2 ー 4 行列式 行列式れ次の正方行列ス = ( 丐 D に対して , 〃 11 421 4 れ 1 な 12 な 22 4 れ 2 な 1 れ 42 ” で表わされる数を導入し , 次の行列式とよぶ . スの行列式を , ー川と書く . 次の行列式はれ一 1 次の行列式を使って定義される . ( 12 ペ の々の小行列式といい , M. とかく . また , 小行列式々に ( ー以 + 々をかけたも 定義を紹介した . ) 行列式のからノ行ん列を除いて得られるれ一 1 次の行列式を 2 ー 4 行列式 ージでは , 他の det または ( 2.6 ) のをの余因子といい , Cjk とかく . 定義より , Cjk = ( ー 1 ア + 々 M 余因子 c を使って , れ次の行列式 ( 2.6 ) は , D = 丐 IC れ十丐 2q2 十・・・十の C ・ プれプれ 0 = 1 , 2 , ・ ( ん = 1 , 2 , ・ ( 2.7 ) ( 2. 8 ) のん CI ん十の々 C2 々十・・・十な C この表式をラブラス展開という . と定義される . 行列式の性質 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 行と列を交換しても行列式は変わらない : い町 = いし 任意の 2 行 ( または 2 列 ) を交換すると , 行列式は符号だけ変わる . ある行 ( または列 ) の要素がすべて 0 ならば , 行列式は 0 である . どの行で展開しても , どの列で展開しても行列式は変わらない . 2 つの行 ( または列 ) の対応する要素が比例しているならば , 行列式は 0 1 つの行 ( または列 ) の各要素を 4 倍すれば , 行列式もな倍になる . である . 7 ) 任意の行 ( または列 ) のすべての要素に同じ数をかけて , これを他の行
180 問題解答 天ェ 2 工 = P cos = P sin とおし 2 応 10g ー Dy2 、て , 半径袒の円周上で右辺の線積分を計算する・ P sin の 右辺 = 0 よって , 袒 cos の (—Psin4dé)— D ェ 2 Dy2 O ェ 2 0 リ 2 ー 2 な log—・ 7 [ 3 ] ( 1 ) = —ßds, = ( 右図参照 ). だから , ( / D ェ 2 + D2 / の 2 ) 1 。 1 / の = ー 2 ( ェ ) 〆の . これを平面におけるグリーンの公式に代入して , ▽ 2 =(D/Dx)i + (D/Dy)j. ( 2 ) 上の式で , = のお = のととる . { 血ー既ー田 s ) } Ox Oy DA OB ( 血 + 卵 ・ P cos ( p 半の ー 2 な (—ßds,ads) P dx Q 0 の化 + 日 = ( ▽ 2 の・れ = のれ・▽ 2 = ー を使って , { + ( ▽ 2 の・ ( ▽ 2 の } 上の式でのとを入れかえた式をつくり , 上の式からその式を引くと , 証明すべき式 を得る・ ( 3 ) = 1 。 1 / のとおく . ▽ 2 = —2Zö(rp—rO. ( 2 ) で示した式に , これらを代入する . rQ = ( ェ , の . { を ( ー 2 な双 rp ー (Q)} ー 10g ー・▽ 22 D 1 一一 10g ーー 10g ー 上の式の左辺の第 1 項は , ー 2 な rp ) であり , 書き直すと , 証明すべき式を得る .
27 2 ー 4 行列式 例題 2 ・ 4 2 次 , 3 次の正方行列に対する行列式のの表式を求めよ・また , の半 0 と して , 逆行列亠 1 の表式を求めよ・ [ 解 ] まず , 2 次の行列式 1 2 小行列式と余因子の定義より , について . C11 = ( ー 1 ) 1 + いム 1 = な 22 , C21 = ( ー 1 ) 2 + 14 21 12 , よって , ( 2. 7 ) でノ = 1 とおき ( 第 1 行についての展開 ) D = な 11C11 十な C = なな 逆行列は , D 半 0 として , ( 2. 1 のより , 1 C11 C21 の C12 C22 2 2 C12 = ( ー 1 ) 1 + 2M12 C22 な 1 ー・な 12 な 21 12 12 1 1 22 1 の 1 2 2 2 21 次に , 3 次の行列式 な 21 について・小行列式と余因子の定義から , C11 = ユ 1 1 3 2 3 2 2 3 2 31 な 23 な 32 な 33 な 21 な 23 住 31 な 33 C13 = 43 な 31 な 32 よって , ( 2. 7 ) でノ = 1 とおき ( 第 1 行についての展開 ) D = な 11C11 十な 12C12 十 3C13 な 31 な 33 3 2 3 3 な 11 〃 22 な 33 十な 12 な 23 な 31 十ななな な 11 な 23 な 32 13 21 3 2 逆行列は , 刀半 0 として , ( 2. 1 のより , な 12 な 13 2 2 1 3 1 2 C31 = 31 21 3 3 3 2 23 2 2 な 21 な 23 1 3 11 C22 = 」イ 22 12 1 2 3 2 3 2 33 31 2 2 12 11 12 C33 = 4 33 2 3 2 3 3 2 2 2 21 2 2 2 2 十な 1 3 2 な 12 な 21 な 33 ーな 13 な 22 な 31 3 2 12 2 2 3 3 23
148 問題解答 ー 1 / T レ = 0 0 ( 2 ) Q=XTAX, xT = ( ェ 1 , ェ 2 , ェ 3 ) よって , x = Y と変数変換して , ーリ 12 十 22 十 2 32. [ 3 ] ( 1 ) 固有値は一 3 , 5. 対する長さ 1 の固有べクトルは , Q=YTMY= 1 1 2 十ツ = 0. こと 2 2V 丁 1 Xit ③ . 固有値ス , は実数 ( ( 1 ) の結果 ) , を用いた・②式の左から Xit をかけた式と , ③式 ミット共役は Xi ↑ = X ド = ん * X ド = ん . ( 3 ) Xi. = ス , 善① , x 广ん x / ② . ①式のエル 固有値方程式の定義から , xtX*0. よって , 2 = 1. 固有値の絶対値は 1 である . AX=Xt1X=XtX. 一方 , (AX)tAX=(A*Xt)AX= 2X す x. よって , ( 内 2 ー l)xtx= 0. の証明は直交行列に対しても成り立っ . AX=IX, xtAt=1*Xt より , (AX)tAX=XtAt は実数・ ( 2 ) ュ = タリー行列い = わで , 成分が実数のものが直交行列だから , 以下 ( スース * ) x 既 = 0. 固有値方程式の定義から x 半 0 , xtx= ェ . * ェ . 半 0. よって , ス * = ス , ス =1*Xt ② . ①式の左から xt をかけた式から , ②式の右から x をかけた式を引くと , ミット共役は X ↑ の証明は実対称行列に対しても成り立っ . AX=IX ① . ①式のエル [ 4 ] ( 1 ) ェルミット行列 ( = ①で , 成分が実数のものが実対称行列だから , 以下 X ↑ = ( ェ 1 * , 工 2 ) よって , X=VY と変数変換して , Q=YtMY= ー 3 リ 1 つ 1 + 5 の * リ 2. = ノ . ( 2 ) Q=XtAX, 行列 /=@1 , リ 2 ) を作り , いを計算すると , い [ 1 ] 直交単位べクトルを el = れ e2=J, e3 = ん , el ′ = ′ , e{=J, e3 ' = ん′とかく 問題 2 ー 7 の右から X ノをかけた式を比べて , ( ん一ん ) x x , = 0. よって , ん半んならば , Xitx,. にする . el'=e{xe( より , な 11e1 十な 12e2 十な 13e3 e2 ′ X e3 21 e 】 , % e3 の係数を等しいとおいて , な 32 2 2 33 な 33 23 13 22 33 12 3 2 同様にして , e{=e(xel', 4 = er'xe / より , 他の式を得る・次に , 4 ・ ( e2 ′ xe3 ′ ) を考 える . el ′・ ( e2 ′ xe3' ) = el / ・ = 1. 一方 ( 問題 2 ー 4 , 問 [ 5 ] と同じ計算 ) ,
29 2 ー 4 行列式 0 ー 0 1 0 0 1 0 0 67 0 0 1 十算間違いは誰でもするのだから , 検算をする習慣 ( 特に逆行列等の計算では ) を身につ けたし、 . TO err is human, to forgive divine. 1 「う題 2 ー 4 Ⅲ日日日日日日日ⅡⅱⅡⅢⅢ日日日日日日Ⅲ日ⅢⅢ日 [ 1 ] 次の行列の行列式と逆行列を求めよ・ 3 [ 2 ] 次の行列式を計算せよ・ 4 ー CO っ -1 00 4 ーワ 3 ( 2 ) ( 1 ) っ・ 4 L.0 00 CO 1 ワワ 1 っ 4 1 CO CO 1 宀ワワ -4 1 人一 4 CO ワ 1 8 ( 2 ) ( 1 ) 1 十ェ 1 -1 1 1 1 1 1 7 ー tO 2 1 1 ( 3 ) 2 1 十ェ 4 [ 3 ] 次の行列で , 逆行列が存在するならば , それを求めよ・ 1 2 3 4 5 6 2 3 2 2 4 3 7 8 9 [ 4 ] 次のことを示せ・ ( 1 ) 直交行列の行列式は 1 または一 1 である・ ( 2 ) 直交行列の積は直交行列である・ ュニタリー行列の行列式は絶対値 1 である・ ( 3 ) ュニタリー行列の積はユニタリー行列である・ ( 4 ) べクトル積お xC とスカラー 3 重積ス・ ( xC ) を行列式を使って表わせ・ [ 5 ] 1 十ェ 2 1 -1 1 ( 4 ) 1 十工 3 1 1 1 ( 2 )
147 ( 2 ) D=O, DI = 16 半 0 , D2 = 80 半 0 , の 3 = 144 半 0. よって , 解はない ( 本文の分類 4 ) ). 実際 , 3 番目の式から , 2 番目の式を 3 倍したものを引くと , 4 ェ 1 + 10 ェ 2 ー 6 ェ 3 = ( 3 ) D=O, の 1 = の 2 = の 3 = 0. よって , れは , 1 番目の式 2 ェ 1 + 5 ェ 2 ー 3 ェ 3 = 3 と両立しない・ 無限個の解が存在する・エ 3 = 〆なは任意 ) とすれば , ェ 1 = ( 16 + の / 9 , も = ( ー 1 + 5 の / 9. [ 3 ] 係数から作られる行列式は , ヴァンデルモンドの行列式とよばれる ( 問題 2 ー 4 , 問 [ 2 ] の ( 3 ) ). D=(a—bXb—cXc—a). また , 各列に ( 1 , 必卍 ) T を入れた行列式もヴァン デルモンド行列式であり , DI=(d-bXb—cXc-d), D2=(a-dXd-cXc—a)' の 3 = ( なーの (b-dXd—a). よって , ( わー dXc- の ( わー c ー 10. 2 ( d ーわ嗣ーの ( ←わ X ←の ()- な X ←の ( わーな Xc ーの ' 問題 2 ー 6 [ 1 ] 固有値方程式 x = ス x において , 固有べクトルの定数倍 cx もまた固有べクト ( 1 ) 固有値は 1 , 4 で , それに対応す ルである・以下では , この任意性を考慮しない・ 1 ( 2 ) 固有値はな + 訪 , なー五対応する固有べクトル る固有べクトルは , 1 わ = 0 ならば , 任意のべクトル X* 0 は固有べクトル . ( 3 ) 固有値は は , 1 2 + V プ , 2 ーー 2 ー . 対応する固有べクトルは , . ( 4 ) 固 ( 1 + わ / V プ 2 . ( 5 ) 固有値は , ス 1 = 5 , 有値は 1 , 4 , 6. 対応する固有べクトルは , 0 1 1 2 2 1 71 0 ワ】 0 11 0 ー 3 に対する固有 ー 3. ス 1 = 5 に対する固有べクトルは , XI = もとして , ェ 1 + 2 ェ 2 ー 3 ェ 3 = 0 より決まる . この解は , を任意の べクトルは , X= よって , ー 3 に対する固有べクトルは , 数として , 工 1 = ー 2C2 十 3C3 , ェ 2 = C2 , 工 3 C3 ・ 3 1 十 0 で , 例えば 1 0 0 1 これらに対する長さ 1 の固有べクトル与与 [ 2 ] ( 1 ) 行列の固有値は一 1 , 1 , 2. リ 3 を求めると , = 3 0 1 1 1 1 11 ・ 1 0 1 2 いを計算すると 行列 =@1 , 与朝を作り , 1 1 っ 1 1 3 6
= @1 , ど 2 , 固有値方程式 をつくる・ より , だから , 2 ー 6 行列の固有値と行列の対角化 例題 2.7 実対称行列 =@D が相異なる固有値ス 1 , ス 2 , ・ , んを持っとき , 固有べク レ = 協 4 , トルリ々から作られる直交行列によって対角化されることを示せ・ [ 解 ] 固有べクトルを横に並べて , 行列 スんリ々 なこり々 1 2 2 2 れ 2 0 ( ん = 1 , 2 21 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 行列は をみたす・ 0 0 ノ 4 = ( 4 ) の転置を考えると , ん半ス々 0 半めと仮定したので , ( 6 ) より , に巧ノ々 = い巧” 得る・この式の両辺の 0 , 々 ) 成分は , ( 4 ) の左からいをかけた式と , ( 5 ) の右からをかけた式を比べて , レ T = VT い巧 T = い 4 ( ロ ) T = いであるから , まず , は直交行列にとれることを示す・ ( い巧” 0 半々 ) ( 4 ) VT 4 = レ T を ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) AT = , ( 6 ) でノ = 々としたものは単なる恒等式である・したがって , 行列いの対角要素 ( に巧 = ( 妬 ) 2 は任意であり 0 にならないから , 大きさを 1 に選ぶことができる・ よって , ( 7 ) と ( 8 ) より , したがって , ( い巧ヵ 0 = 1 , 2 , ・ ( 8 ) い = ムすなわちは直交行列である・ ( 4 ) の左からいをかけると ,
12 ー 1 , 1 基本的な知識 CO. 方′ ,a ん 行列式の他の定義 順列 ( 1 , 2 , ・・ , のに偶数回の互換をして得られる順列 ( カ 1 ゆ 2 , ・・ゆ n) を偶 順列 , 奇数回の互換をして得られる ( 煽カ 2 , ・・ , カ n) を奇順列という . 符号 6 ( カ 1 カ 2 ・・や n) は , ( カ 1 , カ 2 , ・・ゆ n) が偶順列のとき + 1 , 奇順列のとき一 1 をとるも のとする・例えば , ( 12 ) は偶順列 , ( 21 ) は奇順列であるから , 6 ( 12 ) = 1 , e ( 21 ) ” 1 カ 1 2 カ 2 すべての順列 の = 咆 1 カ 2 ・・・カンな このような準備のもとに , 〃次正方行列 = ( 丐 k) の行列式 D は , 全部で卍個の項がある・この定義に従って , 実際に 2 x 2 行列と 3 x 3 行列 ( ~ と定義される・和は , { 1 , 2 , ・・ , 司のすべての可能な順列についてであり , の行列式を書いてみよう . = 2 の場合 6 ( 213 ) = ( 321 ) = ( 132 ) = = e ( 12 ン 11 な 22 十 e ( 21 ) な な 11 な 22 12 な 21 12 21 = 3 の場合 : 順列 ( カ 1 ゆ 2 ゆ 3 ) は 6 個あって , e ( 123 ) = 6 ( 231 ) = 6 ( 312 ) ー ー 1 ・ な 31 な 32 2 2 な 33 よって , = e ( 123 ン 11 な 22 な 33 十 e ( 231 ンなな 十 6 ( 312 ン 13 な 21 な 32 十 6 ( 213 ン 12 な 21 な 33 十 ( 132 11 な 23 な 32 十 e ( 321 ) な 13 な 22 な 31 な 11 な 22 な 33 - トな 12 な 23 な 31 ヨ - な 13 な 21 な 32 12 21 33 ーななな ーな 13 な 22 な 31 1 1 23 32 12 23 31 行列式を考えだしたのはライプニノッ (). 、Ä,7. Leibnitz, 1646 ー 1716 ) である . のであるが , 1693 年ロヒ。タルに宛て 日本の関孝和 ( 1642 ごろー 1708 ) がそれ このことは , 外国の人名辞典 にも述べられている・ 以前に行列式を発見していたのは確からしい . た手紙のなかにはじめてあらわれた・ 彼は連立方程式の解法から思いついた
7 ー 5 ラブラス方程式とボアソン方程式 1 ろ 9 Ⅲ ll ⅢⅢ日Ⅲ日日ⅢⅢ日日ⅱⅱⅢーロ で与えられる・この表式を用いて , の外部ではラフ。ラス方程式 V2 の = 0 , 内部ではボア ンシャル〆ェ , 2 ) は , G を重力定数として , [ 1 ] 密度〆ェ , リ , のの物体が領域に分布している・この物体がっくる万有引力ポテ [ 2 ] 次の式を示せ・ p = ェ 2 + リ 2 とする・ ソン方程式 V2 の = 4 な GP をみたすことを示せ・ D ェ 2 ( 1 ) 平面におけるグリーンの定理 DA Dx [ 3 ] dxdy DB いー召 ) ー 2 ( ェ ) 〆の は , 閉曲線 c 上の単位法線べクトルれ = ( のと , 弧に沿って測った長さ s を用いると , OA DB dxdy Dx Oy となることを示せ・ ( 2 ) 上の ( 1 ) 式から , 次の式を示せ・ 砂▽ 22 ー▽ 22 の } = ただし , ▽ 22 = / D ェ 2 + 02 / D リ 2. ( 3 ) 平面領域内に点 P と動点 Q をとり , わす・袒 = ケ Q ー r とおく・ ( 1 ) それそれの位置べクトルを rQ で表 Dn い。 + 卵 é(rp) = 1 1 1 2 な 2 V22 を 10g ー十 1 p Dn log— 1 ーを一一 10g ー Dn を示せ ( 注意 : 微分と積分は動点 Q についてである ) ・
2 ー 5 連立 1 次方程式を解く 例題 2 ・ 6 次の連立 1 次方程式を解け・ 2 ) 3 ェ 1 ー 2 ェ 2 十 2 ェ 3 1 ) 3 ェ 1 ー 2 ェ 2 十 2 ェ 3 ェ 1 十 3 ェ 2 ー 5 ェ 3 ェ 1 十 3 ェ 2 ー 5 ェ 3 4 ェ 1 十工 2 十 2 工 3 4 ェ 1 十ェ 2 十 2 ェ 3 4 ) 工 1 十 2 工 2 十 3 ェ 3 3 ) ェ 1 十 2 ェ 2 十 3 ェ 3 4 ェ 1 十 5 ェ 2 十 6 ェ 3 4 ェ 1 十 5 ェ 2 十 6 ェ 3 7 ェ 1 十 8 ェ 2 十 9 ェ 3 7 ェ 1 十 8 も十 9 ェ 3 = 10 0 0 イ 1 [ 解 ] おのおのの連立方程式は , 行列の記号を使って , x = 召と書ける・ D=detA 1 ) クラメルの公式 ( 2.12 ) を用いる . ののた列目を列べクトル B で置き換えたもの とする・ をと書く・ ワ一 .0 っ】 ワ朝っ 0 1 、一 0 っ 0 ワ 1 00 -11 っ 0 、 1 -4 = 110 = 55 , の 1 0 ワ 3 っ 0 ワ】っ 0 1 1 よ・ 4 ワ】一 0 っ 4 -0 ワ 1 っ 0 11 -4 ・ ー 55 よって , 55 55 165 DI 110 クラメルの公式を用いる・ 2 ) 前問より , D = 55. DI = 0 同様に , D3 = 0 である・よって , ェ 1 = DI / D = 0 , ェ 2 = D2 盟 0 , ェ 3 = D3 盟 = 0 , すなわち , 自明な解ェ 1 = ェ 2 = ェ 3 = 0 たけが解である・ 1 2 3 3 ) の = 4 5 6 7 8 9 = 0 , お = 0 であるから , 自明な解以外に無限個の解が存在する ( 分類 3 ) ) ・この連立方 程式で , 2 番目の式を 2 倍したものから 1 番目の式を引くと , 3 番目の式を得る・すな わち , 独立な式は 2 っしかない・可能な解は , ェ 3 = な @ は任意 ) とおけば , ェ 1 = な , 工 2 = ー 2 な . 55 55 CO イ 1 44 ワ 1 つ 71