次 7 ー 4 2 次元波動方程式・ 7 ー 5 ラブラス方程式とボアソン方程式・ 行列式の他の定義 12 コーヒーブレイク 索引 問題解答 目 ・ 154 ・リ 7 ・ 141 ・ 181 71 XI 現代解析学の父 ランダウの記号 現代数学の王様 フーリエ 104 関数を超える ! ) 7 64 82 121 場 , 農業 , 体 140 ワンポイント 複素数の極形式 全微分 11 自由べクトルと 東縛べクトル 単位べクトル 行列の積 22 テンソルの縮約 8 39 1 ) 3 次元極座標 渦なしの場と 変数分離形 初期値問題 空間曲線 ) 6 68 発散のない場 78 平面におけるグリーンの定理 と他の積分定理 96 1 周積分の記号 101 フーリエ級数の収束性 114 重ね合わせの原理 126 楽器の音色 130 初期条件 133

96 5 多重積分 , 線積分 , 面積分と積分定理 [ 1 ] 始点を ( 0 , 1 ) , 終点を ( 3 , 5 ) とする曲線 c に対して , 線積分 ( 1 ) 線積分の値は , 途中の路の選び方によらない を考える ( 右図 ) ・ [ ( 5 ェ 4 リ十工 2 ゲーのソ工十 ( ェ 5 十ェッ 2 ー 5 ェのソの ことを示せ・ ( 2 ) 線積分の値を求めよ・ [ 2 ] 右図の 3 角形 ABO を , 時計と逆回りに一周 する路を c とする・線積分 C(2y—sin ェソェー 3 cos ェ ] を , 次の 2 つの方法で計算せよ・ ( 1 ) 線積分を実際に評価する・ ( 2 ) 平面におけるグリーンの定理を用いる・ [ 3 ] 2 次元平面の領域とそれを囲む曲線 c に対 ( 0 , 1 ) 3 0 ( 3 , 5 ) A / 2 , の B ( / 2 , 1 ) して , 平面のグリーンの定理から ・れホ ▽・ス dR を導け・こで , s は曲線 c に沿った弧の長さ , れは曲線 c の単位法線べクトル ( 外向 き ) である・この公式を , 3 次元体積 v とそれを囲む曲面 s に拡張したものが , ガウス の定理ス・れゐ = V ・ d である・ i ◎冗 3 P@0 冗セ - ーー平面におけるグリーンの定理と他の積分定理 ! んと書ける・これを一般化したものがストークスの定理 ( 5 ー 5 節 ) である・ま、 i ( ▽ x ) ー DP / D リ . したがって , 平面におけるグリーンの定理は , ス・ = ース = 2 ~ + Qj , r = + 万とおくと , + Q = ス・ . また , (VxA) ・ k=OQ/Ox ミ 平面におけるグリーンの定理を , べクトル記号を使って書くと次のようになる靆 i た , ガウスの定理 ( 5 ー 4 節 ) の 2 次元版ともみなせる ( 問題 5 ー 3 , 問 [ 3 ] ).

5 ー 4 ガウスの定理 5 ー 4 ガウスの定理 97 ガウスの定理体積を囲む閉曲面 ( 境界 ) を s とする ( 図 5 ー 5 ) . s の内部か ら外部に向かう単位法線べクトルをで表わす . このとき , べクトル関数 , のに対して , 員•ndS = ▽・」 d ( 5.15 ) が成り立っ . 面積分と体積積分を関係づける , この積分定理をガウスの定理ま たは発散定理という . ガウスの積分 トルを r とする . dS 図 5 ー 5 閉曲面 s があるとき , s 上の点の原点 O に対する位置べク つぎの面積分をガウスの積分という . ( 原点 O が曲面 s の外 ) ( 5.16 ) 4 ( 原点 O が曲面 s の内 ) 発散の物理的意味微小体積」とその表面」 s に対するガウスの定理より , ▽・ = lim 皿→ 0 」 1 員•ndS ( 5. 17 ) åS この式の右辺は , 表面」 s から流れ出る ( 単位体積当りの ) べクトルの流束を表 わす . V ・がある点 P のまわりで正ならば , そこから流れ出す流束は正であ り , 点 P をわき出しという . 同様に , ▽・員が負ならば , 吸い込みという .

100 5 多重積分 , 線積分 , 面積分と積分定理 5 ー 5 ストークスの定理 ストークスの定理閉曲線 c を周とする曲面を s, 面 s での単位法線べクト ルをれとする . べクトル関数 ( ェ , 2 ) に対して , ( ▽ x 川・ s = 0 であるための必要十分条件は , ▽ x = 0. 1 ) すべての閉曲線 c に対して , から , 次のことが示される . 保存力とポテンシャルストークスの定理 この積分定理をストークスの定理という . が成り立っ . 線積分と面積分を関係づける , ( 5.18 ) 図 5 ー 6 2 ) ▽ x = 0 であるための必要十分条件は , = ▽ U. 上の結果の力学における意味 . 仕事・が途中の路 c に依存しないため の必要十分条件は , カが▽ x = 0 をみたすことである . このとき , を保 存力という . 保存カは , = ー▽のと書ける . 関数〆ェ , のを力のポテン シャルという . 回転の物理的意味ストークスの定理 ( 5.18 ) を微小面積」 s ( その周」 c ) に適 用すれば , 4 ・ dr= ( ▽ x 員 ) ・れ」 S よって 1 れ・ ( ▽ x ) = lim ・イ r ぉ→ 0 JS øc ( 5.19 ) 線積分お = 員・は , ( ェ , 2 ) の c に沿った循環または渦量とよばれ , べ クトルがどれだけ渦状 ( 回転的 ) であるかを表わしている . また , ( 5.16 ) を ▽ x の定義とみなしてもよい・

7 ー 5 ラブラス方程式とボアソン方程式 7 ー 5 ラブラス方程式とボアソン方程式 グリーンの定理ガウスの定理 員・れ S 1 ろ 7 ( 7. 21 ) において , 員 = のとおく . 公式 ( 4 ー 5 節 ) より , V ・ ( の▽の = 2 + ( ▽の・ ( ▽の . また , 閉曲面 s の法線方向に対する方向微分係数を / と書けば , よって , ( 7.21 ) より ( 7. 22 ) ( 7.22 ) でのとを入れ換えた式をつくり , ( 7.22 ) からその式を引くと , ( の▽ 2 一▽ 2 の d = ( 7.22 ) と ( 7.23 ) をグリーンの定理という . ( 7.23 ) グリーンの公式領域内の動点 Q と , ある点 P の位置べクトルを , それ それ rQ,rp とする . グリーンの定理 ( 7.23 ) において , = 1 伝 = ケ Q ー r 司とお 1 1 ( 7.24 ) Dn ( 7.24 ) での徴分や積分は動点 Q に関するものであることに注意 . 左辺の第 1 項の積分を , 公式 V2(1/lrQ—rpl)=—4zö(rQ—rp) を使って評価する . 点 P が V の外部にあれば , ( 7.24 ) より 1 ー▽ 2 d 十 1 一方 , 点 P が v の内部にあれば , ( 7.24 ) より , dS dS ( 7.25 ) ( 7.26 ) 1 —V24dV 十 ( 7.25 ) と ( 7.26 ) をグリーンの公式という . 47té(rp) = 1

索引 ア行 1 次従属 15 , 26 , 50 1 次独立 15 , 26 , 50 1 階常徴分方程式 44 の完全形 45 の変数分離形 44 一般解 124 渦なしの場 78 100 渦量 れ階微分方程式 44 ノト共役行列 5- ノレ 22 の定理 ガウス分布 ガウス平面 拡散方程式 181 97 120 6 131 角速度べクトル 重ね合わせの原理 126 慣性主軸 150 72 ミット行列 ユ - ノレ オイラーの公式 解 カ 124 の基本系 階数の引き下げ 22 7 彳丁 50 49 外積 →べクトル積 慣性テンソル 慣性モーメント 完全形 45 規格化べクトル 奇関数 110 基準角振動数 基準座標 61 基底べクトル 基本解 50 基本べクトル 逆行列 26 共振 59 境界値問題 逆三角関数 共鳴 行べクトル 強制振動 59 61 42 88 17 15 124 3 回転 75 回転座標系 ガウス の積分 72 97

164 問題解答 同様にして , ・れ S = BCDE 1 0 1 0 1 ス・ dS = 0 , GFED ・ ndS 1 1 6 0 0 ・ dS = 0 , CDGO 1 ス・ ndS = 用いて , よって , 面積分は直接計算により , OAFG ス・ ndS = 0 OABC 1 / 3 ー 1 / 3 + 6 + 0 + 0 + 0 = 6. 一方 , ガウスの定理を 1 1 1 dx dy dz 朝 2 ー 22 十 12 の = ー十 6 = 6 0 よって , ガウスの定理は成り立っている・ 3 0 0 [ 2 ] ( 2 ) [ 3 ] ( 2 ) 5 ( 1 ) ス・れお = V ・ AdV= 朝 + わ + c ソ = ( 4 " 03 / 3X な + わ + c ) ・ 3 3 3 ・れ S = ( 3 ェ 2 十ェ 2 十 1 ソ = ( 4 ェ 2 十 1 ) = 324 十 27 = 351. ( ▽ x A)•ndS= ( 1 ) ▽・Ⅳ x ソ = 0 0 0d = 0. 0 c を任意な一定べクトルとして , ス = c+ とおく・ガウスの定理により , ▽ c ソ = こで , ▽・ ( ) = Ⅳの・ c を左辺に用いて・ C ・ ところが , c は任意であるから , ▽の d ー VédV= ndS = 5 ( の c ) ・祠 s 4ndS のれ dS. ( ▽ 1 ソ / = ( 4 ) [ 4 ] ( 3 ) ( 2 ) の公式で = 1 とおく・ 0d = 0. 微分公式▽・ ( ) = V4 ・ + V ・とガウスの定理を使って , ス・ V d = のス・ ndS ー の▽・ d の V ・ス 物体内に任意の領域をとり , それを囲む閉曲面 ( 境界 ) を s とする . 内にた くわえられる熱量の時間変化は ,

ー 1 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 多重積分 , 線積分 , 面積分と積分定理 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 ー ー 2 ー 3 ー 4 ー 5 ー 5 ー 4 ー 3 ー 2 ー 1 ー 5 ー 4 ー 3 -2 ー 1 目次 定数係数の 2 階線形徴分方程式・ 2 階徴分方程式・ 常徴分方程式と 1 階微分方程式・ 振動・ 連成振動・ べクトルの微分とべクトル微分演算子 運動座標系・ 2 次元 ( 平面 ) 極座標・ べクトルの徴分・ べクトル場とべクトル演算子・ 公式と応用・ ストークスの定理・ ガウスの定理・ 平面におけるグリーンの定理・ 線積分と面積分・ 多重積分・ フーリエ級数とフーリエ積分 ー 1 フーリエ級数・ ー 3 フーリエ積分・ ー 2 フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数・ 偏微分方程式 6 ー 4 デイラックのデルタ関数・ ー 1 2 3 偏微分方程式・ 1 次元波動方程式・ 1 次元熱伝導方程式・ 44 49 54 う 8 61 65 66 69 72 79 83 84 89 94 97 ・ 100 ・ 105 ・ 106 ・ 110 ・ 115 ・ 118 ・ 123 ・ 124 ・ 127 ・ 151

7 1 ー 2 複素数 例題 1 ・ 2 1 ) 指数関数のベキ級数展開 = 1 十一一十一一十一一一十・・ れ = 0 〃 . を複素数に拡張することにより , オイラーの公式 COS 0 十 ~ sin 0 e を証明せよ・ 2 ) オイラーの公式を使って , ド・モアブルの定理 cos 〃 0 十一 sin 〃 0 = (COS 0 十 ~ sin 0 ) " を示せ・ ド・モアブルの定理を用いて , 1 ー 2 sin20, cos 2 り 2 cos2 り一 1 4 COS30 ー 3 cos 0 , cos 30 を示せ・ 3 sin 2 〃 = 2 sin り cos 0 sin 3 〃 3 sin 0 ー 4 sin30 1 ) 指数関数〆のベキ級数展開を純虚数ェ = に拡張して , [ 解 ] 0 の 3 ( 辺 ) 2 朝の 5 1 十一一十 十 0 の 4 十 十 02 04 十 cos 0 十一 sin 0 2 ) オイラーの公式より , COS れ 0 十一 Sin 〃 0 一方 , = c 。 s0 + な inO の両辺をれ乗して , i ”タ = (cos 0 + isin の " ( 1 ) と②より , ド・モアブルの定理を得る・ ド・モアフ・ルの定理で〃 = 2 とおく・ cos 2 〃十 ~ sin 20 = (cos 〃十 ~ sin の 2 = ( COS20 ー sin2 の十幻 sin 0 cos 0 実部と虚部をそれそれ等しいとおいて , COS20 = COS20 ー sin20 = 2c 。 S20 ー 1 = 1 ー 2sin20 , sin 20 = 2 sin 0 cos 0. 同様に , ド・モアプルの定理で〃 = 3 とおくと , cos 3 〃十 ~ sin 30 = (cos 0 十 ~ sin の 3 cos3 り一 3 cos 0 sin20 + i(3 COS20 sin O—sin3 の よって , cos 30 = COS30 ー 3 cos 0 ( 1 ー cos2 の = 4 COS30 ー 3 cos 0 , sin 30 = 3 ( 1 —sin2 の sin 〃ー sin30 = 3 sin 0 ー 4 sin30. 03 十 ( 1 ) ( 2 )

多重積分 , 線積分 , 面積分と積分定理 第 4 章では , ペクトル場の微分法について学んだ . この章の中心は , ペクトル場の積分法である . 多重 積分 , 線積分 , 面積分など , いろいろな種類の積分 が登場する . もし分からなくなったら , 「積分は積和 の極限」という基本精神に戻るとよい . 勾配 , 発散 , 回転なども , 積分定理とともに考えると , いっそう 理解しやすくなるはずである .