5 4 2 tan 工 COS 工 2 れ ( 2 の ! = ← 1 ) " れ = 0 17 ェ十一 3 十一一ェ 5 十一一一十・・ 15 315 ト 1 初等関数 ( ーくエく ) ( ー 2 くエくな / 2 ) 三角関数の逆関数を逆三角関数という . すなわち , ェ = c 。 s ならば = c 。 s ー 1 ェ とかいて , これを逆余弦関数という . 同様にして , 逆正弦関数 sin ー 1 ェ , 逆正接 指数関数 4 をある定数として , を指数関数という . 特に重要なのは , 関数 tan ー 1 ェが定義される . 4 = e = 2.7182818 ・・・の場合であり , 以後 , 指数関数は〆を意味することとする . e 工十 = 1 十ェ十 3 ) (ex)y = 召工 Y 4 ) 5 ) ド十 1 1 々ェ 々 e 々工 召工 - Y ド十・・ 召々工イエ ( ー < ェく ) ( 々半の 対数関数指数関数の逆関数を対数関数という . すなわち , = ェのとき , = 10g 1 ) 4 ) log 卿 = 10g ェ十 10g 鰺 2 ) 10g ー 10g 工ー 10g 1 。 g ( 1 十の = ェー (log げ 3 2 工 2 工 3 = ← 1 ) " 十 1 れ = 0 = 10g ェ , 7 ) log 〆 3 ) 10g = 10g ェ 8 ) elog ェ ( ー 1 くミ 1 ) 双曲線関数 次に定義される関数を総称して双曲線関数という . Sinh 工 COSh2x 十 e- COSh 工 2 Sinh 工 tanh ェ COSh 工 2 —sinh2x = 1 1 ) 2 ) 3 ) cosh ェは偶関数 , sinh 工と tanh ェは奇関数 加法定理 sinh(x±y) = sinh 工 cosh 士 cosh 工 sinh cosh(x 士の = cosh 工 cosh 士 sinh 工 sinh

1 ー 1 初等関数 Sin ょ 4 COS B COS 員 Sin B —Csin(A + B) + sin(A—B)] —Csin(A + B)—sin(A—B)] 残りの公式を示すには , 余弦 ( コサイン ) 関数に対する加法定理を用いればよし . 5 COS cos(x 十 ) 十 cos(x ーリ ) = 2 cos 工 cos リ cos(x + の一 cos(x ーの = ー - 2 Sin 工 SIn リ ( 5 ) ( 6 ) 工 + = 4 ェーリ = B とおくと , ( 5 ) と ( 6 ) より , それそれ和を積に直す公式の 3 番目と 4 番目の式が得られる・また , ェ = 4 リ = 召とおけば , ( 5 ) と ( 6 ) より , それそれ積を和に 直す公式の 3 番目と 4 番目の式が示される・ 尸 1 題 1 ー 1 日ⅡⅢ日日日日ⅢⅢⅢⅡⅢⅢⅢⅢ日ⅢⅢ日日ⅱⅡⅡ [ 1 ] ( 1 ) 振幅は同しであるが異なる角振動数をもつ 2 つの調和振動ェ 1 = c 。 s 叫ー とェ 2 = c 。 s の 2 を合成せよ・また , 叫との 2 が近い値のとき , その合成振動は @1 + の 2 ) / 2 を角振動数とする調和振動の振幅が , @1 ーの 2 ) / 2 の角振動数でゆっくり変調された形と ( 2 ) の 1 = 1 俿 , の 2 = 8 の場合の合成振動の様子を図示せよ・ なっていることを示せ・ [ 2 ] [ 3 ] ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) [ 4 ] ( 1 ) 次の定積分を示せ・川と〃は正の整数とする・ sm 川ェ d ェ = 0 , COS ~ 工 COS 〃工 d 工 Sln 〃 2 工 COS れ工イエ cos 川ェ d ェ = 0 S1n ? れ工 S1n れ工 d 工 = ら = なら こで , …はクロネッカーのデルタ記号ö… = 0 ( 川半〃 ) , 1 ( 川 双曲線関数に対して , 次の式を示せ・ COSh2X ー sinh2x = 1 cosh 工 cosh 十 sinh 工 sinh cosh(x 十の = sinh 工 COSh リ十 cosh 工 cosh リ sinh(x 十の = リ = ae ( 2 ) リ = e ーリ 2 sin 2 ー ー 62 , 2 / 2 朝 > 0 , b> の , 次の関数の振舞いを説明し , グラフに描け・ sinhx の逆関数を sinh-lx とかくと , sinh-lx = 10g ( ェ十 VI + ェ 2 )

142 問題解答 ( 2 ) 川 = 〃ならば , sin 川ェ c 。 s 川ェ = ( 1 / 2 メ in2 川ェだから ( 1 ) と同じ・川半”のとき , 公 式 sin 襯ェ cos れェ = ( 1 / 2 in ( 川 + のェ + sin ( 川一のェ ] を使って , S1n 2 工 COS 〃工エ 1 1 2 1 2 襯十〃 ( 3 ) 川 = 〃ならば , sin2 川ェ = ( 1 / 2X1 —cos 2 川ェ ) より , 1 1 2 応 1 sin2m.rdx Sin 2 ア〃工 2 2 川半〃ならば , sin 襯ェ sin = ( 1 / 2 ) [ c 。 s ( 川一のエー c 。 s ( 襯 + のェ ] だから , ( 1 ) と同じ・ ( 4 ) 川 = 〃ならば , c 。 s2 襯ェ = ( 1 / 2X1 + cos 2 川のより , 1 COS2 2 工 d 工 工十ー-ーー・ Sin 2 ? 〃工 2 川 半〃ならば , c 。 s 川ェ c 。 s = ( 1 / 2 な。 s ( 襯ーのェ + c 。 s ( 襯 + のェ ] だから , ( 1 ) と同じ・ [ 3 ] ( 1 ) 定義 cosh ェ = ( 〆 + ーっ / 2 , sinh ェ = ( 〆ー召ー , ) / 2 より , cosh2x—sinh2x=(e2x + 2 + e ー 2 ' ) / 4 —(e 2 ' ー 2 + e ー 2 つ / 4 = 1. ( 2 ) sinh ェ cosh 十 cosh ェ sinh = ( 1 / 2X 〆ー e ーっ・ ( 1 / 2X 〆 + e ーっ + ( 1 / 2X 〆 + e ーっ・ ( 1 / 2X 〆 ーっ = ( 1 / 2X 〆 + Y つ = sinh(x + の . ( 3 ) cosh ェ cosh リ + sinh ェ sinh リ = ( 1 / 2X 〆 + ) ・ ( 1 / 2Xey + e つ + ( 1 / 2X 〆ー e ーっ・ ( 1 / 2X 〆ー = ( 1 / 2X 〆 + Y + cosh(x + の . ( 4 ) y=sinh-lx とおく・ x=sinhy=(1/2Xey—e-y) だから , 召 2 ェ〆ー 1 = 0. これを解いて , 〆 > 0 を考慮すると , 〆 = ェ + ェ 2 + 1 . すなわち , = 1 。 g ( 工 ーみ 2 , 2 / 2 はすべてのェで正 . ェ = 0 で極大 , ェ = 士 1 / わで変曲点朝〃の符 号が変わる点 ) をもっ ( 下図 ( 1 ) ). ( 2 ) リ = 0 となる点は , ー = 0 , 士 1 / 2 , 士 1 , ・ sin 2 ー = 1 となる一 = 1 / 4 + 川 ( 襯は整数 ) で = 召ーり 2 , sin 2 = ー 1 となる 3 / 4 + 川 ( 襯は整数 ) でリ = ー e ーり 2. よって , 2 つの曲線士リ 2 の間を振動し , それらの点で接する・極値を とる点は , / = 0 , tan 2 = 4 なより決まる ( 下図 ( 2 ) ) ・ 2 だ 1 問題解答 1 COS(m 0 1 2 襯 1 2 2 0 ーレ 2 0 ー″ 2 1 / 6 O ー 1 / 6 ( 2 ) ( 1 )

6 1 基本的な知識 1 ー 2 複素数 2 つの実数な , わと虚数単位 / = s/ ー 1 を用いて表わされる数 c = な + = 〃 + 房を 複素数という . このとき , 4 を複素数 c の実部 , わを複素数 c の虚部といい , a=Rec,b=Imc と表わす . 複素数 c = 4 十に対して , 4 ーを c の共役複素数 といい , c * = なーと書く . 複素数の相等関係と四則演算は次のように定義される・ 1 ) の十 1 = の十油 2 ならば , の 1 2 ) 和と差 ( 4 + 士 ( c + / の = 士の十士の 3 ) 積 ( 4 十 )(c 十 ~ の = ac 十イ十 c 十卩 (ac—わの十 i()d 十わの ac 十わ d ー 4 4 十 c ー 4 ) 商 十 / c2 十 d2 ド十 c 十 c—id 複素数 2 = ェ十ルは , 平面上の点で表示すること ができる ( 図 1 ー 2 ). この平面 ( 複素平面またはガウス平 面という ) において , ェ軸を実軸 , 軸を虚軸とよぶ・ 図 1 ー 2 において , 原点 O と点 P の距離を / , 線分 OP とェ軸の間の角を 0 とすれば , COS 0 , / Sin 0 または c 十 ( c2 十ポ半 0 ) 3 図ト 2 複素平面 ( ガウス平面 ) 工 = ェ 2 + 2 , 0 = tan-l(y/x) ( 1.2 ) したがって , 複素数 2 は 2 = 工十ル = イ cosO 十 / sin の ( 1.3 ) これを 2 の極形式といい , / を 2 の絶対値 , 0 を 2 の偏角とよび , と書ける . 国 , 0=argz で表わす .