仕事 - みる会図書館


検索対象: 力学
71件見つかりました。

1. 力学

164 8. 質点系の運動量と角運動量 糸の張力を S とし , 釘を原点 にとって ( 8.6 ー 2 図 ) , 両質点の 座標を ( れ必 , 名 1 ) , 2 , 2 , 名 2 ) と する . PI , P2 が小さな変位を行っ たときの仕事は 十 S ーー 1 十 S ー亠 1 S ーー 2 十 S ユもの 2 十 S S ーユ 1 1 である . 糸の長さは一定であるから 仕 1 1 十め 1 十名 1 1 ) 十 Pl(C1,Y1,z1) P2 ( 工 2 , 42 , 2 ) 8.6 ー 2 図糸の張力と仕事 仕 2 2 十 2 2 十 2 2 ) イ % 1 十 2 22 十 22 十名 22 であるから 十 12 十名 1 , た % 1 十必第十新 % 2 十 2 2 十 2 2 である . したがって , ルの式の右辺の括弧の中は 0 となる . それゆえ d' ル = 0 である . (c) 質点系の一部に滑らかな面の触れあいがあるとき , で互いに作用しあうカの行う仕事 この触れあいの点 8.6 ー 3 図のように , 2 つの滑らかな面が触れあっているとき , 上の面に属す る接触点を PI , 下の面に属する接触点を P2 とし , P2 から PI に働く束縛力を 力は接触面に垂直で , 大きさ等しく , 方向反対である . SI, PI から P2 に働く束縛力を S2 とすれば , これらの である . 1 ー 2 は P2 に相対的な PI の変位で , ル = SI ・ 1 十 S2 ・イ r2 = SI ・ ( rl ーイ r2 ) PI の変位を 1 , P2 の変位を 2 とすれば , 仕事は 8.6 ー 3 図面の接触と仕事

2. 力学

78 5. 力学的エネルギー面積の原理 2 襯レ 2 1 は他の物体から質点に作用する力であるが , 質点からこの他の物体に作 用する力をお ' とすれば , 運動の第 3 法則によって ー襯 / 2 2 1 であるから つぎに位置エネルギーについて考えよう . 質点に働くカ X, Y, / が保存カ で , その代り接触面に熱が現われているのである . 現を使うことがある . このようなときには力学的エネルギーは減少するだけ なときにも運動している物体は摩擦力に抗して仕事を行うというあいまいな表 いる物体だけでこれが負の仕事をされているだけの話になる . しかしこのよう に仕事がなされるということはできない . このとき仕事をされるのは運動して する他の物体 ( 床とか地面とか ) は動かないことが多いがこのときは床や地面 物体の運動をさまたげる力が摩擦力のときには , 考えている物体に力を作用 るまでに外の物体に ( 1 / 2 ) / 2 だけの仕事をすることができる . 質量の物体が速さ / で運動しているときには , それが止ま 体の受ける仕事である . それゆえつぎのようにいうことができる . と書くことができる . 右辺は考えている質点に働いてその運動をとめる他の物 のときには öU öU öU であるような U 仕 , 必名 ) が存在するから , ル = U(PI)— U(P2) る . 質点に働く保存力が仕事を行っただけ位置エネルギーが減少す エネルギーの減少量であるから となることは ( 5.1 ー 10 ) で示した . 右辺は質点が PI から P2 にゆく間の位置

3. 力学

166 物学 0 (a) 8. 質点系の運動量と角運動量 P2 である . 滑車が回転すると きには PI, P2;PI', P2' は 1 1 2 8.6 ー 5 図滑車に糸がかかっているときの仕事 はそれぞれ等しい変位を行 うので仕事は 0 となる . 以上述べたいろいろな場 合 , すなわち , 束縛力が仕 事をしないとき , 場合場合に応じて滑らかな束縛とか固い束縛とかよ ぶ . または一まとめにして滑らかな束縛とよぶこともある . このような場 合はよくでてくるのであるが , そのときには質点系の運動エネルギーの増加は 外力の行う仕事に等しい . つぎに内力が仕事を行う場合の特別な場合として , 内力がポテンシャルを持 っときを考えよう . / 番目と々番目の質点間に働く力がポテンシャル U ん . , Uzk から導かれるものとする . ー gradz Ukz gradk U. ん grad の記号にれ々を添えてあるのはそれぞれ rt , なにつき勾配をとるという 意味である . 成分を書けば , ö Uzk Xkz ö Ukz Xzk U ん . , 仏んが両質点の距離なだけの関数とすれば , U れ Xkz んöxz 第 3 法則によって U 筋ーれ Xzk 十 Xki = 0 イ U れ であるから したがって , イ U d Ukz 定数を除いて ,

4. 力学

8.6 質点系のエネルギー ( 8.6 ー 2 ) 163 化や , 角運動量の変化を考えた場合のように , 内力が消えてしまうとは限らな 力もあれば内力もあるが , 一般にどちらも仕事を行うのであって , 運動量の変 とは . 1 の ( 5.1 ー 6 ) で学んだ . 質点系内の 1 つの質点に働く力としては外 各質点の運動エネルギーの変化はこれに働いている力の行う仕事に等しいこ ーんキ i ( 2 ) T2 ー TI = 外力の行った仕事 + 内力の行った仕事 い . 質点系の運動エネルギーが TI から T2 に変わったとすれば 上に述べたように カ縛条 ムには 0 となる . つぎにこれをあげよう . ( a ) 2 つの質点間の距離が変わらないように束縛されているとき , 互いに 作用しあうカの行う仕事 質点を PI, P2 としその距離 PIP2 が変わらないように束縛されているとす る . PI から P2, P2 から PI におよば & 1 ・ 1 十 2 ・ r2 仕事は が 2 だけ動く間にこれらのカの行う す力を 2 & 1 とする . PI が rl , P2 = 2 ・ ( 2 ー 1 ) = お 12 ・ ( r2 2 ・ r12 rl ) ( 第 3 法則を使って ) O (a) 8.6 ー 1 図第 3 法則と仕事 r12 の大きさが一定であるときには 8.6 ー 1 図 ( b ) の示すように r12 は r12 に ことなく運動するとき , 糸の張力の行う仕事 (b) 2 つの質点が滑らかな釘や輪にかけた糸で結ばれていて , 糸がたるむ はない . ら , 剛体が運動してもその内力によって運動エネルギーが変化するということ たとえば , 剛体ではこれをつくっている各質点間の距離が変わることがないか 直角である . したがって , 2 ・ r12 = 0 でお 12 と & 1 の行う仕事は 0 となる .

5. 力学

[ 例 ] [ 解 ] ( 5.2 ー 5 ) ( 5.2 ー 6 ) ( 5.2 ー 7 ) を加え合わせたものとみることができるが , ( 5.2 ー 3 ) を考えるとこの式はカ F(), Y, Z) と , 変位 ( , , ) とのスカラー積になっていることがわ 5.2 質点に働く力の行う仕事 ( ス・ B ) 2 = ス 2B2 はどんなときに成り立つか . 瓦 B の角が 0 または応のときに成り立つ . ( 5.2 ー 1 ) のルは微小変位に対する仕事 イ ' ル = Xdx 十 Ydy 十 Z ( 5.2 ー 4 ) 77 かる . したがって , と書くことができ , と書くことができる . ( 5.2 ー 4 ) は また ( 5.2 ー 1 ) は そして ( 5.1 ー 6 ) は 1 2 ー協 2 ー協 2 1 2 となる . に等しい 質点の運動エネルギーの増し高は , これに働く力の行った仕事 こで定義した仕事という量を使って ( 5.2 ー 7 ) を言葉でいうと してよいのであるが , そのようなことが起こるのは保存力のときだけである . というわけにはいかないからである . もし , U という量の増し高ならば U をⅣと書いてと 微小仕事をイ ' Ⅳと書いてイⅣと書かなかったのは , 一般に ( 5.2 ー 4 ) の右辺がある量の増し高 , 協 = 0 とおいて , をおよぼすものが質点とともに動いているものとしよう . ( 5.2 ー 7 ) で協 て止まってしまうときを考える . そのときは協 = 0 となる . また , 質点にカ ( 5.2 ー 7 ) で協 = / とし , 質点が他からカを受けながら速さが小さくなっ もう少しくわしくしらべよう . つ . このように仕事という量はエネルギーと関係の深いものであるが , これを ことになる . これはもちろん , 力が保存力であってもそうでなくても成り立

6. 力学

230 10. 仮想変位の原理 これから加えられたカ , または既知力と名づけよう . 束縛力は , この加 えられたカと束縛条件とからつりあいの式を通してはじめてきまるもので , 通 常未知量である . / 番目の質点に加えられた力を Fz(xt, Y. , 乙 ) とし , 束縛カ を & ( S れ , S , S 幻 ) とする . Xz 十 Sxt = 0 , である . つりあっているのであるから明らかに 十 Syz = 0 , 乙十 Szt = 0 ( 10.2 ー 1 ) いま , つりあい位置から各質点について束縛条件を破らない範囲の小さな変 位 , すなわち仮想変位を考え , これを , , 6 必 , . としよう . 石 , 6 必 , . は体系の構造上許される変位をとるのであり , またどのような変位が可能かと いうことが体系の力学的構造の表現でもあるのであるが , いまこれらの仮想変 位に対して , それと力とのスカラー乗積 , すなわち仕事の形の式をつくってみ る . そのときの加えられたカと束縛力との行う仕事は Ⅲ = { ( X , 十 S , , ) . 十 ( Y , + S ⅵ ) 6 必十 ( 乙十 S ) 6 る } ( 10.2 ー 2 ) 質点系の力学のところで述べたように , 質点の移動に対して束縛力が仕事を しないことがよくある . そのときは , ( 10.2 ー 2 ) の束縛力に関する項は消えて ( X 浴 %. 十 Y 浴必十乙 . ) = 0 ( 10.2 ー 3 ) となる . すなわち , 質点系について考える任意の仮想変位 , , 6 必 , 6 に対 して加えられたカの行う仕事は 0 である . このときの仕事 ' を仮想 仕事とよぶ . 逆に任意の仮想変位に対して , 束縛力が仕事をしないような体系の場合 ( 10.2 ー 3 ) が成り立っときには , その質点系はつりあっていることを証明でき る . なぜならば , もしつりあわないとすると , 各質点は実際に動きだすはずで あるが , / 番目の質点の加速度をイ 2 石 / 市 2 , 2 必 / 襯 2 , イ 2 / 2 * とすれば = Xt 十 Sxt, = 十 Syt = 乙十 Szt ( 10.2 ー 4 ) いま , 実際に動きだすときの時間的経過を考えているのであるから " でなく " 心を使う .

7. 力学

235 い 0.3 つりあいの安定と不安定 持って , いままでと等しいカ S で同じ方向に引張ることにしても全体のつりあいに は無関係である . そのようにしておいて , 全体に仮想変位を行わせてみる . AD,BC がだけ傾くような変位を考えると , E 点は〃だけ , F 点は 2 O だけ , H 点は aö0 だけ鉛直下方に変位する . 水平方向の変位はいの 2 の程度であるから考えに入れ なくてよい . 2 ル 46 日十ル・ 2 日 = 4 ル 46a 重力の行う仕事 Sa E に働く S の行う仕事 ö0 2 ー Saö0 F に働く S の行う仕事 したがって , 全体の仮想仕事は ル = 4 ル〃 6 日十 4 6 日一 SaöO = 0 S = 4 ル この問題で仮想変位の原理を使わないで , 棒 AD,CD, BC のつりあい条件を別々に書いてから S を求めても よい . AD, DC, CB を図のように別々に書き , 固定点 A, B で AD, BC に働くカ , ちょうつがいで棒が互いにおよ ばしあうカ , 糸の張力を書き込む . XI, ・ X4, YI, ・ , Y4 , S は未知量である . これに対して , 剛体のつ りあいの方程式 ( 9.1 ー 8 ) を 3 個ずっ , 全部で 9 個書い ・ , Y4 の 8 個を消去して S を求める . て , XI, このように仮想変位を使わないと , 結局は消去する必要のある束縛力を一応 使わなければならないので , 計算はこみ入ってくる . 仮想変位の原理の特長の 1 つは不要な束縛力を使わなくてすむこと , 他の 1 つは仕事がスカラーである ため , 加えるのに代数的に加えるだけでよいことである . 10.3 つりあいの安定と不安定 質点系に加えられたカが保存力である場合に , つりあいが安定であるか , 不 安定であるかがいろいろな場合問題になる . 加えられたカに対する位置エネル ギーを U とするとき , つりあいの条件は 10.2 ー 4 図

8. 力学

232 10. 仮想変位の原理 これを仮想変位の原理または仮想仕事の原理とよぶ . てこの場合について説明しよう . 10.1 ー 1 図と同様な図をもう一度描く ( 10.2 ー 1 図 ) . てこの両端 A, B で鉛直下方に大きさ p, Q の力が働いているものとする . そ のつりあい条件は剛体のつりあい条件から Pa = Qb ( 10.2 ー 8 ) B 10.2 ー 1 図てこ 6 A' Q であることはもちろんであるが , この関係式 を仮想変位の原理から求めてみよう . この場合 , C で支えられているということ が束縛条件であるから , これを破らないよう に小さく動かすとき , A,B 両端 ( 力の作用す る点 ) がどれだけ動くかを考える . 微小な角 だけ C のまわりに回したとすれば , A は だけ下に移動し , B は硲日だけ上に移動する . したがって , p の行う仕事は , Q の行う仕事は一 Q 硲 0 である . それゆえ , 全体の仮想仕事は ル = + ( ー Q 硲の = ( ー Q の となる . つりあいの条件は任意のに対して ' Ⅲ = 0 というのであるから , Pa = Qb すなわち , ( 10.2 ー 8 ) と一致する結果が得られる . ( 10.2 ー 3 ) のつりあいの条件式の出しかたからも , また上のてこの場合の 扱いかたからもわかるように , 私たちは , 体系のあらゆる点の動きかたを知る 必要はなく , 加えられたカの着力点の動きかただけを知ればよい . つまり , 仮 想変位の原理は , 加えられたカと体系の構造上許される着力点の変位との関係 としてのつりあいの条件を与えるものということができる . 仮に動かして仕事 をさせてみるといってもよいが , これでは言葉が少し足りない感じがする . 動 かしてみるというのは , つりあっているかどうかには無関係にその体系の構造 をみるためだけのものである . てこの場合についていうと , CA = 〃 , CB = わであるというのと , A が aö0 下に移動すれば B は硲だけ上に移動すると いうのとは同じことで , もっと複雑な体系の場合はあとのいいかたの方が理論 を簡単にするのである . この仮想変位と加えられたカとのスカラー乗積をつく

9. 力学

8.6 質点系のエネルギー 165 からみれば PI は接平面の方向に動くのであるから 1 ー 2 は接触面の法線 方向に直角で , SI に直角となる . したがってル = 0. この場合 PI と P2 と が一致しているからという理由で 1 = r2 であるとしてはいけない . 一方は 他方に対して滑ってずれてゆくのである . (d) 質点系の一部に粗い面の触れあいがあって滑らずに転がるとき , 触れ あいの面が互いに作用しあうカの行う仕事 8.6 ー 4 図のように , 2 つの粗い面が触れあうものとし , おのおのに属する触 れあいの点を PI , P2 とする . 束縛力を SI , S2 とすれば , SI 十 S2 = 0 であるが , その方向は一般に面に 垂直ではない . いま , 面に角をつ けた図 ( b ) を考えると , PI と P2 とが接触している間は PI, P2 は 離れず面は回転し P 驫 P / が接 触してはじめて PI, P2 が離れ , (b) 8.6 ー 4 図滑らずに転がる接触の仕事 今度は PI', P2' が接触してこれらのまわりに両面が互いに動くというように運 動してゆく . このように , PI , P2 が接触している間は , 離れずに動くのである から rl = イ r2 である . したがって , & S2 の行う仕事は ル = SI ・ rl 十 S2 ・ 2 = ( & 十 S2 ) ・ 1 となる . 摩擦があって滑りながら転がるときには SI 十 S2 = 0 であるが , 1 と 2 とは等しくないから摩擦力は仕事を行うことになる . ( e ) 糸が滑車にかかっていて , 滑車との接触が粗く糸は滑車面に対して滑 らないとき束縛力の行う仕事 ( d ) の場合と同様に滑車に角をつけてみると考えやすい ( 8.6 ー 5 図 ). 図 ( b ) で糸と滑車が離れる点の滑車上の点を PI , PI 気糸の上の点を P2 , P2 ' とす る . PI, PI' に糸から働く力を SI, SI' とし , P2, P2' に滑車から働く力を S2, S2' とする .

10. 力学

9.3 剛体の慣性モーメント 185 を使い , また で微分すれば ( 9.3 ー 1 ) ( 9.3 ー 2 ) 2 = であることを考えに入れて , 上の式を一 / 十 ( 1 十 2 ) 〃 2 2 ( 1 ールル が得られる . エネルギーだけを使ったのでは , 束縛力である糸の張カ SI , S2 は出てこない . 剛体に働く力の行う仕事を計算しておこう . 9.2 ー 5 図で Pt に (). , Y. ) が作用していて , 剛体が だけ回るとしよう . Pt の座標 ( 石 , 必 ) は rz• COS ら Yi = S1n で与えられるから , = の回転に対して石 , 必は COS = 石イ sin ー必 dp モーメント 9.2 ー 5 図剛体に働く力の だけ変位する . したがって , (Xz, (z) の行った仕事は X 記石十の . = ( %. Y. ー YiXz)dp となる . このの係数はちょうど力のモーメントⅣーになっている . それゆ え , 全体のカの行った仕事は ( 9.2 ー 8 ) となる . ル = [ . v. ー共 & 月 dp = Ⅳ 体の慣性モーメント 質量分布と軸とが与えられれば , この軸についての ( またはこの軸の / = M 2 で与えられる . 剛体の全質量を M とするとき , まわりの ) 慣性モーメントは ( 9.2 ー 3 )