4 ー 4 べクトル場とべクトル演算子 4 ー 4 べクトル場とべクトル演算子 7 う べクトル場空間の各点 ( ェ , 鰺 2 ) に , スカラー関数べクトル関数を指 定するとき , スカラー場ェ , 鰺 2 ) , べクトル場員 0 , 鰺 2 ) が与えられたという . 〆ェ , の , 員 ( ェ , リ , 2 ) を略して , の , のと書くこともある・ ナプラ演算子偏微分の D ェ , の , D / Dz をェ , 2 成分とするべクトル演算子▽ を , ナプラ演算子という . ▽ = i—十ノーー十一一 関数 0 , 2 ) の勾配 (gradient) は , grad の = = ¯i 十¯j 十一一た で定義される . は , 曲面ェ , 2 ) = 〃に垂直 , すなわち , ( 4. 13 ) ( 4. 12 ) ( 4. 14 ) 曲面の法線べク トルである . べクトル ( ェ , 鰺 2 ) の発散 (divergence) は , DAx DAy DAz div 4 = ▽・は = 十一 - ーー十 で定義される . 流体の各点での速度をじ 0 , 畴のとすると , ▽・じは単位時間に単 位体積から流れ出る流体量を表わす . べクトル ( ェ , 鰺 2 ) の回転 (rotation) は , rot 4 = ▽ x 4 DAy DA ェ DAz OAz DAy ( 4.15 ) で定義される . 剛体が原点を通る軸のまわりに一定角速度ので回転している ナプラ演算子を 2 回くりかえして得られる演算子 とき , 剛体内の各点の速度はじ = oxr であり , ▽ x じ = 23 である . V2=divgrad=V ・▽ をラブラスの演算子 ( ラブラシアン ) という . 十一一一十 O ェ 2 2 a22 ( 4. 16 )

べクトルの微分と べクトル微分演算子 物理現象を記述し議論するには , ペクトル量の時間 発展や空問変化を取り扱わなければならない . その ために , 微分法をベクトル関数やべクトル場に拡張 する . べクトル微分演算子とスカラー関数 , または , べクトル微分演算子とペクトル関数 , の組み合わせ によって , 勾配 , 発散 , 回転等が得られる . これら の計算に慣れるとともに 物理的イメージをしつか りとつかんでもらいたい .

4 ー 5 公式と応用 79 4 ー 5 公式と応用 べクトル微分演算子 ( ナプラ演算子 ) ▽ = ル関数である . を含んだ公式をまとめる . 以下で , 十ノーーー十ん一一 のとはスカラー関数 , 員とおはべクト ( 4. 17 ) CI] 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) [II] 10 ) 11 ) 12 ) 13 ) 14 ) 15 ) ▽・ ( 員十お ) = ▽・員十▽・お ▽ x ( 十お ) = ▽ x 4 十▽ x お ▽・ 4 ) = ( ▽の・員 + の ( ▽・川 ▽・い x お ) = お・ ( ▽ x 川一 ( ▽ x お ) ▽ x ( 川 = ( ▽の x + ▽ x 員 ) ▽ x い x お ) = 田・ V ーお ( ▽・川一い・▽ ) お + ( ▽・お ) V い・お ) = 田・ V ) 4 + い・▽ ) お + お x ( ▽ x 川 + 員 x ( Vx お ) ▽ x ( ▽の = rot(grad の = 0 ▽・ ( ▽の = ・ + の▽ ▽霾の = の▽ 2 + 2 ▽を V'I' + ▽ 2 ▽・ ( ー V の = の▽ 2 一▽ 2 の ▽・ ( ▽ xA ) = d ⅳ ( rot ) = 0 V x ( ▽ x ) = rot(rot ) = ▽ ( ▽・ ) ー▽ 2 員 上に掲げた公式は , 一度は自分で確かめておくとよい・公式の両辺は , とも 階であることに注意しよう . 特に , 1 のと 14 ) は有用である . にスカラー量であるか , ともにべクトル量である . また , CII] は微分階数が 2

ー 1 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 多重積分 , 線積分 , 面積分と積分定理 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 ー ー 2 ー 3 ー 4 ー 5 ー 5 ー 4 ー 3 ー 2 ー 1 ー 5 ー 4 ー 3 -2 ー 1 目次 定数係数の 2 階線形徴分方程式・ 2 階徴分方程式・ 常徴分方程式と 1 階微分方程式・ 振動・ 連成振動・ べクトルの微分とべクトル微分演算子 運動座標系・ 2 次元 ( 平面 ) 極座標・ べクトルの徴分・ べクトル場とべクトル演算子・ 公式と応用・ ストークスの定理・ ガウスの定理・ 平面におけるグリーンの定理・ 線積分と面積分・ 多重積分・ フーリエ級数とフーリエ積分 ー 1 フーリエ級数・ ー 3 フーリエ積分・ ー 2 フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数・ 偏微分方程式 6 ー 4 デイラックのデルタ関数・ ー 1 2 3 偏微分方程式・ 1 次元波動方程式・ 1 次元熱伝導方程式・ 44 49 54 う 8 61 65 66 69 72 79 83 84 89 94 97 ・ 100 ・ 105 ・ 106 ・ 110 ・ 115 ・ 118 ・ 123 ・ 124 ・ 127 ・ 151

戸田盛和・中嶋貞雄編 物理入門コース / 演習 全 5 巻 A 5 判上製 基礎学力が着実に向上する一一一演習によって計算力を養 うとともに , 物理の基本概念を的確に把握し , 理解を深 めることを目的とするシリーズ . 難問や特殊な問題を避 け , 実力をつけるのに役立つ新鮮な問題を精選し , 全問 に詳しい解答を付した . このシリーズによって , 確実で 豊かな学力を身につけることができる . 1 例解力学演習 2 例解電磁気学演習 3 例解量子力学演習 戸田盛和 著 204 頁 2 0 円 渡辺慎介 長岡洋介 著 236 頁 2N0 円 丹慶勝市 中嶋貞雄著 222 頁 2 円 吉岡大ニ郎 戸田盛和 4 例解熱・統計力学演習市村純 著 222 頁 2 0 円 5 例解物理数学演習・和達三樹著 200 頁 2 円 岩波書店刊 定価は表示価格に消費税が加算されます 1999 年 6 月現在

索引 フーリエ正弦変換 115 フーリエ積分 115 リエ積分公式 115 ーリエ積分表示 115 184 面積分 90 フ フ フ フ ヤコビアン ヤコビの行列式 ュニタリー行列 余因子 25 85 85 26 ーリエ変換 115 リエ余弦級数 半区間での フーリエ余弦変換 110 110 115 並進運動 べクトル 自由 束縛ーーー 72 14 , 38 フ , ラブラシアン ラフ。ラス展開 ワ行 75 25 べクトル関数 66 べクトル 3 重積 18 ラブラスの演算子 ラブラス方程式 ランダウの記号 流束 97 累次積分 85 べクトル積 べクトル場 変数分離形 変数分離法 偏微分 9 偏微分方程式 ボアソン方程式 方向微分係数 保存カ 100 ポテンシャノレ ポテンシャノレ・ 18 75 44 124 , 129 , 132 44 , 124 138 78 100 エネルギ 列べクトル 連成振動 連続 区分的に 61 75 138 64 106 30 連立 1 次方程式 50 ロンスキアン ロンスキ わき出し 一行列式 50 97 マ , ヤ行 マックスウェル方程式 81

70 4 べクトルの徴分とべクトル微分演算子 例題 4.2 平面上を運動する質点の速度べクトルの , 加速度べクトル啅 ) は , 2 次 元極座標では , む = ど ep 十リの e の , 0 = な ep 十な e と書けることを示せ・ P—Pé2, = 邱 + の [ 解 ] 2 次元極座標での単位べクトル % % と , 直角座標ェ , リでの単位べクトルれ j との関係は , coséi 十 sin4J, e ー sin の i 十 cos の j 平面上を運動する質点の位置べクトル r のは , それそれの座標系で , と表わされる・ ( 1 ) ( 2 ) 直角座標での単位べクトルは時間によって変わらないが , 2 次元極座標での単位べク トルは時間変化する , ーの cos の i ー sin j —ésin4i + écoséj=éeø したがって , 速度の p 成分を % , の成分を % とすれば , ( 2 ) 式を時間 ~ で徴分して , ( 3 ) 式を用いると , この公式を使って , 叱 ) , 〆のを 2 次元極座標系で表わす・ = vpep 十こ , e = p 十ら十 ( P の十の十 P の % 加速度べクトルを求めるために , ( 4 ) をもう一度一で徴分する . したがって , 加速度の袒成分を % , の成分を % とすれば , 0 = な ep 十な の = 邱 + 2 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )

66 4 べクトルの微分とべクトル微分演算子 4 ー 1 べクトルの微分 べクトル関数とその微分べクトルが変数ーの関数であるとき , のと書 き , べクトル関数とよぶ . 員ののに関する微分は , 気⑦ = 員 0 + 」の一⑦ lim 」一→ 0 ( 4. 1 ) で与えられる・高階導関数も同様に定義される . べクトル関数のを成分で 書けば員⑦ = ん ( 戊十 0 リ十⑦んで , れえんは一定なべクトルであるから , dA d エ . ス y ~ 十一一一ノ十一一をん スカラー関数 ) , べクトル関数のお 0 ) の積の微分公式は , 2 ) ( 4.2 ) お員 3 ) 運動の記述 ( 運動学 ) 曲線 c 上のある点か ら測った弧の長さを s とする . 点 P の位置べ クトルは r(s) で与えられる ( 図 4 ー 1 ) . このと き , t(s)=dr(s)/ds は , 曲線の点 P における単 位接線べクトルとなる . また , 曲線 PQ は , Q が P に十分近ければ円の一部とみなせる ので , その中心 M を曲率中心 , ん = / を r(s) 図 4 ー 1 曲率 , p = 1 / んを曲率半径という . 置 / ホと同じ向きの単位べクトルをとすれ d0 dt 1 であり , を曲線の点 P における主法線べクトルという .

~ Co. 冰 121 関数を超える ! イギリスの理論物理学者デイラック (). A. Dirac, 1902 ー 84 ) は , 量子力学 を定式化する際に , デルタ関数 ( 6 ー 4 節 ) を考案した . クロネッカーのデルタ 記号を連続変数に拡張したものである・自然現象を素直に記述するための発 見なのだから , 「物理のための数学」そのもののような気がする・読者の皆 さんも , これは面白い , と思われているだろう・ デイラックのデルタ関数を含む一般化された関数を , 超関数 (distribution) ェゾ ( ェ沌 し , 積分 ~ 関数としよう・このような関数を「良い関数」という・良い関数ェ ) に対 2 ) は ! →でェのどんなベキよりも速く減少する , 1 ) 何回でも微分できる , という・ いま , ェ ) を びの 1 つであろう・ 義で聞き , また自分でそれを使って問題を解決するのは , 大学時代の知的喜 法や演算子法などの基礎づけに不可欠である・デイラックのデルタ関数を講 で威力を発揮している・点電荷や質点を表わすのに用いたり , グリーン関数 デルタ関数は現在 , 量子力学のみならず , 物理学や工学のいろいろな領域 数である・ なるものを「関数」と考えることにより , 関数の概念を拡張したものが超関 を与えるので超関数である・このように , 良い関数のとの積分が有限と ェ双ェ沌 = 〆 0 ) る・また , デイラックのデルタ関数 / ( ェ ) = 〆ェ ) は , 関数であれば , 上の積分は有限な値となるので , 普通の関数は超関数でもあ が有限となるような / ( ェ ) を超関数と定義する・人工 ) が多項式のような普通の

上の式の第 1 項は , 次のように書きなおせる・ 80 ・お十ん 4 べクトルの微分とべクトル微分演算子 [ 解 ] 小さな添字でべクトルの成分を表わす・ 2 ) ▽ x い x = ( お・▽込ーい・▽ + A(V ・ー既 V ・ス ) 1 ) ▽・い x = お・ ( vx スト・ ( vx 例題 4.6 次の式を証明せよ・ 1 ) 2 ) DAx D . 十 By DBz DBy DBx Ox DBz DAy DAz DBy DBx Ox = ( Vx ス ) = + ( VxA)y + ▽ (A) , ーⅣ x = ー再 ( ▽ x お ) y ー 4 ( ▽ x . V x い x 黝 = ーーい x . ーーーい x 戸 + ーーい x , ーーーい x , j O ェ OAy DAz i 十ェ OBy OBz Dx DBz DBz 第 2 項 , 第 3 項を同様にして計算し , ▽ x ( ス x み ) = ( ・▽ )( zi + yj + 4 ん ) ー ( i + Byj + 4 ん )( ▽・ス ) + ( 十十 . ん )( ▽・ ) ー ( ス・▽ )(Bzi 十 Byj 十 4 ん ) = ( ▽ー既▽・ス ) + 4 ▽田 ) ーい・▽ 3 ) Dx ・み + j 十 i ス・ 上の式のはじめの { } 内は , OA By 十一一 - 三 B. おェ十 Ox OAy DA Bx 十—!-By 十一一を OB OB OB + んス・ 十 j ・ DA 十 j