152 問題解答 dx エ 2 + 〆ェン * = 朝 2 〃十カリ / 十クリ 2 ) 十 ( 1 ″十カリ 1 / 十ク 1 ) 問題 3 ー 3 [ 1 ] とは任意定数とする・ ( 1 ) 特性方程式は , ス 2 ー 2 スー 3 = ( ス + IX えー 3 ) = 0. 根 ー 1 , ス 2 = 3. 2 つの独立な解は叭 = e ー ' の = e3 ' で , 一般解は = C1e ーエ十 = ( 2 ) 特性方程式は , ス 2 ー 2 ス + 3 = 0. 根は , ス 1 = 1 + V , ス 2 = 1 ー . 2 つの独立な解 ( 1 十丁 i ) 工 の = が 1 一わ , で , 一般解は = C1e ( 1 + ) ' 十 c が 1 一 i ) , または , = は , 叭 = e 〆 cos プエ + 〆 sin プエ . ( 3 ) 特性方程式はス 2 + 1 = 0. 根はス 1 = れス 2 ーえ 2 つの 独立な解は , 叭 = e は , Y2=e で , 一般解はリ = が工十 C2e ー・ または , リ = cos 工十 c»inx. ( 4 ) 特性方程式はス 2 ー 4 ス + 4 = ( スー 2 ) 2 = 0. 重根ス = 2 を持っ・抓の = e2 工は解 である・もう 1 つの解を定数変化法を使って求める・リ 2 = c ( ェン 2 ' とおき , 微分方程式に 代入すると , C ″ ( ェ ) = 0. よって , なとわを定数として , C(x) = な + . いま , 叭 = と 独立な解を求めるのが目的であるから , 単に c ( ェ ) = 工とおき , ェ ) = ェ e2 ' を得る・叭と 2 は解の基本系をつくり , = ( + ェン 2 ' [ 2 ] 同次方程式の独立な解いのを求め , 定数変化法によって得られる公式 / ( ェッ 2 / ( ェッ 1 / 工 ) = 1 十 c 2 ー 1 d 工十 2 」 = リ 1 2 ー 1 42 ()I とは任意定数 ) から一般解を求める . ( 1 ) = cre2 ' 十 cæ3 ' + ( 工 2 + ェー 1 ン 3 '. ( 2 ) = crcos なェ + C2Sin な工 + cos /( が一わ 2 ). ( 3 ) = ( 十 C2 工ン ' 十 cos 工十ェ十 2. ( 4 ) = CI cos 2 ェ十 C2 sin 2 工十工 sin2x. ( 5 ) リ = 工 2 十 / ェ十@2 十 1 / ェ ) 10g ェ . [ 3 ] ェ ) = 叭 ( ェ ) 2 ( ェ ) とおき , 微分方程式に代入する・リ 1 は解であるので , 得られる 式は 1 + ( 2 + 加 1 = 0. これを積分して , 1 。 g レ勹 + 21 。 g ツⅡ + エ沌 = 1 。 glc Ⅱ . す なわち , 20 ) = ( ル 12 ) ex ⅸーェ沌 ). もう一度積分して , exp ーエソ工 d 工十 C2 したがって , 求める一般解は / ェ ) = リ 1 3 ()I とは任意定数 ) 工ソ工 d 工十 C2 リ 1 exp

5 4 2 tan 工 COS 工 2 れ ( 2 の ! = ← 1 ) " れ = 0 17 ェ十一 3 十一一ェ 5 十一一一十・・ 15 315 ト 1 初等関数 ( ーくエく ) ( ー 2 くエくな / 2 ) 三角関数の逆関数を逆三角関数という . すなわち , ェ = c 。 s ならば = c 。 s ー 1 ェ とかいて , これを逆余弦関数という . 同様にして , 逆正弦関数 sin ー 1 ェ , 逆正接 指数関数 4 をある定数として , を指数関数という . 特に重要なのは , 関数 tan ー 1 ェが定義される . 4 = e = 2.7182818 ・・・の場合であり , 以後 , 指数関数は〆を意味することとする . e 工十 = 1 十ェ十 3 ) (ex)y = 召工 Y 4 ) 5 ) ド十 1 1 々ェ 々 e 々工 召工 - Y ド十・・ 召々工イエ ( ー < ェく ) ( 々半の 対数関数指数関数の逆関数を対数関数という . すなわち , = ェのとき , = 10g 1 ) 4 ) log 卿 = 10g ェ十 10g 鰺 2 ) 10g ー 10g 工ー 10g 1 。 g ( 1 十の = ェー (log げ 3 2 工 2 工 3 = ← 1 ) " 十 1 れ = 0 = 10g ェ , 7 ) log 〆 3 ) 10g = 10g ェ 8 ) elog ェ ( ー 1 くミ 1 ) 双曲線関数 次に定義される関数を総称して双曲線関数という . Sinh 工 COSh2x 十 e- COSh 工 2 Sinh 工 tanh ェ COSh 工 2 —sinh2x = 1 1 ) 2 ) 3 ) cosh ェは偶関数 , sinh 工と tanh ェは奇関数 加法定理 sinh(x±y) = sinh 工 cosh 士 cosh 工 sinh cosh(x 士の = cosh 工 cosh 士 sinh 工 sinh

14 ろ 問題 1 ー 2 卩 ] ( 1 ) 絶対値 / = V2 ' + 2 ' = 2V プ , 偏角 0 = arctan ( 2 / 2 ) = 可 4. よって , 2 十幻 = 2V ツー狎 / 4 ( 図 a) ・ ( 2 ) 絶対値 = 2 , 偏角 0 = 2 可 3. ー 1 + 第ツ = 2e2 可 3 ( 図 b) ・ ( 3 ) 絶 対値 / = 2 , 偏角 0 = 4 可 3. ー 1 ー 2e4 叫 3 ( 図 c ). 問題解答 1 240 。 O 工 120 。 ー 1 0 工 (b) 45 。 ー 7 十 1 行 , 21 / 22 ー 3 ー幻 , 21 ー = 7 ー 4 れ 2122 [ 2 ] 21 + ( 石 COS 01 十 / 2 [ 3 ] 21 = 石 ( c 。 S01 + な in の ) , 22 = な c 。 s の + パ in の ) とおく . レ 1 + 22 ド 01 COS01 十 COS 〃 2 ) 2 十 01 sin01 十 sin02 ) 2 = 宿 2 十均 2 十 cos02) + i(nsin01 十 rzsin02)12 = ( IZI ! + IZ2 げ・よって , IZI + 22 ! 引 + ! . 等号が 2 宿均 cos ( の一の ) ミ石 2 十 / 22 十 2 宿 成り立つのは , 石 = 0 または / 2 = 0 または c 。 s ( の一の ) = 1. すなわち , 21 = 0 または 22 = または arg zr=arg 22 ・ [ 4 ] ( 1 ) 2 = + ん一を@c) ー 1 の絶対値 / と偏角のは , z = 2 + { のん一@c) ー 1 } 2 ] 1 / 2 , c 。 s 観であるから , のは電流の位相の遅れを表わす・ 問題 1 ー 3 [ 1 ] / , = 5 ェ 4 十 16 ェ 3 リー 6 ェ 2 / 十 6 ェの十 7 の . = 4 ェ 4 ー 4 ェッ十 9 ェ 2 十 28 ェの一 5 の . / = , = 20 ェ 3 ー 4 ェ 3 十 18 ェッ十 84 ェリ 2 ー 十 48 ェッー 12 ェ十 6 の . fxy=fyx= 16 ェ 3 ー 12 ェッ十 18 ェリ 2 十 28 の . / ” 20 の . 全微分 d. / = 十 = ( 5 ェ 4 十 16 ェッー 6 ェ 2 十 6 ェの十 7 のソェ十 ( 4 ェ 4 ー 4 ェッ十 9 ェッ 2 十 28 ェの一 5 のソ鰺 [ 2 ] ( 0 ( 0 Ox 十 S1n =:COS ーーー十 2Sin COS 佖 ー S1n 0--- ー - 十 COS 十 S1n = COS D2f DxDy D2f DxDy 十 S1n COS 化 COS ーーー十 S1n 0 ・ = COS D2f D ェ 2 O ェ 2 十 S1n2 02f [ 3 ] 4 = 4 な 24T2. = 」 = 4 が ( 」 4T2 ー 2 リ T / T3 ). ー 2 Sin COS 十 COS

2 べクトルと行列 4 ) 前問より , 刀 = 0. また , の 1 = 9 半 0 , の 2 = ー 18 半 0 , D3 = 9 半 0. よって , 解はない ( 分類 4 ) ). 2 番目の式を 2 倍したものから 1 番目の式を引くと , 7 ェ 1 + 8 ェ 2 + 9 ェ 3 = 5. れは , 3 番目の式 7 ェ 1 + 8 ェ 2 + 9 ェ 3 = 2 と両立しない・教訓 . 問題には必ず解があると思っ ただし , のわ , c は互いに異なるものとする・ てはいけない . 問 ⅢⅢ日日Ⅲ日日ⅱⅱⅢ日日ⅱⅱⅱ日Ⅳ 題 2 ー 5 Ⅲ日ⅡⅢ日日ⅢⅢ日日ⅢⅢ日日日Ⅲ日日い [ 1 ] ( 1 ) ( 3 ) [ 2 ] ( 1 ) ( 3 ) [ 3 ] 次の連立方程式を解け . ェ 1 ー 3 ェ 2 ー 4 ェ 3 = 3 ェ 1 ーエ 2 十工 3 = 6 工 1 ーエー 2 工 3 ー 5 ェ 1 ー 2 ェ 2 = 1 3 ェ 1 十ェ 2 = 5 次の連立方程式を解け・ 7 ェ 1 十 4 ェ 2 ー 3 ェ 3 = 12 工 1 ー 2 工 2 十工 3 = 2 2 ェ 1 十 5 ェ 2 ー 3 ェ 3 = 3 7 ェ 1 十 4 ェ 2 ー 3 ェ 3 = 0 工 1 ー 2 工 2 十工 3 = 0 2 ェ 1 十 5 ェ 2 ー 3 ェ 3 = 0 次の連立方程式を解け・ な 2 工 1 十わ 2 ェ 2 十 c2 ェ 3 = d2 工 1 十わ工 2 十む工 3 工 1 十工 2 十工 3 = 1 ( 2 ) ( 4 ) ( 2 ) 3 ェ 1 十ェ 2 = 0 5 ェ 1 ー 2 ェ 2 = 0 工 1 ーエ 2 ー 2 工 3 = 0 3 工 1 ーエ 2 十工 3 = 0 ェ 1 ー 3 ェ 2 ー 4 ェ 3 = 0 2 ェ 1 十 5 ェ 2 ー 3 ェ 3 = 3 工 1 ー 2 工 2 十工 3 = 2 7 ェ 1 十 4 ェ 2 ー 3 ェ 3 =

こで , ö= —tan-l(I/wRC) ・ ( 4 ) は任意定数 B を含み , 一般解である・時間とともに第 1 項は速やかに減少して , 定常的な正弦振動がのこる・すなわち , 初期条件の影響は , 充分時間が経っとなくなってしまう・加えられた交流電圧 sin 観と比べて , 定常的 な正弦振動の位相はöだけ遅れていることに注意しよう・ [ 1 ] 次の徴分方程式の一般解を求めよ・以下で , 碼わ , c は定数である・ 48 = わ お召ーリ c 十 {COS の一十の C sin の 4 VI + (wRC)2 sin@)t ーの 召 e ーリ C 十 の C 1 十 ( の C ) 2 3 常微分方程式 ( 4 ) dy ( 1 ) ( 3 ) ( 7 ) ( 5 ) = ェ ( 2 ーの 十な dy 2 リ 十 (tan 工 ) リ = 2 工 COS 工 ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 8 ) dy 十 4 リ 十なリ dy = 2 な COS な工 = e 3 ェ ( 9 ) 朝ェ + 切 + ( + c リソリ = 0 ( 1 の は十 ( ェ 2 十リ 2 ) ェ 3 } d ェ十 d リ = 0 ( 11 ) リ d ェ十 ( ー 2 ェ十 4 の十のソリ = 0 [ 2 ] / = / ( のェ ) の形の微分方程式を同次形という・未知関数をから 4 = のェに変 換すれば , 変数分離形となり , 解けることを示せ・ [ 3 ] 放射性原子核は , その数に比例して崩壊する・半減期 ( 1 / 2 に減少する時間 ) を T とすると , 時刻ーにはどれだけ存在するかを調べよ・ [ 4 ] 物体の温度は , 周囲との温度差に比例して変化する ( ニュートンの冷却の法則 ). 25 。 C に保たれた部屋で実験するとしよう・ある物体が 90 。 C から 60 。 C になるのに 30 分かかったとすると , 1 時間後には何度になっているか・

1 う 0 問題解答 固有値はすべて異なるとする ) から作った直交行列 =@1 , 与朝によって対角化される・ 石 0 0 0 12 0 三 VTIV = ん / = 4 の / (i = 1 , 2 , 3 ) を得る・すなわち , べクトルん / とべクトルの / は同じ向きを向い ム , の / = % 刈 , と変換され , は直交行列であることを使うと , ム = , の , より , ( 2 ) 新しい座標系をェ / = %. ェ . と選ぶ・角運動量 , 角速度は , それそれ 4 = % ー = ( ) を対角にする座標軸を慣性主軸という・ べクトルは , 与与リ 3 がこの順で右手系を作るように向きを選んでおく・このように ている . また , 3 問題 3 ー 1 T = ーん叫の , 第 3 章 1 2 [ 1 ] 任意定数を C とする・ ( 1 ) = 2 + ce - = 2 / 2. ( 2 ) ェ 3 + ゲ = c. ( 3 ) y=ce-az + わ . ( 4 ) リ = ( 1 + ce ー 2 つ /(1 ー ce ー 2 つ . ( 5 ) = c ェ 2 + ェ 3. ( 6 ) = e3 工 / 7 十 Ce ー 4 ,. ( ェ 2 十 c)cos ェ . ( 8 ) y=Ce-ax 十 cos な工 + sin なエ . ( 9 ) なェ 2 十 2 十 c = C. ( 1 の積分因子 1/( ェ 2 + ) により完全形になる・ ( ェ 2 + ッ , 4 / 2 = c. ( 11 ) 積分因子叭 3 により完全形にな る . ェ + 2 の + の = の 2. 以上の問題で , ( 1 ) ~ ( 4 ) は変数分離形 , ( 5 ) ~ ( 8 ) は線形微分方 あるいは , 書き直して , 十 = 10 十 ち , 面 / = ( / ( の一のなと変数分離形になる・ [ 2 ] = 剛とおくと , 徴分方程式 / = / 朝 / ェ ) は , 工面 / + ″ = / ( のとなる . すなわ 程式 , ( 9 ) ~ ( 11 ) は完全形 , である・ いは任意定数 ) よって , 々 = 1 。 g2 / T であり , ェの = ェ oex 区一日。 g2 / T ). り , 工 0 / 2 = 工 0 e- するから , = ー ( ん > の . ー = 0 でェ = ェ 0 とすると , の = ェー . 半減期の定義よ [ 3 ] 時刻ーにおける放射性原子核の個数を ) とする・エのの減少率は , ) に比例 また , 人″ 0 ) ー″ 0 = 0 となる定数があれば , = 40 ェは特解である・ (C は任意定数 ) ェ = CeF(Y/Z) F(u) [ 4 ] 時刻ーにおける物体の温度を ) 。 C とする . ートンの冷却の法則により ,

1 ) 8 問題解答 の O ェ の O リ O/Oz 2 の 2 ーの 3 工の 3 ー 2 の 1 リの 1 ーエの 2 ▽・ v = ーー ( 2 の 2 ーリの 3 ) 十一一イエの 3 ー 2 の 1 ) + ーー朝叫ーエの 2 ) [ 3 ] ( 1 ) 定義の式を計算すると , = ( / li 十 / 2j 十 13 ん ) ・ i—十 j—十ん一一 = 小▽の ( 2 ) ▽の = ( 2 ェリ 2z 十 23 ) i 十 ( 2 ェ 2 十 2 ) j 十 ( ェ 2 十 3 2 十のん . 点 P(2, ー 1 , 1 ) での値は , ▽の = 5i ー 7j 十 9 ん . また , べクトル i 十 2j ー 2 ん方向の単位べクトルは , “ = 十 2j ー 2 ん ) / 12 十 22 十 ( ー 2 ) 2 = ( i + 2j ー 2 ん ) / 3. したがって , 求める方向徴分係数は , / 面 = = 1 ー 0 + 2j ー 2 ん ) ・ ( 5i ー 7j + 9 ん ) = ( 3 ) 点 P から描いたべクトルと , 曲面の = c + 」のと の交点を Q とする ( 図参照 ) ・単位法線べクトル = + ら j + らん , や Q = 山とすれば , 点 Q の座標は Q ( ェ + ら山 , リ + 12 山 , 2 + ら誑 ) であるから , ( 1 ) と同様の計算で , 〆ェ十 II 」なリ十 12 」な 2 十 13 」の一〆ェ , の lim = 小▽の dn 」一→ 0 また , 例題 4.4 より , Vé = Ⅳれであるから , / = Ⅳ . この 2 つの式より , V4 ( 4 ) 点 P での任意単位べクトルを“ , ととの角を 0 とする . ( 1 ) と ( 3 ) より , COS 0 dn dn よって , 0 = 0 , すなわち , れ方向でのの方向微分係数は最大で , 最大値はⅣ . 問題 4 ー 5 ▽ x v = 2 の 2 の十 2 の 2j 十 2 の 3 ん 3 2 1 4 = c 十の Dx ( 0 ( 0 2 十 十コーーーコ ( 0 ( ひ [ 1 ] ( 1 ) Vx(V4)= わーー十 j ーーー十ん一一 Dy Dz OyDz OxDy OyOx j 十

169 1 32 1 ー 1 ) ェ + sin(2n 8 27 2 3 ( 3 ) ー 4 COS 工ー GCOS 2 工十—COS 3 工ー COS 〃工 = 2 2 可 2 ”ー 1 ) 3 れ = 1 2 〃ー 1 8 S1n 工ーな sin 2 工十 偶関数に拡張した場合に相当 [ 2 ] する ( 右図 ) ・ = 0. そして , 4 Sin 工 d 工 8 Sin 2 〃工 2 Sin 3 工ー 2 ー 3 1 2 2 2 0 S1n 工 COS 工 d 工 = 0 0 2 ( 1 十 cos れ が一 1 ) 朝と 2 ) Sln 工 COS れ工 d 工 0 よって , 1 1 2 - ー℃ os 2 工十—cos 4 工十—COS 6 工十・・ 3 15 / ( ェ ) = / T ( 0 < ェ < T ) で周期は 2 ん [ 3 ] ( 1 ) = T. な T な工 ー 2 応 i ”工 / Td ェ な工 6 35 0 2 な i 〃 2 な〃 - 2 応ー”ェ / T ー 2 第 i れ工 / T 十 e 0 1 2 よって , / ( ェ ) = の 2 + / / 2 な旗 2 . / は” = 0 を除く・ ( 2 ) alcos の到の周期は , 2 ん = 可の・ 0 た / 23 の応 / 23 のな な COS の工 e 2 ー窟 / 23 応 / 23 % ( ー 1 ア + 1 2 ( ー 1 ア 2 ( ー 1 ) " 4 が一 1 2 ( 1 ー 2 〃 ( 1 + 2 〃 [ 4 ] ( 1 ) 川 = ”ならば , { ei ( 1 ー 2 " ) 。 ' 十 e ー i ( 1 + 2 " ) 。 ' } イエ ー 2i れの工 d 工 dx = 1 ん 2 ん

179 , 解″… = T … X …の重ね合わせ 次に 可ェ , / ) = Amnsin をつくり , 初期条件をみたすようにする・ ェ , リ , の = 人工 , の = … sin S1n 川 = 1 れ = 1 S1n 川 = 1 れ = 1 したがって , dx d リ工 , y)sin ④を③に代入したものが求める解である・ 問題 7 ー 5 [ 1 ] S1n V2 ( 1 の = ー 4 ( ェーめö朝一のー ( ) を用いる・ —Gf V2—・〆ミ 0 ( 砌 = 4 工〆 , ーめ〆 0 ーの咋ー ( ) ・〆ミ 0 ( ) 砌 " ( ( 点は , のがの外 ) ( 点 ( ェ , のがの内 ) 47tGp [ 2 ] 袒半 0 とすると , 2 ェ 2 一 1 . 1 0 ー 1 0 ー 71 0 ー 工リ 0 ー 10g ー ーー 10g ー D ェ 2 Dx 10g ー log— よって , ーー十 2 O ェ 2 0 リ 2 p = 0 の近くの様子を調べる・平面におけるグリーンの定理 DQ DP CPdx + Qdy] Ox 0 リ 工 2 十 2 十 2 ーー 10g ー 10g ー Dx を代入する・

2 ー 5 連立 1 次方程式を解く 例題 2 ・ 6 次の連立 1 次方程式を解け・ 2 ) 3 ェ 1 ー 2 ェ 2 十 2 ェ 3 1 ) 3 ェ 1 ー 2 ェ 2 十 2 ェ 3 ェ 1 十 3 ェ 2 ー 5 ェ 3 ェ 1 十 3 ェ 2 ー 5 ェ 3 4 ェ 1 十工 2 十 2 工 3 4 ェ 1 十ェ 2 十 2 ェ 3 4 ) 工 1 十 2 工 2 十 3 ェ 3 3 ) ェ 1 十 2 ェ 2 十 3 ェ 3 4 ェ 1 十 5 ェ 2 十 6 ェ 3 4 ェ 1 十 5 ェ 2 十 6 ェ 3 7 ェ 1 十 8 ェ 2 十 9 ェ 3 7 ェ 1 十 8 も十 9 ェ 3 = 10 0 0 イ 1 [ 解 ] おのおのの連立方程式は , 行列の記号を使って , x = 召と書ける・ D=detA 1 ) クラメルの公式 ( 2.12 ) を用いる . ののた列目を列べクトル B で置き換えたもの とする・ をと書く・ ワ一 .0 っ】 ワ朝っ 0 1 、一 0 っ 0 ワ 1 00 -11 っ 0 、 1 -4 = 110 = 55 , の 1 0 ワ 3 っ 0 ワ】っ 0 1 1 よ・ 4 ワ】一 0 っ 4 -0 ワ 1 っ 0 11 -4 ・ ー 55 よって , 55 55 165 DI 110 クラメルの公式を用いる・ 2 ) 前問より , D = 55. DI = 0 同様に , D3 = 0 である・よって , ェ 1 = DI / D = 0 , ェ 2 = D2 盟 0 , ェ 3 = D3 盟 = 0 , すなわち , 自明な解ェ 1 = ェ 2 = ェ 3 = 0 たけが解である・ 1 2 3 3 ) の = 4 5 6 7 8 9 = 0 , お = 0 であるから , 自明な解以外に無限個の解が存在する ( 分類 3 ) ) ・この連立方 程式で , 2 番目の式を 2 倍したものから 1 番目の式を引くと , 3 番目の式を得る・すな わち , 独立な式は 2 っしかない・可能な解は , ェ 3 = な @ は任意 ) とおけば , ェ 1 = な , 工 2 = ー 2 な . 55 55 CO イ 1 44 ワ 1 つ 71