164 問題解答 同様にして , ・れ S = BCDE 1 0 1 0 1 ス・ dS = 0 , GFED ・ ndS 1 1 6 0 0 ・ dS = 0 , CDGO 1 ス・ ndS = 用いて , よって , 面積分は直接計算により , OAFG ス・ ndS = 0 OABC 1 / 3 ー 1 / 3 + 6 + 0 + 0 + 0 = 6. 一方 , ガウスの定理を 1 1 1 dx dy dz 朝 2 ー 22 十 12 の = ー十 6 = 6 0 よって , ガウスの定理は成り立っている・ 3 0 0 [ 2 ] ( 2 ) [ 3 ] ( 2 ) 5 ( 1 ) ス・れお = V ・ AdV= 朝 + わ + c ソ = ( 4 " 03 / 3X な + わ + c ) ・ 3 3 3 ・れ S = ( 3 ェ 2 十ェ 2 十 1 ソ = ( 4 ェ 2 十 1 ) = 324 十 27 = 351. ( ▽ x A)•ndS= ( 1 ) ▽・Ⅳ x ソ = 0 0 0d = 0. 0 c を任意な一定べクトルとして , ス = c+ とおく・ガウスの定理により , ▽ c ソ = こで , ▽・ ( ) = Ⅳの・ c を左辺に用いて・ C ・ ところが , c は任意であるから , ▽の d ー VédV= ndS = 5 ( の c ) ・祠 s 4ndS のれ dS. ( ▽ 1 ソ / = ( 4 ) [ 4 ] ( 3 ) ( 2 ) の公式で = 1 とおく・ 0d = 0. 微分公式▽・ ( ) = V4 ・ + V ・とガウスの定理を使って , ス・ V d = のス・ ndS ー の▽・ d の V ・ス 物体内に任意の領域をとり , それを囲む閉曲面 ( 境界 ) を s とする . 内にた くわえられる熱量の時間変化は ,

( 3 ) と ( 4 ) より , 3 dS = ガウスの定理 = 4 な 5 ー 4 99 ( 5 ) ( 2 ) と ( 5 ) をまとめたものが , ガウスの積分である・ この結果は , S が球面ならばすぐに 証明できるが , いまは任意の閉曲面 s に対して証明されたことに注意しよう・ Ⅲ日日ⅱⅢ日Ⅲ日日日日ⅡⅢ日日日日ⅱⅢⅢⅡⅡⅡⅢⅢⅢ日Ⅲ口 題 5 ー 4 日ⅢⅢⅱⅢⅢⅡⅱⅱⅡⅡⅢ日日日日日ⅡⅡ日日日日日日日Ⅲ日ⅱ日 [ 1 ] 1 辺の長さが 1 の立方体レを右図のようにおく・その表面を s とする・面積分 ス・れ dS , = 工リ 2i ーリ zj 十 622 ん について , ガウスの定理を確かめよ・ [ 2 ] ガウスの定理を使って , 次の面積分を計算 せよ . ( 1 ) = な + 切 j + c ( な , わ , むは定数 ) のとき , 原点を中心とする半径の球面上での 4 の面積分・ 0 ( 2 ) ェ = 0 , = 0 = 0 , ェ = 3 , = 3 , 2 = 3 で囲まれた立方体の表面を s とするとき , でのス = ェ + ェッ j 十 2 んの面積分 . [ 3 ] 次の式を証明せよ・ S 上 ( ▽ x ス ) ・れ dS = 0 ・ V の d / = ( 2 ) ▽の d / = 4ndS ( 3 ) ndS= 0 ( 4 ) の・ ndS— [ 4 ] 次の 3 つの物理条件を用いて , 熱伝導方程式 4V ・ス d = ん V 切 ( んは熱拡散率 ) を導け・ ( 1 ) 物体内部にたくわえられる熱量 Q は , 密度を p , 比熱をび , 温度を可ェ , リ , 2 , のと して , Q = p びで与えられる・ただし , 竊びは定数とする・ ( 2 ) 熱流 J は温度勾配に比例する : J= —KVu, K(> のは熱伝導率 . ェの法則という・ ( 3 ) 物体内には , 熱のわき出し , 吸いこみはない これをフーリ

5 ー 4 ガウスの定理 5 ー 4 ガウスの定理 97 ガウスの定理体積を囲む閉曲面 ( 境界 ) を s とする ( 図 5 ー 5 ) . s の内部か ら外部に向かう単位法線べクトルをで表わす . このとき , べクトル関数 , のに対して , 員•ndS = ▽・」 d ( 5.15 ) が成り立っ . 面積分と体積積分を関係づける , この積分定理をガウスの定理ま たは発散定理という . ガウスの積分 トルを r とする . dS 図 5 ー 5 閉曲面 s があるとき , s 上の点の原点 O に対する位置べク つぎの面積分をガウスの積分という . ( 原点 O が曲面 s の外 ) ( 5.16 ) 4 ( 原点 O が曲面 s の内 ) 発散の物理的意味微小体積」とその表面」 s に対するガウスの定理より , ▽・ = lim 皿→ 0 」 1 員•ndS ( 5. 17 ) åS この式の右辺は , 表面」 s から流れ出る ( 単位体積当りの ) べクトルの流束を表 わす . V ・がある点 P のまわりで正ならば , そこから流れ出す流束は正であ り , 点 P をわき出しという . 同様に , ▽・員が負ならば , 吸い込みという .

[ 3 ] 面 DGFE ではれ = も工 = 1. したがって , ・ ndS = DGFE 面 BAOC ではれ = ーもェ = 0. したがって , BAOC 同様にして , 162 = 0 = 3. 問題解答 1 1 1 ( 3 ーリ 2j 十 2 ん ) ・滬リ = 1 3 32 2 1 ス・ ndS ・ dS = ス・れ S = 1 , E F A B ス・ dS = 0 COGD 4 ・ ndS = 0 FGOA CDEB 以上をまとめて , よって , 例題 5. 4 の 1 ) より , ( ェ 2 十 2 リ z 十 22 ー 2 ソ S = 5 3 2 ス・れ S = ー十 0 十 ( ー 1 ) 十 0 十 1 十 0 = 3 2 [ 4 ] 平面の方程式は , z=f(), の = 2 ー 2 ェー 2 リ . ゆえに , [ 1 + ( 明 D ェ ) 2 + ( 明の ) 2 ] 1 / 2 [ ェ 2 + 2 リ ( 2 ー 2 ェー 2 の + ( 2 ー 2 ェー 2 の 2 」 3 ( 5 ェ 2 ー 4 リー 8 ェ十 4 ェリ十 2 ) 3d 工 上の 2 重積分を累次積分で計算する・ ( は 3 角形 OAB) 1 3 0 問題 5 ー 3 ( 5 ェ 2 ー 4 リー 8 ェ十 4 ェ十 2 ソリエ ( ー 3 ェ 3 十 7 ェ 2 ー 4 ェソェ = 0 ー 5 / 4 [ 1 ] ( 1 ) = 5 ェッ十ェ 2 の一の , Q = ェ 5 十ェッ 2 ー 5 ェの . DP / D リ = 5 ェ 4 十 3 ェッ 2 ー 5 の = DQ / だから , 例題 5. 5 に示した定理により , 線積分の値は途中の路の選び方によらない・ ( 2 ) 途中の路の選び方によらないので , 次のようにする・ ( 0 , 1 ) から ( 3 , 1 ) までェ 軸に平行に行き ( 路 CI ) , ( 3 , 1 ) から ( 3 , 5 ) まで軸に平行に行く ( 路 C2 ). CI では 0 ミエ ミ 3 , リ = 1 , = 0 , C2 ではェ = 3 , = 0 , 1 ミミ 5 だから , 求める線積分は , 5 ー 7035 ( 5 ェ 4 十ェ 2 ー 1 ソェ十 ( 35 十 3 ツ 2 ー 15 のソ = 249 ー 7284 [ 2 ] ( 1 ) OA では 0 ミエミ可 2 , リ = 0 , = 0 だから 1 [ ( 0 ー sin ェ ) ー 3cos ェ・ 0 ] Sin 工 d 工

を , s 上の員の面積分という . 面積分は次の性質を持っ . 1 ) 曲面 s の法線べクトル瓰を逆向きにした曲面を S とする . 90 S = 5 多重積分 , 線積分 , 面積分と積分定理 に点 ( 叨 , (I) を選び , 積和 0 」をつくる . 各 JSI が 0 に近づく とする . 曲面 s 上のすべての点で 1 価連続な関数をェ , のとしよう . 」上 ・ , ののれ個の領域に分割し , その上に立てた直方体が切りとる面積を」 ( 図 5 ー 3 ) . 曲面 s の面への射影を領域とする . 領域を面積」川 ( / = 1 , ように分割の数れを大きくするとき , その極限値を 〆ェ , 2 ) お と書き , s 上の發 , 2 ) の面積分とよぶ . ( 5. 11 ) また , スカラ 3 凶月一 = 凶ズ図 ー積 ( ェ , 2 ) ・れ ( れは曲面 s の単位法線べクトル ) の面積分 図 5 ー 3 員・れイ S = 書く . ・れ S = •ndS —S とも 巧と V2 を 2 ) 閉曲面 s で囲まれた領域を , 2 つの部分塚に分ける . 囲む閉曲面をそれそれ SI , S2 とする . ・れイ S = ・れ dS 十 ・れ S

166 問題解答 左辺 = ▽ ) ー ( ▽・ス ) K. したがって 右辺 = 5 よって , ①と②より , ストークスの定理が成り立っている・ [ 2 ] ( 1 ) ▽を = [ ▽ x ( ▽の ] ・ ndS= 0 お = 0. ( 2 ) 微分公式 Vx ( の 4 ) = x ス + の▽ x スを用いる . ( x ) ゐ + ▽ x ス ) ・れお CV x ( ] ・ s ( 3 ) 任意の一定べクトルを K とする . べクトルス x K に対してストークスの定理を ・い xK ) = [ ▽ x い xK ) ] ・れゐ . 両辺を次のように書きかえる . 適用する・ 徴分公式 vx い xK ) = ( K ・▽ー K ( ▽・ストい・ v ) K + 4 ▽・ K ) により , Vx(AxK)=(K ・ K ・ ( x ス ) = K ・ x ① ところが , ヒントの公式を用いると , 等式 K ・ C( xV ) x = ( 小 VXK ・ ) + K ・ x ( ▽ x ス ) ト ( K ・れ X ▽・ス ) = [ V い・ K ) + ( Vx ス ) xK ー ( ▽・ス ) ・ = [ ( K ・▽ー ( ▽・・れを得る . よって , ①と②より , x ス = [ 3 ] ( 1 ) 右辺 = K ・ ( れ x ▽ ) x お ② K ・ x ス = K ・ @x ▽ ) x スお . K は任意に選んだべクトルだから , ( x ▽ ) x スおを得る・ U(), のを偏微分する・ OU = 4 ( ェの dx 十月 y ( な , , の ' 0Ax ( ェ 2 ) OAy(), 鰺 2 ) ' 0Az ( ェの O / な , 2 ) = 4 ( ェ , リ , の一 4 ( 4 , の + 町な , リ , の一 4 ( な , わ , 2 ) + 4 ( な砌 2 ) = 4 ( ェ 2 ) + 4 ( な , わ , の + 4 , わ , の d ェ十 y ( な , の

( 2 十 22 ) j 十 ( 十 2 工ー 22 ) ん . ( ▽ x ス ) ・れお = ( ▽ x ス ) ・お = ( ▽ xA ) ・れゐ = (VxA) ・ ndS= ( ▽ x ス ) ・れ dS = 以上をまとめて , dQ po— d / 一方 , 単位時間に s を横切ってから流れ出す熱量は 十 0 ー 8 ー ・れ dS = 問題 5 ー 5 谺 式を得る : は任意に選んだ領域だから , しかし , 熱のわき出しも吸いこみもないから , ▽・ JdV V ・ JdV = 0 袒びーー d 十 p び O 可の + V ・ J = 0. = ー KVu を代入して , ーー▽・ J = ん V24 , Pä 165 熱伝導方程 PO [ 1 ] c は正方形の周 OABCO である ( 右図 ) ・ ・十・十ス・ OA CO 十・ = A B ェ 2 十 4 リ BC C 3 十ェ 2d ェ十 0 ーー十 8 ー を S2, 面 GFED を S3, 面 CDGO を S4, 面 OGFA を S5 とする . ▽ x = ( 2 ーエの i + S は立方体の表面から正方形 OABC を除いたものである・面 ABEF を SI, 面 BCDE 0 ( 2 ー 2 の = 8 ー 8 = 42 + 22 ) d リ ( 2 リ十 2 ェリー 4 ) = 8 十 8 ー 16 = = 2 8 十一 dy 2 リ z エ 22 16 16 ( ▽ x ) ・れゐ = 0 十 2 8 十一

16 う ェ = 可 2 , 0 ミリミ 1 だから , AB では , C(2 ー 1 ) ・ 0 ー 0 ] リ = 2 ェを , = ( 2 をソェで , ェは可 2 から 0 まで変わるから BO では , 0 6 4 ェ 工 d 工ーーー℃ OS 工 d, 工 よって , C に沿っての線積分は , ー 1 + 0 + 1 ー可 2 + 6 は = ー可 2 十 6 は・ ( 2 ) 平面におけるグリーンの定理を用いて , C(2y—sin ェソェー 3 cos 工」 - ー ( ー 3 cos ェ ) ー ( 3 sin 一 2 沌 ( は 3 角形 OAB の内部 ) 応 / 2 ( 3 sin ェー 2 ) dx (2y—sin ェ ) 4 ェ 2 工 / た 6 ーーエ Sln 工ー 0 0 0 5 もちろん , ( 1 ) の結果に等しい [ 3 ] 召=君i + Qj, A=Bxk=Qi—Pj, = d 十 d 万とおく・ 曲線 c の接線べクト ルを t = 明ホとかく ( 右図 ) ・ dr 曲線 c の単位法線べクトルをれ ( 外向き ) とすると , t = ん x れ だから , + Q = み・体 x れソ s ・れホ 0 DQ DP よって , 平面のグリーンの定理 ( + Qd の = DQ DP ▽・ス d 次の形になる・ dR は , 問題 5 ー 4 [ 1 ] 面 ABEF では , れ = れェ = 1 , dS = . よって , ・ ndS 1 1 3 1 0 0 ABEF

98 5 多重積分 , 線積分 , 面積分と積分定理 例題 5.6 閉曲面 s 上の点の位置べクトルを r = + 万 + 2 んで表わす・ s の内部から 外部に向かう単位法線べクトルをルとする・ガウスの積分 ( 原点 O が曲面 S の外 ) dS = 4 な ( 原点 O が曲面 S の内 ) を示せ・ [ 解 ] 原点 O が閉曲面 s の外にあるとき ( 図 1 ( a ) ). s によって囲まれる領域内の すべての点で / 半 0 であり , 0 半の ( 問題 4 ー 4 , 問 [ 1 ] の ( 4 ) ). よって , ガウスの定理を用いて , dV = 0 ( 1 ) ・ ndS = ( 2 ) 。 -3 ・ 030 = 」ロ【 (a) 原点 O は s の外 原点 O が閉曲面 s の内にあるとき ( 図 1 (b)). 点 O を中心として半径なの球面 S' を内につくる ( 図 2 ). いま , s と S ′で作られる閉曲面 s + S / を考 えると , 原点 O はその外にあるから , dS 図 2 S 十 S dS 十 dS = 0 ところが , 次のようにして , & に関する面積分は簡単に計算できる . S' においては / = な で , れは原点に向かっているから ( の定義は , 閉曲面 s + s ′の内から外へ向かう単位 法線べクトル ) , ぉ・れ = ー広したがって , dS = ( 3 ) ・ 4 な 2 ー 4 dS = ( 4 )

17 ろ よって , 町 / * の = れ月・町のが証明された・ 右辺 = = 1. よって , [ 3 ] ( 1 ) V2 ( 1 のの = 0 での振舞いを調べるために , 原点を中心とする半径の球 内で▽ 2 ( 1 のを積分する・ガウスの定理を使うと , 半径の球面 s での面積分になり , 人の〆ェー 1 dV = れ・れ ・ 4 な 2 3 ・ ndS また , / 半 0 ならば V2 ( 1 / わ = 0 ( 問題 ー 4 を得る・ただし , れは球面での単位法線べクトル・ 4 ー 4 の [ 1 ] ( 3 ) 参照 ) だから , ▽ 2 ( 1 の = ー 4 ( r ) ( 2 ) V2 ( 1 / ケー ) = ー 4 ( r ー均を用いる・ 1 ▽す r ) = 4 % 1 4 % 1 〆 r 2 1 〆 X ー 4 双 r ー r デ = 0 ( ェ半 0 ) , = ( ェ = の . [ 4 ] lim ーエ 2 / 2 び 2 e ーエ 2 / 2 。 2d ェ 。→ + 0 V2 び 〆ェ ) = lim / 。 ( のと考えられる・ び→十 0 第 7 章 問題た 1 [ 1 ] ( 1 ) = ェ + け , = ェー ct と変数変換すると , = C24 , , より , 广 0. 7 よって , 向 , 叺のを任意関数として , 4 ( ェ , の = 〆ェ + の + 叺ェーけ ) ( 2 ) 非同次方程式の一般解 は , 同次方程式の一般解に , 非同次方程式の特解を加えたものである・ , = ェ 2 リの特解 は , ( 1 / 6 ) ェッ 2. これを , 例題 7. 1 の 4 ) で求めた一般解に加えて , 結局 , u@, の = ( 1 / 6 ) ェ 2 = 0. よって , 〆ェ ) , ん 1 ( のを任意関数として , 冢ェ ) + ん 1 朝 ) この非同次方程式の一般解は , 同次方程式″ , = 0 の一般解の 1 ( ェ ) + 麕 ( のに 工 Y 工 Y 工工 Y Y Uy = + , ら = 0 = の + Py ル の = U( ( ミのとど = エ , のをについて偏微分する・ とする . = エ , のとリを独立変数と考える・このとき , ェ = ( ミの . イエ , の = 可 2 ( ミの , えたものである . よって , 求める一般解は , 4 = 裔 ( ェ ) + 1 ( の + ) + ) ( 4 ) カ , 半 0 非同次方程式 = の ( ェ ) + ん 1 ( のの特解 4 + ェん物三 2 ( ェ ) + 2 ( のをつけ加