー朝 3 十 3 れ 2 ソェ十 ( 2 z2 ー 3 ェの十 ( 2 リ 22 ーエ 3 ソ z ー d ( 工リ 3 ーリ 222 十 2 工 3 ) 全徴分の形 ( 2 ) ( 1 ) したがって , ( 1 ) と ( 2 ) を比べて ( ただし , ポテンシャルのには定数の任意性がある ) , 〆ェ , の = ( 裔は定数 ) 工の一リ 222 十 z 工 3 十の 0 ( 3 ) 3 ) 上で求めたポテンシャル〆ェ , 鰺のを用いて仕事・ dr を計算する . お・ = だから , ー 1 ー 4 十 2 十の 0 ) = 4 1 周積分の記号 ! ◎冗 3 P 訒冗セ ! 単にとしても間違いではないさらに c の向きを含めてのように書くことミ ミであることを明記するために , 線積分の記号をと書くことが多い・もちろんコ ーこの本でも既に使っているが , 曲線 c が閉曲線のときには , 1 周にわたる積分巖 もある・
169 1 32 1 ー 1 ) ェ + sin(2n 8 27 2 3 ( 3 ) ー 4 COS 工ー GCOS 2 工十—COS 3 工ー COS 〃工 = 2 2 可 2 ”ー 1 ) 3 れ = 1 2 〃ー 1 8 S1n 工ーな sin 2 工十 偶関数に拡張した場合に相当 [ 2 ] する ( 右図 ) ・ = 0. そして , 4 Sin 工 d 工 8 Sin 2 〃工 2 Sin 3 工ー 2 ー 3 1 2 2 2 0 S1n 工 COS 工 d 工 = 0 0 2 ( 1 十 cos れ が一 1 ) 朝と 2 ) Sln 工 COS れ工 d 工 0 よって , 1 1 2 - ー℃ os 2 工十—cos 4 工十—COS 6 工十・・ 3 15 / ( ェ ) = / T ( 0 < ェ < T ) で周期は 2 ん [ 3 ] ( 1 ) = T. な T な工 ー 2 応 i ”工 / Td ェ な工 6 35 0 2 な i 〃 2 な〃 - 2 応ー”ェ / T ー 2 第 i れ工 / T 十 e 0 1 2 よって , / ( ェ ) = の 2 + / / 2 な旗 2 . / は” = 0 を除く・ ( 2 ) alcos の到の周期は , 2 ん = 可の・ 0 た / 23 の応 / 23 のな な COS の工 e 2 ー窟 / 23 応 / 23 % ( ー 1 ア + 1 2 ( ー 1 ア 2 ( ー 1 ) " 4 が一 1 2 ( 1 ー 2 〃 ( 1 + 2 〃 [ 4 ] ( 1 ) 川 = ”ならば , { ei ( 1 ー 2 " ) 。 ' 十 e ー i ( 1 + 2 " ) 。 ' } イエ ー 2i れの工 d 工 dx = 1 ん 2 ん
145 ( cyAz ー c. 再 ) + ( czAx ー c , 4 ) + 町 c , 再ー c , ) = お・ ( Cx ス ). 同様に , この式は C ・い x 黝に等しいことが示せる・ ( 3 ) = ス x とおき , ( 1 ) と ( 2 ) の結果を使う・い x お ) x(CxD)=Ex(CxD)=C(E ・のト圦E ・ C)=C{(AxB) ・の} ーの{いX黝・ C}=C{(Bx [ 3 ] 仕事ル = お・ PQ. PQ = ( 3i + j + 4 ん ) ー ( 幻 + 3j ーん ) = i ー 2j + 5 ん . よってル = ( ー 7j ー 2 ん ) ー 2j + 5 ん ) = 4 + 14 ー 10 = 8. [ 4 ] 。 1 はみに比例しているから平行である・わ x ( わ x のは , べクトル積の定義から みに垂直なべクトルだから , 。 2 はわに垂直 . 問 [ 2 ] の ( 1 ) の公式によって , み x ( み x の = 1 ・。渺ー ( み・わ池 . そして , 。 2 = 。 1 を血のわに平行な成分」 , 。 2 をの 6 に垂直な成分」という・ [ 5 ] el = 。川可は単位べクトルである・ e2 = c 襾 + C26 とおく・ el ・ e2 = 0 でなければな らないから , = ー C26 ・ el. よって , % = 他ー ( わ・ e ツ 1 }. 単位べクトルにするには , = 1 / ー ( み・ e ツⅡとすればよい 2 問題 2 ー 3 -4 11 4 っ 3 23 ー 16 20 3 1 10 14 0 ー 20 60 ー 39 [ 2 ] 行列の 0 , 々 ) 成分を々とかく・ ( 1 ) い + B)T = なわ十 = AT 々十 BT ・トよ って , い + お ) T = + BT. ( 2 ) い B ) T , 々 = い B ) ゎ = なゅ ( お T = ( 召 T ) い T ) 々 ーの , な = 池ゅよって , (AB)T ( 3 ) い T ) 与 = 々 = 再トよって , = お T T. (AT)T=A. [ 3 ] 正方行列は , = ーい + ) + ーい一 ) と書ける . い + T ) T = + い T ) T = + T だから , ー ( + T ) は対称行列 . また , ( 一 T ) T = T ー = ー ( 一月 T ) であるか ら , ョ一 ) は交代行列・ [ 5 ] B ー 4 = 矼の対角成分の和 ( トレース ) をとると , tr(AB—BA)=tr(AB)—tr ( お① = な tr ( わ = ・ところが , 前問 ( 2 ) より tr ( 召 ) = tr ( お① . よって , な = 0 となり , のような行列瓦おは存在しない [ 1 ] ( 1 ) 1 ( 2 ) tr(AB)=
15 ろ 問題 3 ー 4 [ 1 ] ら , を任意定数とする・ ( 1 ) ) = 。 s の + C2Sin た ( 2 ) ) = 。 s の 十 sin のー cos 研 / ( の 2 ーの 02 ) ( 3 ) ェ ( の = cos 観十 C2 sin の一十 ( 1 / 2 のン sin のた ( 4 ) イの = 3 1 cos 幻 + sin 2t ). ( 5 ) ) = 心 t()I + な 2 ) ・ ( 6 ) ) = c ⅵ + ー 4 4t()1 cos 幻十 sin 2 の十な cos ( 研ーの , な = [ ( の 2 ー 2 の 2 十 64 の 2 ] ー 1 / 2 , tan の = 8 の / ( 20 ーの 2 ). [ 2 ] ( 1 ) ) = 2 / 10 cos 3 / , 図 ( a ) ・ ( 2 ) ) = 2 cos 34 図 ( b ). ( 3 ) ) = ( 2 + 幻 / 5 ン一い , 図 (c). ( 4 ) ) = 3 / 2 →ー 3 リ 2 , 図 (d). 2 1 O 2 1 O 3 3 1 5 2 10 3 15 2 1 2 1 (d) 0 1 2 3 ・ 4 5 [ 3 ] ( 1 ) 電荷量のと回路を流れる電流 ) との間には 1 = dQ/dt の関係がある・ 電流ーが C, , んを流れるときの電圧降下は , それそれ Q/C, ムん襾である・回路を % ( の = Re [ 3 ( 1 ー ~ / 勹 = 3 cos / 十 3 sin な [ 4 ] 2 = 第をゑ + ゑ + 22 = 6 狎に代入して , ( ー 1 + ー + 2 = 6. よって , = 3 ( 1 ーわ . 解は , の = QO 戸な。 s 研 + はメ in 研 ]. よって , ) = sin 硯 ) , = 2 ムの 0 = 1 / の 0 , = の 02 ーだ ー + Q / C = 0. ー = Q / より , ん 0 + 0 + Q / C = 0. 一周するときの電圧降下の和は , 起電力に等しい・ ー ( の 02 / の : oe ーだ sin のた . 初期条件 Q( の =QO, 爽の = 0 をみたす ( 2 ) 一般解は , 気の = 戸 t@lC。s + いまは起電力はないから , ん叫 + 問題 3 ー 5 [ 1 ] ( 1 ) 運動方程式を行列の記号を使って書くと , ( ん + の / 川 X = ー AX, X =
179 , 解″… = T … X …の重ね合わせ 次に 可ェ , / ) = Amnsin をつくり , 初期条件をみたすようにする・ ェ , リ , の = 人工 , の = … sin S1n 川 = 1 れ = 1 S1n 川 = 1 れ = 1 したがって , dx d リ工 , y)sin ④を③に代入したものが求める解である・ 問題 7 ー 5 [ 1 ] S1n V2 ( 1 の = ー 4 ( ェーめö朝一のー ( ) を用いる・ —Gf V2—・〆ミ 0 ( 砌 = 4 工〆 , ーめ〆 0 ーの咋ー ( ) ・〆ミ 0 ( ) 砌 " ( ( 点は , のがの外 ) ( 点 ( ェ , のがの内 ) 47tGp [ 2 ] 袒半 0 とすると , 2 ェ 2 一 1 . 1 0 ー 1 0 ー 71 0 ー 工リ 0 ー 10g ー ーー 10g ー D ェ 2 Dx 10g ー log— よって , ーー十 2 O ェ 2 0 リ 2 p = 0 の近くの様子を調べる・平面におけるグリーンの定理 DQ DP CPdx + Qdy] Ox 0 リ 工 2 十 2 十 2 ーー 10g ー 10g ー Dx を代入する・
[ 3 ] 面 DGFE ではれ = も工 = 1. したがって , ・ ndS = DGFE 面 BAOC ではれ = ーもェ = 0. したがって , BAOC 同様にして , 162 = 0 = 3. 問題解答 1 1 1 ( 3 ーリ 2j 十 2 ん ) ・滬リ = 1 3 32 2 1 ス・ ndS ・ dS = ス・れ S = 1 , E F A B ス・ dS = 0 COGD 4 ・ ndS = 0 FGOA CDEB 以上をまとめて , よって , 例題 5. 4 の 1 ) より , ( ェ 2 十 2 リ z 十 22 ー 2 ソ S = 5 3 2 ス・れ S = ー十 0 十 ( ー 1 ) 十 0 十 1 十 0 = 3 2 [ 4 ] 平面の方程式は , z=f(), の = 2 ー 2 ェー 2 リ . ゆえに , [ 1 + ( 明 D ェ ) 2 + ( 明の ) 2 ] 1 / 2 [ ェ 2 + 2 リ ( 2 ー 2 ェー 2 の + ( 2 ー 2 ェー 2 の 2 」 3 ( 5 ェ 2 ー 4 リー 8 ェ十 4 ェリ十 2 ) 3d 工 上の 2 重積分を累次積分で計算する・ ( は 3 角形 OAB) 1 3 0 問題 5 ー 3 ( 5 ェ 2 ー 4 リー 8 ェ十 4 ェ十 2 ソリエ ( ー 3 ェ 3 十 7 ェ 2 ー 4 ェソェ = 0 ー 5 / 4 [ 1 ] ( 1 ) = 5 ェッ十ェ 2 の一の , Q = ェ 5 十ェッ 2 ー 5 ェの . DP / D リ = 5 ェ 4 十 3 ェッ 2 ー 5 の = DQ / だから , 例題 5. 5 に示した定理により , 線積分の値は途中の路の選び方によらない・ ( 2 ) 途中の路の選び方によらないので , 次のようにする・ ( 0 , 1 ) から ( 3 , 1 ) までェ 軸に平行に行き ( 路 CI ) , ( 3 , 1 ) から ( 3 , 5 ) まで軸に平行に行く ( 路 C2 ). CI では 0 ミエ ミ 3 , リ = 1 , = 0 , C2 ではェ = 3 , = 0 , 1 ミミ 5 だから , 求める線積分は , 5 ー 7035 ( 5 ェ 4 十ェ 2 ー 1 ソェ十 ( 35 十 3 ツ 2 ー 15 のソ = 249 ー 7284 [ 2 ] ( 1 ) OA では 0 ミエミ可 2 , リ = 0 , = 0 だから 1 [ ( 0 ー sin ェ ) ー 3cos ェ・ 0 ] Sin 工 d 工
142 問題解答 ( 2 ) 川 = 〃ならば , sin 川ェ c 。 s 川ェ = ( 1 / 2 メ in2 川ェだから ( 1 ) と同じ・川半”のとき , 公 式 sin 襯ェ cos れェ = ( 1 / 2 in ( 川 + のェ + sin ( 川一のェ ] を使って , S1n 2 工 COS 〃工エ 1 1 2 1 2 襯十〃 ( 3 ) 川 = 〃ならば , sin2 川ェ = ( 1 / 2X1 —cos 2 川ェ ) より , 1 1 2 応 1 sin2m.rdx Sin 2 ア〃工 2 2 川半〃ならば , sin 襯ェ sin = ( 1 / 2 ) [ c 。 s ( 川一のエー c 。 s ( 襯 + のェ ] だから , ( 1 ) と同じ・ ( 4 ) 川 = 〃ならば , c 。 s2 襯ェ = ( 1 / 2X1 + cos 2 川のより , 1 COS2 2 工 d 工 工十ー-ーー・ Sin 2 ? 〃工 2 川 半〃ならば , c 。 s 川ェ c 。 s = ( 1 / 2 な。 s ( 襯ーのェ + c 。 s ( 襯 + のェ ] だから , ( 1 ) と同じ・ [ 3 ] ( 1 ) 定義 cosh ェ = ( 〆 + ーっ / 2 , sinh ェ = ( 〆ー召ー , ) / 2 より , cosh2x—sinh2x=(e2x + 2 + e ー 2 ' ) / 4 —(e 2 ' ー 2 + e ー 2 つ / 4 = 1. ( 2 ) sinh ェ cosh 十 cosh ェ sinh = ( 1 / 2X 〆ー e ーっ・ ( 1 / 2X 〆 + e ーっ + ( 1 / 2X 〆 + e ーっ・ ( 1 / 2X 〆 ーっ = ( 1 / 2X 〆 + Y つ = sinh(x + の . ( 3 ) cosh ェ cosh リ + sinh ェ sinh リ = ( 1 / 2X 〆 + ) ・ ( 1 / 2Xey + e つ + ( 1 / 2X 〆ー e ーっ・ ( 1 / 2X 〆ー = ( 1 / 2X 〆 + Y + cosh(x + の . ( 4 ) y=sinh-lx とおく・ x=sinhy=(1/2Xey—e-y) だから , 召 2 ェ〆ー 1 = 0. これを解いて , 〆 > 0 を考慮すると , 〆 = ェ + ェ 2 + 1 . すなわち , = 1 。 g ( 工 ーみ 2 , 2 / 2 はすべてのェで正 . ェ = 0 で極大 , ェ = 士 1 / わで変曲点朝〃の符 号が変わる点 ) をもっ ( 下図 ( 1 ) ). ( 2 ) リ = 0 となる点は , ー = 0 , 士 1 / 2 , 士 1 , ・ sin 2 ー = 1 となる一 = 1 / 4 + 川 ( 襯は整数 ) で = 召ーり 2 , sin 2 = ー 1 となる 3 / 4 + 川 ( 襯は整数 ) でリ = ー e ーり 2. よって , 2 つの曲線士リ 2 の間を振動し , それらの点で接する・極値を とる点は , / = 0 , tan 2 = 4 なより決まる ( 下図 ( 2 ) ) ・ 2 だ 1 問題解答 1 COS(m 0 1 2 襯 1 2 2 0 ーレ 2 0 ー″ 2 1 / 6 O ー 1 / 6 ( 2 ) ( 1 )