3 常徴分方程式 3 ー 3 定数係数の 2 階線形微分方程式 定数係数の 2 階同次線形方程式微分方程式 / 0 ) + 2 卿 ) + 切 ( の = 0 において , の = 工とおくと , え 2 十 2 砿十わ = 0 朝 , わは定数 ) ( 3.2 の ( 3.21 ) を得る . これを , 特性方程式という . 特性方程式の根の性質により , 徴分方程 式 ( 3.2 のの解は , 次の 3 つの場合に分類される . 1 ) 相異なる実根ス 1 , ス 2 の場合 . 叭 = 工とリ 2 = 2 工は 1 次独立な解であり , 解の基本系をつくる . 一般解は , = CI 敏工十 C2 2 工 . 2 ) 複素共役な根ス 1 = 々十〃 , ス 2 = ス 1 * = ん一〃の場合 . 叭 = が 1 工と 2 = 2 工は 1 次 独立な解であり , 解の基本系をつくる . 一般解は , = C1e(k + (l)x- ト C2e(k¯il)x 工 cos な十お塾工 sin な 3 ) 重根ス 1 = ス 2 の場合 . 特性方程式 ( 3.21 ) は , わ = な 2 のとき , 重根ス 1 = ス 2 = ー 4 を持っ . 1 次独立な解は , = 召ーと 2 = ーな工であり , 解の基本系をつく 定数係数の 2 階非同次線形方程式微分方程式 る . 一般解は , の = ( CI + 珈ーな , 朝 , わは定数 ) / / 十 2 / 十切 = / ( ェ ) の一般解は , 同次方程式 ( 3.2 のの 2 つの独立な解と 2 を使い , / 0 ン 1 工 ) = 1 十型 2 ー エ十 2 / ( ェン 2 ー 2 ー 2 ・ ただし , ( 3.22 ) ( 3. 23 )
1. 変数分離形 = 飛 ) 9 ( の 9 ( の半 0 として , 9 ( の 両辺を積分すれば , 一般解 9 ( の を得る . 9 朝 0 ) = 0 となる定数的があれば , = 的は ( 3.1 ) の解である . 2. 線形微分方程式 dx (c は任意定数 ) 44 = 0 3 常微分方程式 にして得られる解を特解という . まず , 1 階微分方程式について述べる . 般解は , 個の任意定数を含む解である . 一般解における任意定数を特別な値 微分方程式の解微分方程式をみたす関数を解という . 階微分方程式の一 しか含まないものを線形 , そうでないものを非線形とよぶ . を階微分方程式という . また , 未知関数およびその導関数について 1 次の項 微分方程式に含まれる導関数の最高階のものが階導関数であるとき , それ この章では常微分方程式だけを扱うので , 単に微分方程式とよぶことにする . 方程式では独立変数は 2 つ以上あり , 方程式に現われる導関数は偏微分になる . 方程式に分けられる . 常微分方程式では独立変数は 1 つである . 一方 , 偏微分 常微分方程式微分方程式は独立変数の数によって , 常徴分方程式と偏徴分 3 ー 1 常微分方程式と 1 階微分方程式 ( 3.1 ) ( 3.2 ) ( 3.3 ) ーー + カ 0 ン ( 3.4 ) を ( 3.3 ) の同次 ( または斉次 ) 方程式という . せいじ これに対して , ( 3.3 ) は非同 ( 3.4 )
26 2 べクトルと行列 ( または列 ) の対応する要素に加えても行列式は変わらない . 8 ) 4 おが正方行列ならば , い川 = いⅡ川 = 田Ⅱ川 . 線形独立れ次の正方行列スの行べクトル ( または列べクトル ) をの , 霍 2 , ・ としよう . detA=0 となるための必要十分条件は , 々 1 十々 2 十・・・十々れ ( 2.9 ) となるような , 少なくとも 1 つが 0 でない定数んん ・ , が存在することで ある . 条件 ( 2. 9 ) が成り立っとき , べクトル巧 , ・ , は線形従属 ( 1 次従属 ) であるといい , そうでないとき , 線形独立 ( 1 次独立 ) であるという . 逆行列れ次正方行列 = ( 丐 D の逆行列スー 1 は , 1 = リ = をみたす行 列として定義される . 行列は , 逆行列をもつならば正則であるという . 行 列式 D = det が 0 でないならば , 逆行列が存在し , の余因子 c を使って , C11 C21 1 C12 C22 1 , 2 , れ 1 れ 2 ( 2. 10 ) CI れ で与えられる . c の位置に注意しよう . 特別な行列正方行列スは , 三い * ) T = A ー 1 または = / をみたすとき , ユニタリー行列という . 実ュニタリー行列は直交行列とよばれる . すなわち , 直交行列は , ス T = スー 1 またはス T = / によって定義される . 直交べクトル 2 つの列べクトル れれ があるとき , ( ス * ) T お = の * カ 1 十の * わ 2 十・・・十〃。 * ならば , べクトルスとおは直交しているという . ュニタリー行列や直交行列 の列べクトルは互いに直交している . また , 行べクトルも直交している .
50 3 常微分方程式 2 階同次線形方程式 2 階同次線形方程式 なの三 / / + カ ( ェ ) / + 〆ェ = 0 ( 3.16 ) について考える . 叭と 2 が解ならば , CI と C2 を任意定数として , = CI 十 C2Y2 も解である . すなわち , 解の 1 次結合もまた解である ( 重ね合わせの原理 ). 微分方程式 ( 3.16 ) の 2 つの解を叭 , 2 とする . 少なくとも一方が 0 でない定 数 CI と C2 とに対して , CI 十 C2 2 = 0 が恒等的に成り立つ : ならば , と 42 は 1 次従属であるという . CI = C2 = 0 の場合に限って CI 叭十 c 止 = 0 が成立する とき , 1 次独立という . 解と 2 が 1 次独立であるための必要十分条件は , 叭 2 2 辺 2 ー叭 2 半 0 ( 3. 17 ) 行列式」 ( のは , ロンスキー行列式またはロンスキアンとよばれる . 1 次独立 な 2 を基本解 , その組 , を解の基本系という . 解の基本系 , を使って , 一般解は = CI 十 c 止と表わされる . そして , 任意定数 CI , を適当に選ぶことにより , 初期条件 / = , / ( ェ 0 ) = / をみ 2 階非同次線形方程式 2 階非同次線形方程式 たす解をただ 1 っ作ることができる ( 解の一意性 ). ( 3. 18 ) する . 定数変化法により , ( 3.18 ) の一般解は , とを任意定数として , について考える . 同次方程式なの = 0 の 2 つの独立な解 , 2 が求められたと の = ス 1 十ス 2 ー叭 十 2 ( 3.19 ) と求まる . ( 3.19 ) は 2 つの部分からなっている . 初めの 2 項は同次方程式の一 般解であり , 非同次項 / ( のをまったく含まない . 後の 2 項は非同次方程式の 特解である . 一般に , 非同次線形微分方程式の一般解は , 同次方程式の一般解 に非同次方程式の特解を加えたものである .
152 問題解答 dx エ 2 + 〆ェン * = 朝 2 〃十カリ / 十クリ 2 ) 十 ( 1 ″十カリ 1 / 十ク 1 ) 問題 3 ー 3 [ 1 ] とは任意定数とする・ ( 1 ) 特性方程式は , ス 2 ー 2 スー 3 = ( ス + IX えー 3 ) = 0. 根 ー 1 , ス 2 = 3. 2 つの独立な解は叭 = e ー ' の = e3 ' で , 一般解は = C1e ーエ十 = ( 2 ) 特性方程式は , ス 2 ー 2 ス + 3 = 0. 根は , ス 1 = 1 + V , ス 2 = 1 ー . 2 つの独立な解 ( 1 十丁 i ) 工 の = が 1 一わ , で , 一般解は = C1e ( 1 + ) ' 十 c が 1 一 i ) , または , = は , 叭 = e 〆 cos プエ + 〆 sin プエ . ( 3 ) 特性方程式はス 2 + 1 = 0. 根はス 1 = れス 2 ーえ 2 つの 独立な解は , 叭 = e は , Y2=e で , 一般解はリ = が工十 C2e ー・ または , リ = cos 工十 c»inx. ( 4 ) 特性方程式はス 2 ー 4 ス + 4 = ( スー 2 ) 2 = 0. 重根ス = 2 を持っ・抓の = e2 工は解 である・もう 1 つの解を定数変化法を使って求める・リ 2 = c ( ェン 2 ' とおき , 微分方程式に 代入すると , C ″ ( ェ ) = 0. よって , なとわを定数として , C(x) = な + . いま , 叭 = と 独立な解を求めるのが目的であるから , 単に c ( ェ ) = 工とおき , ェ ) = ェ e2 ' を得る・叭と 2 は解の基本系をつくり , = ( + ェン 2 ' [ 2 ] 同次方程式の独立な解いのを求め , 定数変化法によって得られる公式 / ( ェッ 2 / ( ェッ 1 / 工 ) = 1 十 c 2 ー 1 d 工十 2 」 = リ 1 2 ー 1 42 ()I とは任意定数 ) から一般解を求める . ( 1 ) = cre2 ' 十 cæ3 ' + ( 工 2 + ェー 1 ン 3 '. ( 2 ) = crcos なェ + C2Sin な工 + cos /( が一わ 2 ). ( 3 ) = ( 十 C2 工ン ' 十 cos 工十ェ十 2. ( 4 ) = CI cos 2 ェ十 C2 sin 2 工十工 sin2x. ( 5 ) リ = 工 2 十 / ェ十@2 十 1 / ェ ) 10g ェ . [ 3 ] ェ ) = 叭 ( ェ ) 2 ( ェ ) とおき , 微分方程式に代入する・リ 1 は解であるので , 得られる 式は 1 + ( 2 + 加 1 = 0. これを積分して , 1 。 g レ勹 + 21 。 g ツⅡ + エ沌 = 1 。 glc Ⅱ . す なわち , 20 ) = ( ル 12 ) ex ⅸーェ沌 ). もう一度積分して , exp ーエソ工 d 工十 C2 したがって , 求める一般解は / ェ ) = リ 1 3 ()I とは任意定数 ) 工ソ工 d 工十 C2 リ 1 exp
3 ー 2 2 階微分方程式 5 う 卩 ] ( 1 ) ( 3 ) [ 2 ] す・ ( 2 ) ( 3 ) [ 3 ] ( 1 ) 次の微分方程式の一般解を求めよ・ ( 4 は定数 ) ( 2 ) ″ = 4 1 十 / 2 ( 4 ) 次の非同次方程式の一般解を求めよ・ 3 リ″ = / 2 1 3 リ = 工 3 十 2 ェ 工 / ′十 / = 2 〆 ( 1 十ェ ) d6 1 ツ 工イエ 5 d ェ 6 ( ) 内は , 同次方程式の独立な解を表わ ( 〆 , ( ェー 1 ン 2 ' ェ / / ー ( 3 ェ十 1 ) / 十 ( 2 ェ十 1 ン = 工 % 3 ' 抵抗が ( 1 ) 速度に比例する場聳 , ( 2 ) 速度の 2 乗に比例する場合 , 物体の落下の 様子を調べよ・質量を川 , 重力加速度をの抵抗係数をんとすると , 運動方程式はそれ それ , ( 2 ) 川ツ = 川クーたツ 2 ( 1 ) 川ツ = 川クー々ツ , で与えられる・ [ 4 ] 2 階線形徴分方程式 + カ ( ェ ) / + 〆ェン = / ( ェ ) の一般解は , 同次方程式の独立な解 と与えられることを示せ . ただし , 」 ( ェ ) = の ( ェッ / ( ェ ) ーリ 10 ) の ( ェ ) である・ / ェ ) = CI の ( ェ ) + C2 の ( ェ ) + G@, 2 ゾ ( 2 とによって , ( なミ z ミエミの の ( 2 ( ェ ) / 」② ミエミ 2 ミの 抓ェン 2 ② / 」② リ 1 , のを使い , グリーン関数とよばれる 2 変数関数 を定義するこ
1 ) リ = を ' とおいて , 与えられた方程式に代入すると , ( え 2 ー 4 , = 0 ・から , 特性方程式ス 2 ー 4 = 0 を得る・ 2 つの根ス 1 = 2 , ス 2 = ー 2 に対応して , 解 リ 2 = 2 ' が求まる・ロンスキー行列式 リ 1 = e 2 ェ 工半 0 た [ 解 ] ー 4 半 0 リ ( 工 ) = CI 召 2 ' 十 C2e-2X (CI, C2 は任意定数 ) であるから , 叭とのは 1 次独立な解であり , 解の基本系をつくる・一般解は , 」朝 1 , リ 2 ) 三 1 リ 2 ーリ 1 リ 2 e2 = ( ー 2 ン一 2 ' ー 2e2 ー 2 ' 3 ー 3 定数係数の 2 階線形徴分方程式 = e 1 ) 〃ー 4 リ = 0 , 3 ) リ〃十 4 リ = 0 2 ) / / ー 4 リ = e2 ' 例題 3.5 次の線形徴分方程式の一般解を求めよ・ 5 う 2 ) 同次方程式 / / 一 = 0 は , 上で解かれていて , その独立な解は , 叭 = e2 ' である・また , 上で計算したように , ロンスキー行列式は」 = リ 1 の′ー 2 = ー 2 工 工 2 工 2 工 d 工十リ 2 工 ) = 1 十 2 の一 / はツ 2 て , 与えられた非同次方程式の一般解は , / ( ェ ) = として , ー 2 ェ 月召 2 工十 2 召ー 2 工十一一ェ e2 工 e2 ' 十 2 召ー 2 工 1 1 CI 召 2 ' 十 Cze ー 2 ' 十一一工 e2 工 d 工十に一 2 ェ 16 (CI, C2 は任意定数 ) , リ 2 2 ーエ 任意定数の書きかえを行なったことに注意する・ 3 ) 特性方程式はス 2 + 4 = 0. 複素共役な 2 根ス 1 = 幻 , ス 2 = ー幻を得る . 2 ・ ' は 1 次独立な解であり , 解の基本系をつくる・一般解は , の = qe2 十 C e ー 2 (CI, C2 は任意定数 ) また , オイラーの公式。 ' = cos なェ十 isin 工を用いると , リ ( ェ ) = CI(cos 2 ェ十 ~ sin 2 ェ ) 十 C2(cos 2 ェーー sin 2 ェ ) い , おは任意定数 ) cos 2 ェ十召 sin 2 ェ と書ける . はじめから , = cos2 ェ , リ 2 = sin2 ェが解の基本系であると考えて , 一般解を 書いてもよい・
3 常微分方程式 例題 3.4 2 階非同次 ( 非斉次 ) 方程式 の一般解は , 同次 ( 斉次 ) 方程式の 2 つの独立な解のを使って , / ( ェッ 2 / はン 1 リ ( 工 ) = 1 叭十 2 の一叭ーーー -- ー記工十の—dx 」 ( 工 ) = 1 リ 2 ー 1 リ 2 と求められることを示せ・ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) [ 解 ] 定数変化法を用いる・工 ) = CI ( ェッ 1 ( ェ ) + C2 ( ェン 2 ( ェ ) とおく・未知関数は CI ( ェ ) と C2 ( のの 2 つであり , 微分方程式 ( 1 ) は 1 つの条件しか与えないので , 条件 叭 CI ) + の C2 ) をつけ加える・ェ ) = CI ( ェッ 1 ( ェ ) + C2 ( ェッ 2 ( ェ ) を徴分して , ( 4 ) を用いると , / = CI リ 1 / 十 C2 リ 2 = C 辺 1 ″十 C2 リ 2 ″十 CI 1 ′十 C2 リ 2 これらを徴分方程式に代入すると , / ′ + カ ( ェ ) / + 〆ェ ) リ = CI { の″ + カ ( ェ ) + 4 ( ェン 1 } + C2 セ 2 ″ + エッ 2 ′ + 久ェッ 2 } ( 4 ) 十リ / CI ′十 2 ′ C2 ′ ところが , いのは同次方程式の解であるから , 上の式で , よって , ( 5 ) より , 1 ℃ 1 / ( ェ ) + の℃ 2 / ( ェ ) = / ( ェ ) { } 内はともに 0 である・ ( 5 ) 仮定により , のとのは独立な解であるから , 」 = 叭リ / ー叭包 2 は 0 でない . ( 6 ) したがって , 連立方程式 ( 4 ) と ( 6 ) より , 0 C20 ) = 上の式を積分すると , CI ( ェ ) C2 ( の / ( ェッ 2 ( の / ( ェン 1 ( ェ ) dx 十 2 イエ十 1 1 1 ー / ( ェン 2 い ) い 1 は任意定数 ) い 2 は任意定数 ) ( 7 ) をの = CI ( ェン ) + C2 ( ェッ 2 ( ェ ) に代入すれば , 証明すべき公式 ( 2 ) を得る・
124 7 偏微分方程式 7 ー 1 偏微分方程式 偏微分方程式 2 つ以上の独立変数をもっ未知関数とその偏導関数を含む方 程式を偏微分方程式という . 偏徴分方程式の階数は , 含まれる偏導関数の最高 階の階数である . 未知関数およびその偏導関数について 1 次のとき線形という . 与えられた偏微分方程式を恒等的にみたす関数を解とよぶ・れ階偏微分方程 式の一般解は , 個の任意関数を含む . 特解は , 一般解における任意関数を特 別に選ぶことによって得られる解である . 定数係数の 2 階線形偏微分方程式 2 つの独立変数ェ , をもっ定数係数の 2 階線形偏微分方程式は , な , わ , ら e , / を定数として , D24 0 ーーー十 % ー生ー十 0 ーーー十ーー十 0 ーー十 / " = 9 ( , , の 2 D ェの Dy2 で与えられる・ 9 ( ェ , の三 0 のとき , 同次 ( 斉次 ) 方程式とよぶ . 上の偏徴分方程 式について , の = が一“とおき , D>O, の = 0 , のく 0 のとき , それそれ双曲型 , 放物型 , 楕円型という . 代表的な物理例を掲げる . b) a24 双曲型 2 放物型 a24 2 a24 D ェ 2 02 れ a24 楕円型ーーー十 O ェ 2 D 2 ( 波動方程式 ) ( 熱伝導方程式 ) ( ラフ。ラス方程式 ) 境界値問題時刻 = 0 における条件 ( 初期条件 ) や , 空間領域の境界におけ る条件 ( 境界条件 ) をみたす解を求めることを , 偏徴分方程式の境界値問題とい う . 境界値問題を解く方法には色々あるが , 一般解による方法と変数分離法を , 7 ー 2 節 ~ 7 ー 4 節で用いる .
7 ー 1 偏微分方程式 衍な , の D2 ″ ( ェ , の DxDy = エ , の D 可ェ , の Ou ( ェ , の ( ェ , の 例題 7.1 次の偏微分方程式の一般解を求めよ・ 125 [ 解 ] 1 ) 4 ( ェ , のはェを変化させても変わらないのだから , リだけの関数である・ よ って , 2 ) 3 ) 〆のを任意関数として , 一般解は , 4 = 〆の ェについて積分する・をある定数 , 〆のを任意関数として , 一般解は , 新しい独立変数 = ェ + リ , = ェーを導入する・偏微分の規則により , ミ + 〆の Dse Du Dse Du D71 Du Dx D77 D71 Ou Dy Ou これを与えられた偏徴分方程式 + も = 0 に代入すると , Ose 十 Du Du Du Ou 可ミのはを変化させても変わらないのだから , だけの関数である・ よって , のを 任意関数として , 一般解は 4 = の⑦ = ェーの = 0 だから , 1 ) より , のを任意関数として , Ox Dy = 裔 ( の について積分する・をある定数 , 叺ェ ) を任意関数として , の + 叺ェ ) 任意関数の不定積分は再び任意関数となる・これを〆のとかく・ = 〆の + 叺ェ ) よって , 一般解は ,