は , 単位時間に何回往復するかを示すもので振動数とよぶ . 振動の数で角振動数とよばれる . [ 例 1 ] 振幅 10cm , 振動数 2s ー 1 , 初相 0 の単振動を式で表すと , % = 10COS ( 4 ) となることを示せ . し , 半径 / の円周上を一定の角速度ので運動する点 P の座標は 等速円運動の加速度を求めておこう . 1.4 ー 2 図のように , 原点 0 を中心と 影の運動は , 単振動ェ = cos ( ) であることを示せ . [ 例 2 ] 半径の円周上を一定の角速度ので運動する点の , 1 つの直径上の正射 16 となる . = の ( 1.4 ー 21 ) 1. べクトル速度加速度 T ー 2 兀 ( 1.4 ー 19 ) のは時間 2 の P ( ェ , の P00 O Q = sin ( の十 ) % = cos ( の十 ) , で表される . 加速度を求めれば ( 1.4 ー 16 ) と同 ( 1.4 ー 20 ) となる . したがって つまり , P から 0 の方に向いてい と一致することがわかる . また ( 1.4 ー 20 ) の右辺 まず加速度の方向は半径 OP の方向 となるから , 1.4 ー 2 図等速円運動と単振動 に負の符号があることから OP と逆向き , ることがわかる . 大きさは で与えられるから である . また , P の速さ / は 2 2 1 / 2 2
としよう . 第 7 章 の項は消して , 問 qE 題 イ 2 ぎ 149 ( 7.6 ー 3 ) となる . これは電場だけがあるとしたときの運動方程式である . それゆえ , 帯電粒子が電場の下に運動するとき , 名軸の方向に磁場 B が 加わると粒子の運動は磁場のないときの運動を , 軸のまわりに この定理は原子に磁場が加わるときなどに使われる . これをラーマーの歳差運動とよび , ( 7.6 ー 2 ) ののんをラーマー周波 ー qB/ 2 の角速度で回したものになる . 数とよぶ . の 第 7 章 問 題 1 . 一定の加速度〃で水平な軌道上を直線運動している列車の中で , 天井から質量 襯の物体を糸でつるすとき糸の張力と糸が鉛直とつくる角とを求めよ . 2. 一定の加速度〃で水平な軌道上を直線運動している列車の中で , 物体を静かに 放すとどんな運動を行うか . 3. 加速度 4 で水平に運動する滑らかな斜面 ( 水平とつくる角のの上にある質点 ( 質量襯 ) の斜面に相対的な加速度と斜面からの抗力はどれだけか . 4. 頂点を下に向け軸のまわりに一定の角速度ので回転する滑らかな放物線に束縛 された質点の運動をしらべよ . 5. 1 つの滑らかな平面が , これとその上の点 O で交わる鉛直線 ( 鉛直線と平面と の角は任意 ) のまわりに一定の角速度ので回転している . この平面に束縛された 質点が 0 から初速度 0 で動き出すとき , 回転軸から乙 O から鉛直下方に測ってん だけ低い高さにあるときの平面に相対的な速さは / 2 = 尸の 2 十 2 で与えられる ことを示せ . 6. 地球表面上で鉛直な滑らかな直線に沿って / の速さで運動する質点が直線にお よばす力を求めよ . 7. 北緯スのところで , 1 つの質点が真南から東にはかって日の角をつくる滑らか
1. べクトル速度加速度 12 クトルである ということができる . 速度べクトル / のあめ方向の成分を 4 ュ , とすれ ば , ( 1.3 ー 1 ) から Ax 4 佐 = lim ( 1.3 ー 2 ) はそれぞれ元 , 立ゑと書くこともある ( ニュートンの となる . 己法 ). 同様に任意のべクトルスに対しては ( 1.3 ー 3 ) [ 例 ] 半径の円周上を中心 O のまわりに一定の角速度ので回る点 P の速度べク トルを求めよ . [ 解 ] 速度べクトルの方向は明らかに円の接線方向で点の進む向き , 大きさは / または円の中心 0 を原点とする座標軸ぁをとり , OP と軸のつくる角をと すれば 工 = COS , = のであるから , 速度成分ュは = X の S1n = = の COS = の このような成分を持つべクトルは , 大きさ / = で方向は接線方向を向いている . 1 .4 加速度べクトル 1 つの点 P の運動を , 1 つの基準体 ( またはこれにとりつけた座標系 ) に よって記述する . 1.4 ー 1 図に示すように , P がある道筋を描いて , P という 位置にきたときの速度を V, それから少し時間がたってⅣにきたときの速度 をとする . べクトルの計算法によると / との差を」 / とし , この 」 / を時間の差」 / で割ったものをつくる . これを図で考えるのには , 1.4 ー 1 図 ( b ) のように 2 つのべクトル V, を共通の点 C から引いて CQ , CQ とし , QQ をつくれば , これが」 / である . 」 / を無限に小さくしたときの 」曜謝の極限のべクトルを基準体からみた P 点の加速度 ( べクトル ) と名 1 三ロ = S1n
334 問題解答指針 加速度はーである . 人には板から大きさ / のカ ( 板からの摩擦カ ) が働くと する . 人の運動方程式は襯 ( 住ー田 = / , 板の運動方程式は Mß = / これらの式から M 十 鎖の加速度を住とすれば mM M 十 2. 4. 3. Ma = F, 2 後端 A からの距離にある点での張力を S とす れば , AP の部分に働く力は P の右側から左側 に働く s である . AP に対する運動方程式は M 住 = S. この解き方のように , 与えられた体系の一部分に着目してこれに対して運動方程式 を立てることは力学ではよく行われる . したがって S = F ー 4 = 定数 惑星の運動方程式を立てる . 角速度をのとすれば襯の 2 = ん , ん : 定数 . T2 2 であるから MG : Ms : とすれば 4 銀河系の総質量 太陽の質量 太陽から銀河系の中心までの距離 MG R Vs2 = 1.3 x 1011 Ms ー 2 ( 通例 , 太陽と地球の距離 太陽系の銀河系内の速度 太陽のまわりの地球の運動 の速度 2 x 1011 とされている . ) 5. 0.013 s ( パルサーとよばれる量は中性子星と考えられているが , 周波数は 30 s-l ぐらいのものが知られている . ) 第 3 章 1 . 浮力を P とすれば , 落下するときの運動方程式は Ma = Mg ー P. 質量襯の 砂袋を落とした後上昇するときの運動方程式は ()— m)a=P—(M—ル . これらの 2 式から P を消去して加を求めると = 2 住 M となる . 2. 糸の張力を S , 1 の下向き , ルの上向きの加速度をとし , , ルの運動方 程式を別々に立てる .
ののべクトルのをとってこれを角速度べクトルと名づける . 剛体内の任意の点を P とし , その速度べクトルを / とする . p から角速度 202 9.7 ー 1 図 ( 9.7 ー 2 ) ( 9.7 ー 3 ) 9. 剛体のつりあいと運動 B' 固定点を持っ剛体の運動 まわりに剛体を回せば AB から A'B' に移すこ とができるから , 非常に短い時間内の剛体の回 転は一つの軸 OC のまわりの小さな回転である ことがわかる . 上の 2 つの大円の交点としては C の反対側に C' もあるが , 剛体の回る方向に 回る右回しのねじの進む方向が OC の方向に 一致するように C を選ぶものと約束する . OC のまわりの回転角をとすれば , 角速度は である . それで 0 ごの方向に大きさ べクトルに垂線 PQ を下す . P は Q を中心とする円を描いているから , である . それゆえ , ちょうど = の sin 日 乙 / POQ = 日として △ OPQ に直角で , 大きさは OP = は Vp = の X r ( 9.7 ー 1 ) になっている . いま , のをベクトル の平行四辺形の方法での 1 との 2 に分 解して , このの 1 , の 2 による P 点の速 度を考えれば / 円 = の 1 X r, 9.7 ー 2 図 の 2 X r となる . の であるから の 1 十の 2 = VPI 十 2 角速度べクトル ( 9.7 ー 4 ) である . つまり , の 1 による速度との 2 による速度とを合成したものがのによ る速度となるのであって , このことが任意の P について成り立つのであるか
9.8 オイラーの運動方程式 , 運動エネルギー の 1 ー ( 召ー C ) の 2 の 3 = 1 の 2 ー ( C ース ) の 3 の 1 = 2 の 3 ー ( スー召 ) の 1 の 2 = 3 ( 9.8 ー 10 ) をオイラの運動方程式とよぶ . オイラーの方程式はこの剛体上を角速度べクトルがどう動くかを与えるもの である . たとえば , 私たちの地球の自転軸について考えるのに この回転は何 度もいうように慣性系に対する角速度によって考えるのであるから , 恒星を見 て自転軸をきめなければならない . そこで , 北半球で恒星を見てそれが天頂を 中心として円運動を行っているように見えるならば , その場所が北極で , 地球 の中心とこの地点を結ぶ直線が角速度べクトルの方向である . この場所 ( 北 極 ) は地球表面上位置を変えてゆくが , その変わり方をしらべるもとになる方 程式がオイラーの方程式で , 自転軸が慣性系に対してどう変わるか , つまり , 北極の真上に見える星がどうつぎつぎに変わってゆくか , などという問題は の 1 , の 2 , の 3 を求めただけでは解けない . これについては 9.9 を見よ . 剛体の運動方程式を出したついでにエネルギーのことを述べておこう . 剛体 の角速度べクトルをのとすれば , 剛体をつくる各質点の速度は = の x ら で与えられる . したがって , 剛体の運動エネルギーは ( 添字 / はしばらく省略 する ) ー { 2 旗ッ 2 + 名 2 ) } のズ 2 + ーに名 2 + ズ 2 ) } 2 + ー { 2 仕 2 + 2 ) } の / ( ) の一 ( 2 れ ) のズー ( 2 ) のズ 209 ス召 O 一 ( 9.8 ー 10 ) 1 2
198 9. 剛体のつりあいと運動 = MuG2 ー MuG1 となる . 右辺は / X. = . にくらべて X 。。襯は小さいから , これを省 略する . したがって , ( 9.5 ー 1 ) , ( 9.5 ー 2 ) を一につき 0 から「まで積分すれば 4 4G2 ー 4 4G1 ( 9.5 ー 4 ) MVG2 ー MVGI = 2 ( 9.5 ー 5 ) となる . ( 9.5 ー 3 ) の左辺の積分は / ( G ) の 2 ー / ( G ) の 1 となる . 右辺の通常のカの 方の積分は省略できて , 撃力による力はこれが働いている時間 ( 「 ) 中石 ' , 必 は変化しないとみてよいから / ( G ) の 2 ー / ( G ) の 1 = ( 石 ' ー Yi'Xz) となる . [ 例 ] 静止している剛体上の一点 A に撃力を加えるとき , 剛体はどのような運動 をはじめるか . [ 解 ] 9.5 ー 1 図のように撃力 F が働くものと して , 重心 G からこのカの作用線に垂線 GO を 下す . GO = んとする . G は F の方向にの 速度で動くとする . ( 1 ) Mu = F また , 剛体がのの角速度で動き出すとすれば ( 2 ) I(G)(D = Fh Fh つまり , 重心は一一の速度で動き出し , またそのまわりに の角速度で回り出す . OG の延長上 G からの距離に O ' をとれば , O' の動き出す速度は 40 ′ = である . これは ( 9.5 ー 6 ) 9.5 ー 1 図 40 ′ となる . したがって Mh ならば。 , = 0 となる . そのような点 0 ' は撃力の働いた直後速度は 0 で , 剛体は最 初の瞬間 O' のまわりに回ると考えてよい . O から O' までの距離は
第 9 章 際の周期 T との間には , 近似的に 問 題 225 = 1 十一 の関係があることを示せ . 7. 8. 9. 一様な薄い長方形板の中心のまわりの慣性楕円体面の方程式を求めよ . 一様な円錐の慣性楕円体面が球面であるための条件を求めよ . 一様な球が 1 つの直径のまわりを一定の角速度で回っている . この球が冷えて 半径がはじめの値の 1 なになると運動エネルギーは何倍になるか . 運動エネル ギーの増加はどこからきているのか . 10. 中心を通る鉛直軸のまわりに自由に回ることのできる水平な一様な円板 ( 質量 M , 半径の周上に人 ( 質量剏がいて , 静止の状態から周囲に沿って歩きだし たとすれば , 人の板に対する相対的の速さがのとき板の角速度はどれだけか . 1 1 . 共通の軸のまわりに角速度の 1 , の 2 で回転している 2 つの剛体 ( 慣性モーメン トム , / 2 ) が急に連結されて 1 つの剛体になるとすれば , 運動エネルギーの損失は 1 ム / 2 ( の 1 ーの ) 2 2 ム十 / 2 であることを示せ . 12. 2 つの輪 ( 半径の , の ; 慣性モーメントム , / 2 ) が軸を平行にして並んでいて 角速度の 1 , の 2 で回っている . これらの輪が急にそのまわりについている歯でかみ あわされるとすれば , その後の角速度はどうなるか . 13. 粗い斜面 ( 水平とつくる角のを一様な球が転がり上がる . 球が滑らないとす ればどこまで上がるか . 初速度をとする . 14. 一様な球が角速度の 0 で水平な直径のまわりに回っている . これをそのまま静 かに水平な粗い平面の上におくとき , その後の運動はどうなるか . 15. 半径 4 の輪が水平面に対して一定の傾きを保って転がり , 輪の中心は半径 c の円を描いている . この運動のポールホード錐 , ハーポールホード錐を求めよ . 16. 輪がその重心を通る軸のまわりを回転しているが , 軸は輪に垂直についていな いで角 2 だけ傾いている . 軸の角速度をのとすれば , 軸承けは ( C ー ) の 2 sin 2 cos だけのモーメントの偶力を受けることを示せ . C , スは主慣性モメ - ン、トである .
当 9.8 オイラーの運動方程式 , 運動エネルギー 207 今度は′ j ' , 雇が時間とともに変わることも考えに入れなければならない . 十ズ , di ( 9.8 ー 5 ) となる . のの錞ぎ成分 , すなわち , 慣性系に対する ( % ' , 錞ぎ ) 系の角速 Vp = の X はかなーらない . そうすれば , ( 9.7 ー 1 ) によって の点を P とすれば i' は P の位置べクトルであるから , 市 7 は P 点の速度 ( 9.8 ー 3 ) とくらべると形の上で右辺の 3 項が余分についている . ′の先端 度べクトルのぎ方向の成分 ( 正射影 ) をの x , , , , , * とすれば , 成分は ( 1 , 0 , 0 ) であるから ( の x i')x' ( の X i ) = の考 , , それゆえ , 同様に となる . dA の J の x ワ の名十 十の これらを ( 9.8 ー 5 ) に入れて , の x の i 十 ( の x ′レ 十の名 , ス ( 9.8 ー 6 ) のズ , ス考 , 十の x 図・一 x , た すなわち , 正射影であることをはっきり述べた本文のような言葉使いの方が望ましい . かあいまいでわかりにくい . のが慣性系に対する角速度でのズ・などはこの角速度のズ ' 方向の成分 , のズ・ , ののを , ' , ぎ軸のまわりの角速度という言葉がよく使われるが , この言葉はいくら
132 7. 非慣性系に相対的な運動 勤 = ん 0 十十一 2 であるから , これを ( 2 ) から差し引けばエレベーターから みた運動が得られる . 1 2 ー朝 + の ( 3 ) % 0 となる . つぎに , 見かけの力を使う方法にしたがって , 慣性系でないエレベーターに固定し た座標系 ( O ' , ぎ ) だけを使う方法によって同じ問題を考 えよう . 質点に働く実際の力は重力襯 9 だけであるが , そのほかに工 レベーターの加速度と逆に , すなわち , 下向きに住という見 かけの力を考える . そうすれば ( O ' , ) 系は慣性系である かのように考えることができる . 7.2 ー 3 図でこの“見かけの カ”は点線で表してある . 石の運動方程式は 20 0 O' ( 4 ) 7.2 ー 3 図 となる . 初期条件は = 0 0 これにあうように ( 4 ) を解けば であるから , 1 ー朝 + の 40 な 工 2 となり , ( 3 ) に一致する . いまは 2 つの方法を比較するために ( O, ぁⅵ座標系と ( 0 ' , 立 ) 座標系を使ったが第 2 の方法を使うときには ( O', 新ァ ' ) 系を ( O,x , ⅵ ( 4 ) でみると , 加速度住で上昇しつつあるエレベー と書いても混乱は起こらない . ターの内部で物体の運動をしらべるときには , ちょうど重力加速度 9 が 0 + 4 に なったとし , 一方エレベーターは止まっているように考えればよいことがわかる . エレベーターの内部で振り子の運動をしらべるときも同様で , いま述べたことによ ると , 単振り子の周期は T = 2 ( 5 ) 40 , ( 6 ) 0 十 となる . 7.3 慣性系に対し一定の角速度を持っ座標系 (), ぁ必の系を慣性系とし , (), ) 系はこれと原点と軸を共通