3.7 静止流体の圧力 右辺第 1 項を左辺に移項し , 両辺をで割ると , = 卯 ( の が得られる . 温度一定の気体では p は第に比例する ( ポイルの法則 ) から , p = とおくと となる . これを積分して ー CgP 2 = 加 e ー Cg ( 3.15 ) を得る・積分定数加はえ = 0 ( たとえば地表 ) における第の値である . 圧力が加の 圧力の単位は N/m2=kg ・ m-l ・ s-2 で , これをバスカルといい , 記号 Pa で表 ール ) = 102 Pa は天気 105 Pa, 1 mbar ( ミ 1 bar 予報などに今でも使われている・そのほか , 水銀の lmm に対応する四ん (1mmHg) ときの密度を po とすれば , C=po/Po である・ わす . しかし , ハール (bar), 地表にいるわれわれはいわば大気の底にいるので , その大気の重さに相当す 行われている . Torr はトリチェリの名に因んだ単位名である . の値 ( 133. 322Pa ) を 1 トル (Torr) として , 気圧を 760T 。 rr などと表わすこともまだ る空気の圧力を受けている . この大気圧は大体 ー 1.013 x 105 Pa 標準大気圧 = 1013 ミリバール であって , 水銀 ( 密度 13.6 g/cm3) の 76cm 分の四んに相当する . 気圧ということもある . これを 1 流体の中に置かれた物体は , 面に垂直な圧力を受ける . 上に述べたように高 さによって圧力の強さが異なるため , 圧力の合力は上向きとなる . この合力を 浮力という . 浮力の大きさを知るには , 物体を周囲と同じ流体で置き換えた 場合を想定してみればよい . 置き換えられた流体は物体が受けていたと同じ浮 力を受けるはずであり , 同時に下向きの重力をも受ける . ところがこの場合 , 置き換えられた流体がそのまま静止を続けることは明らかであるから , 浮力と 重力はつり合う . したがって , 浮力の大きさは , 物体と同体積の流体の重さに 等しく , その作用点は物体を流体で置換したときの流体の重心と一致する . れをアルキメデスの原理という .

3.4 弾性体のエネルギー すれば , 棒を I から I 十までに伸ばすのに要する全仕事が求められる . 6 = (JI) 2 = ES 81 & は棒の体積 , JI/I= 6 は伸びの割合 , つまりこの場合のひずみである . この仕事は , 弾性体の内部に蓄えられていると考えられるが , いまの場合には ひずみは一様なので , 棒の単位体積あたり 2 / 2 のエネルギーが蓄えられて いると解釈できる . ひずみが一様でないとき も , 微小体積 dV をとればそこでは 6 は一定とみられるので ( 2 / 2 ) dV が の部分に蓄えられている弾性エネルギー である . 圧力を加えて圧縮する場合には , 3 ー 8 図のように物体表面を細分し , その一つ の徴小部分 ( 面積 (S) に着目する . の部分を 6 からさらにだけ押すと たとえば曲げた棒ーーで dS - pdS 3 ー 8 図一様な圧縮 レ十 d レ レ十」 V dV く 0 」レく 0 きに要する仕事はカカゐに動いた距離を掛けたカおであるが , ゐは であるから , さらに d 珉 < のだけ V を変化させるのに要する仕事は ているときの圧力は , ( 3.5 ) 式により カ = 0 で体積が協であった物体に圧力を加えて圧縮し , 体積が V になっ を dV だけ変化させるのに要する仕事は—pdV と表わせる . 縮の途中での体積変化 dV の絶対値になる . したがって , 圧縮の途中で体積 図の斜線部分の体積である . これを表面全体について合計 ( 積分 ) すると , 圧 となることがわかる . 圧縮のときに外から加えられた仕事は , 単位体積あたり / 0 十イ / た 協から + 」 V ( 」 < のまで積分すれば , た 0 dV となる . これを ,

5. 温度と熱 叭熱を加えて温度を上げたりすることを考える . その際 , たとえば急激に加 熱したりすると , 熱を加えたところだけ温度が上がって , 系全体の一様性が失 われ , 系の温度というものも指定できなくなり , 対流が生じたりして , ことが はなはだ複雑になる . そこで今後われわれが圧縮 , 膨張 , 加熱 , 冷却などをす 之考える際には , いつもそれを無限にゆっくり行い , 途中で常に平衡状態が 保たれていて , 々や V や T がいつも指定できるものとしよう . このような 程のことを準静的過程とよぶ・ 途中でいつも平衡が保たれていて , たとえば外から押している力が系自体の もっ圧力より無限小だけ大きければ準静的に圧縮することになるし , 無限小だ け小さければ準静的に膨張させることに なる . 系の圧力がカであるときに , そ dV こめこか の 加えるべき仕事は一第 dV である . 圧縮 5 ー 1 図ビストンによる気体の圧縮 ( イ V < 0 ) のときは外力のする仕事は正 , 膨張 (dV>0) のときは負であるか ら負号がつくのである . 圧力の仕事についてはすでに 81 ページでも調べたが , 5 ー 1 図のように系をシリンダー内に密封し , ピストンを静かに動かして圧縮 , 膨張を行う場合にはきわめてわかりやすい . * ビストンの断面積を S とし , れを dl だけ動かすときの仕事の値は ( カ =PS) x ( 動いた距離 = (l) =PSdl であるが , 5dl は体積の変化Ⅵに等しいからである . [ 例 ] 理想気体の等温圧縮 . 5 ー 1 図のシリンダーの壁 ( の一部 ) を透熱壁にしておき , 一定温度 T の熱源一一 - ー考えている系に接触して熱を与えたり奪ったりするが , それ自 身の温度がそれによって変化することがないほど熱容量の十分大きい外部系 , 熱浴とも に接触させておいて , ヒ。ストンをゆっくり動かす . シリンダー内には理飆気生 れモルが封入されているとすると , 眞二ござ - 成 .. 2. 立ュ . て . ゑ力、ら , / 2 nRT / 2 dV dV= 154 Ⅳー * 系が流体ならこれが可能である . 固体では 81 ページのように考えざるをえない .

3.7 静止流体の圧力 87 ま , 棒の ( 中立面の ) 形を表わす曲線の方程式を = 工 ( のとすると , 曲率は公式により 1 火ー ( 1 十 2 ) 3 / 2 いまはがあまり大きくないので , 分母を 1 としてよく , で与えられるが , が上に凸なので また曲線 d ェ 2 21EI とおける . が得られる . 右端の下がりはェ = I のときの一ⅵとして と求められる . 同じ強さの圧力になっていることである . 応力が面に垂直な圧力だけならばそ 流体内部の応力には接線成分がなく , 同じ点における応力は面の方向によらず 気体と液体を総称して流体という . 流体が固体と異なる点は , 静止状態の 3.7 静止流体の圧力 ゑ & ェ = ル x ( △ PBC の面積 ) を考えると , それは 面体に働く力のつり合いの式のうちの成分 働く圧力の合力は一第である . そこで , 四 おく , △ ABC の面積を S とすると , この面に 慮して , それらを図のように 2 , ル , 角 , ルと 圧力の強さがみな異なるかもしれないことを考 , とする . いま , この四面体の各面に働く 方向の単位べクトルをれとし , その成分をれェ , な四面体を考える . 面 ABC の法線 ( 外向き ) , 軸に平行な稜 PA, PB, PC をもつ微小 P 点の応力を調べるため , P を一頂点とし , ようにして示される . の強さが面の方向によらないことはつぎの のつり合いを考える . 3 ー 14 図四面体部分に働く圧力 これを積分し , ェ = 0 で = 0 , = 0 のように定数をきめると 8 EI げ ( 川 = イ 9Z3 241EI -- -- 。 449-- ー ( 6Z2 ー 41 ェ十ェ ' ) ェ 2

152 5 ・ 温度と熱 1 ö V 変化の割倉であるから , ( 3.5 ) 式 ( 76 ページ ) とくらべると , は等温圧縮率になっているこ がわかる . つぎに (öV/DT)n を考えると、 これは一定圧力のもとで温度を上げたとき の体積変化の割合 . つまり IK だけ温度をヒげたときの体積変化であるか これを V で割ったもの 1 ( 5.7 ) 1 D V DT ( 5.8 ) は体膨張率にほかならない . また , 体積をに保。たまま温度を上げたら圧力はどうなるかを考えるに は , ( 5.6 ) 式で dV= 0 とおけば dT となるが , この式は甃 = 定 . と . と、条件下、での温度変化イ と圧力変化ゆと の比が満たすべき関係を示している . つまり dT である . このときの左辺は , 上に述べた意味からいって ( を ! ー - な . とむ ならない量であるから , DT v d 丁 となる . ( 5.7 ) と ( 5.8 ) を用いれは ( 5.9 ) ( 5.9 ) ′ はは等温体積弾性率 ) が得られる . [ 例 1 ] 1 モルの理想気体では であるから

3. 弾性体と流体 こう表わせば比例定数 E は , 棒の長さや太さやによらないで , 棒をつくっ ている材料の性質だけに関係する定数 ( 物質定数 ) になる . これをャング 率とよぶ . 棒の両端を押して縮めるときには , e も / も負になるとすれば , 上の関係はそのまま使える . 固体をある方向に引っぱって伸ばせば , それと垂直の方向には縮むものであ る . 逆に棒を押して縮めれば垂直方向には伸びを生じて棒は太くなる . 力に垂 直な方向の伸びの割合を 6 ′とすると ( 縮みのときは 6 ′ < の , 6 と 6 ′は符号 が逆でその大きさの比は一定である . この比 ( > の 6 6 ( 3.4 ) をその物質のボアッソン比という . つぎのページでわかるように , ボアッ ソン比は 0.5 より大きくなることはない . 地上の物体はそのすべての表面で垂直に一様な大気圧を受けている . このよ うな圧力の強さを第とすると , その物体内部のどこにおいても , 考える面の 方向に関係なく応力は一定の圧力第になる . * この圧力の結果として , 物質の すべての部分はゑ = 0 のときにくらべて一様な割合で体積が小さくなってい る ( 等方性の物質なら形は変わらない ). この圧力をさらにのだけ増したと き体積 V の部分が V + 」になったとすると ( 」 < の , 圧力があまり大 きくないかぎり一 JV/V はのに比例する ( これもフックの法則の一つの場 合である ). JV ( 3.5 ) この比例定数んをその物質の体積弾性率 , その逆数を圧縮率という . 上で定義したヤング率刃 , ボアッソン比び , 体積弾性率んは , 互いに無関係 いま , ャング率が E , ボアッソン比がびの物質でできた一辺の長 ではない . さが I の立方体を考える . 上下の面だけに外から一様な圧力をかけたとす * この場合の応力テンソルは一 2 0 0 となる .

118 A ェ十」ェ B A' 4 ・ B' 4 ー 18 図 A → A ′の伸びの割合と B → B ′の伸びの割合は 同じでない . 工 ( ェ + 」ェ , の一工 ( ェ , の = 刃 振動・波動と光 ら A' へ変位している部分の伸びの割合 ( / öェ ) 工と , B から B ′へ変位している部 分の伸びの割合 ( öu / ェ ) ェ + 北とはわずか でも一般には異なるから , A' に作用して いる応力と B ′に作用している応力には 十」工 だけの差がある . これに S を掛けたものがこの瞬間に A ′ B ′部分に働いている 力の合力になる . 棒の密度を p とすると , AB 部分の質量 (A'B ′になって も同じ ) は pSJc であり , 」ェが微小なので加速度は A' 面のものをとって という波動方程式が得られる . a24 とかかれる . 両辺を pSJæで割れば ( 4. 22b ) 式と同形の pS 」ェ よいから , 運動方程式は ( 4.24 ) P öェ 2 刃 a24 第 = 一定 0 = 1.41 は空気の定圧比熱と定積比熱の比 ) 第と体積のあいだには ならない . * しかもこのような状態での空気の膨張や圧縮は断熱的に起こるので , 圧力 ある . その場合 , p は空気の密度でよいが , E の代りには空気の体積弾性率をとらねば このような棒と全く同様に扱えるのは管のなかの空気の振動ー一気柱の振動ーーで という関係のあることが知られている ( 第 5 章 , 5.6 を参照 ). 動していないときの圧力を加とすると 第 oV ア = ( po 十切 ) ( V 十ö ) 加 Vr 1 十 より 第 0 切 = ー 0 この場合には空気が振 ö V すなわち となり , 体積弾性率は 0 に等しいことがわかる . したがって , 気柱の振動に対する方 * 棒のときに体積弾性率をとらずにヤング率にしたのは , ( ボアッソン比が 0 でなくて ) 棒の太さ の変化が許されているからである .

5.13 気相・液相・固相 いくつかの物質の臨界値 5 ー 3 表 物質 ヘリウム 水素 アルゴン 酸素 炭酸ガス 水 Tc (K) 5.2 33.2 150.7 154.3 304.3 647.3 ( 気圧 ) 2.25 12.8 48.9 49.7 73.0 218.5 (cm3/mol) 55.4 100.0 74.4 77.1 69.7 61.6 185 RTc 3.39 3.57 3.42 3.35 3.06 3.08 ファン・デル・ワールスの方程式が正しければ T ノ = 8 / 3 = 2.67 になるはずであるが , 実際は上のようになる . 純粋の物質の気相と液相が共存している系を考える . T における飽和蒸気圧である . この系を体積 VI から協まで等温的に膨張 圧力力は , その温度 系を温度が T—öT の熱源に接触させて等温圧縮し (C → D)' 最後にわず き圧力がカーに , 温度が T ーöT に下がったとする (B → C). つぎに させる (A → B). つぎに系を外から断熱して , わずかに膨張させる . このと か断熱圧縮してもとにもどす (D → A). これらの変化は全部準静的に 行わせる . そうするとこれは一種の カルノーサイクルになっている . この 1 サイクルのあいだに系が外 に対してする仕事は Ⅳ = (V2— VI ) ( 太線で囲まれた部分の面積 ) である . いま , この温度 T, 圧力 2 のもとで , この物質の単位質量が占 B 、 5 ー 15 図 T—öT める体積 ( 比容 = 密度の逆数 ) を , 液相のとき仇 , 気相のときとし , 膨 張 A → B で質量襯だけの液体が気化したとすると , 協ー VI = 襯 ( 一仇 ) である . また , この温度におけるこの物質の気化の潜熱 ( 単位質量あたり ) を んとすると , 膨張のときに吸収する熱量は

3.8 流速の場 流速は一定とみてよい . 流れは A から B 管が細いから一つの切口についてはどこも を垂直に切った断面積を SA, SB とする . 細い流管を考え , その 2 か所 A , B でこれ れ , 管外へ出ることはない . いまきわめて ず , ーっの流管内の流体はそのなかを流 管という . 定常流であるから流管は動か A' 91 B 区 VBöt 3 ー 17 図細い流管 の方へ向かっているものとし , A, B における流速の大きさを , とする と , ある瞬間に断面 A , B を通った流体はそれから徴小時間の後には A か らだけ離れた A', および B からだけ離れた B' にそれそれ来て いる . したがって , のあいだに A, B を通って流れた流体の質量はそれ それ PAVASAöt, PBVBSBöt である . ただし , PA, PB は A, B における流体の 密度である . 流管のうちで A と B で区切られた部分に着目すると , 定常流 ではこのなかに含まれる流体の質量は常に一定に保たれるから , 流出量と流入 量は等しいはずである . ゆえに PA VASA = PB VBSB であることがわかる . A と B は流管上の任意の 2 点であるから , p = 一定 これを ( 3. 16 ) この式を連続の方程式とよぶ . 縮まない流体 (p 一定 ) ならばこれは VS = 一定となる . と表わしてもよい . そうであるが , 圧力第が場所によって変化していると , いまの場合はェのちがいに く圧力 pd と A'B'C'D' 面に働く一 d リとの合力である . これは打ち消し合い 働く応力は各面で垂直に働く圧力だけである . そのうちェ方向の成分は , ABCD 面に働 流体のなかに微小な直方体の部分を考える・完全流体ではこの部分の流体に 完全流体に対するオイラーの運動方程式 個人差はないとする・ れているときには , 車間距離と車の速さの間にどんな関係があるか . ドライバーや車に [ 問 ] 2 つのインターチェンジ ( 出入口 ) の間の高速自動車道で車が「定常的」に流

200 5. 温度と 高温 ( 一《 1 ) では ~ ( イ煢》 1 ) では 低温 ーんレ / んで 3 = 3R ( 5.49 b ) ( 5.49 a ) となり * , 高温でデューロン一フ。ティの法則に一致し , T → 0 で急速に Cv → 0 となることを示している . 原子がすべて独立に振動しているという仮定は , 験とよく合う結果を導いた . 問 題 その後デ / くイが改良し , いっそう実 e んレ / ん T ・ ( 、 , e みレ / ん T ー - 1 * んレな T 《 1 のときは , e れな T 1 十んンな T と近似する . んレな T 》 1 のときは e れな T 》 1 なの は B 側に移動し , B 内の気体の圧力が 7.59 気圧になったという . 54 x 103 cm3 の同じ理想気体を入れる . つぎに A をゆっくり熱したところビストン につくっておく . はじめビストンを中央に置いて , A と B の両方に 0 ℃ , 1 気圧 , リンダーの A の方の端だけを透熱にし , それ以外はシリンダーもヒ。ストンも断熱的 5. 両端を密閉したシリンダーを , 自由に動くヒ。ストンで 2 つの室 A, B に分ける . シ なるか . ただし , 比熱の比を 1.5 とする . 4. 0 ℃の気体に圧力をかけ , 断熱的に体積を 100 分の 1 に圧縮したとき , 温度はどう 弾性率は 1.50 x 1011 N/m2 とする . のに必要な仕事はいくらか . 金属の密度は最初 10. 0g / cm3 であったとし , 等温体積 3. 100g の金属塊を , 一定温度のもとで準静的に圧力 0 から 1000 気圧まで増加させる 対してする仕事を求めよ . にしたがう気体を , 準静的に体積から協まで等温膨張させるとき , 気体が外に pV = RT 1 十一一十 2. 1 モルの状態方程式が 比熱はどんな式で与えられるか . えられるとき , な℃とオ 2 ℃ 01 < のあいだの平均の比熱 , および℃における l. ある物質 1 g を 0 ℃からオ℃まで熱するのに必要な熱量が , Q = C1t 十ドで与