表わす - みる会図書館

1.2 べクトルは問わないので , 変位 P2P3 は矢印 PIQ で表わされていると考えてよい . したがって変位の合成はよく知られた平行四辺形の法則にしたがうことが図からすぐわかるであろう . 変位のように , 大きさと方向によって指定され , その合成が平行四辺形の法則にしたがうものをベクトルという . 3 1 ー 2 図平行四辺形の法則大きさと方向で指定されてもべクトルとよべないものもある . たとえば , 物体の回転は回転軸の方向 ( 右ねじの進む向き ) と回転角で指定されるが , ェ軸のまわりの 180 。の回転と軸のまわりの 180 。の回転を続けて行った結果は , ェ軸と軸のあいだの角の二等分線のまわりでの x 180 。の回転には等しくない . したがって , 回転をベクトルで表わすことはできない . 質点の位置 p を表わすのに , 原点 O と P を結ぶ OP で与えられる位置 1 ー 3 図この場合には起べクトルを用いることが多い . 点 O が特別な意味をもち , 矢印を移動するわけにいかない . その意味で位置べクトルはやや特殊で , このようなべクトルを束縛べクトルということがある . ふつうのべクトル ( 自由べクトルという ) も矢印で表わすことが多いが , 矢印の位置は意味がなく , 長さ ( べクトルの大きさに比例してとる ) と方向と向きだけが意味をもっ . * 位置べクトル OPI に変位 PlP2 を合成したものは , 新しい位置を表わす位置べクトル OP2 になる ( 1 ー 3 図 ). 本書では一般にべクトルを太い文字でのように記し , その大きさ ( 正の実数値 ) を対応する細文字 A で表わすことにする . の大きさを図に表わべクトルに数を掛けたもの 4 は , 4 が正すこともある . = ー川である . の数のときには 4 と方向および向きが同じで大きさがのべクトルを表わし , 4 が負のときには大きさが川でスと反対向きのべクトルを表わすも * 方向 ( たとえば鉛直万向 ) と向き ( 上向きとか下向き ) を区別しない人もある・

2. 物理学

A ー 3 関数の積分となるので , ( A. 7 ) から cos 6 十 ~ sin 6 が得られる . 複素数。十朝 , 6 は実数 ) を A- 4 図のようにして平面 ( ガウス平面という ) 上の一点で表わすことはよく行われるが , をこの方式で図示すると , 原点からの距離 ( 複素数の絶対実数軸値 ) が 1 で , 実数軸との間の角 ( 偏角という ) が 6 であるような点で表わされることがわか A-4 図複素平面 ( ガウス平面 ) る . したがって , + ルは , その絶対値を c = V - , 偏角を 0 (tan0=b/a) とすると 337 虚数軸 ( A. 11 ) e ( A. 12 ) ¯c(cosO 十 isin の。十 = c ー十一と表わされることがわかる . C e A-3 関数の積分速さが一定ならば , ( 走った距離 ) = ( 速さ ) x ( 時間 ) である . 速さが一定でないとこうはいかない . そういうときには , 走った時間を細かく分け , きわめて短いあいだだけを考えると上の簡単な関係が成り立っ . これをム = 上 , あるいは極限の場合を考えてム = と表わすことができる . このような微小距離をよせ集めれば , 有限時間のあいだの走行距離が求められる . このよせ集めを積分といい , のように表わす . 積分記号は和 (sum) の頭文字の s をとったものである . 一般に , 関数 = 癶のがあるとき , ェ = 4 からェ = みまでの区間を細分して , 図のような 4 6 、工れ十一凶ェ A ー 5 図積分

3. 物理学

4.7 波動方程式とその解 121 波束というが可能である . これが進行してきて , 固定端に近づくと , このままではすまなくなる . 固定端を動かすまいとする力が作用するからである . このカの効果を式で表わすには , 4 ー 20 図の入射波 ( 束 ) ーー、 ' ア ( ェー厩 ) ↓ 固定端 4 ー 20 図破線で表わされるような関数をもとのものに加えて 7- ーー反射波 ( 束 ) 固定端での反射 ( 4.29 ) を考えればよい . 右辺第 2 項は , = 0 で工 ( ェ ) を固定端æ=l に関して対称の位置に移し ( 工 ( 21 ーエ ) にする ) , 上下を逆転し ( ーエ ( 21 ーエ ) にする ) , > 0 のときにそれを一の速さで動かした ( ェをェ十にする ) ものである . 工 ( ェー ) がェ < I の範囲にいるときには一工 ( 21 ーエー ) は弦の存在しないところ ( ェ > l) にいるから , ( ェ , のは実際上工 ( ェー ) と同じである . 工 ( ェー ) がェ = I のところにさしかかると , ー 21 ーエー ) も反対側からェ = I に到達するが , となるから , ( ェ , のはェ = I のところで常に 0 に保たれることになる . 癶ェー ) がェ = I を通り越してェ > I へ行ってしまった後においては , ー 21 ーエー ) は逆にェ < I の範囲を左向きに進行していることになる . したがって , ( 4.29 ) 式のような関数を考えてこれをでだけ使えば , 境界条件 ( I , の = 0 を満たす解を表わしていることになる . このとき , 工 ( ェー ) は固定端に入射する波束 ( 入射波 ) を表わし , ーエ ( 21 ーエー自由端 ( / öェ = のの反射はは境界が固定されていることによって生じる反射波を表わす . ( 4.30 ) 関数工の形は何でもよいが , ふつう波とよばれるものは正弦関数あるいはそで表わされる . こうすれば ( / öのェ可 = 0 になることは読者の験証にまかせる .

4. 物理学

2 1. 質点の力学れがもつ諸性質のうちで質量だけを考慮すればよい . このように質量をもった点という形に抽象化ーーあるいはモデル化した物体を質点という . 原子のような小さなものも , その内部構造を考えるときには質点ではなくて質点系であり , 地球のように大きなものも , 太陽のまわりの公転だけを扱うときには質点とみなすのである . 質点の位置を表わすには , 座標系を適当に定め , 直角座標 ( ェ , ) , 極座標伝 , の , 円筒座標 (), の , ぇ ) など , 問題に適した座標を用いどの場合にも , 一般に 3 つの数値の一組を必要とするので , 質点の自由度は 3 であるという . 運動が一つの平面内に限られる場合には , 直角座標 ( ェ , の , 極座標伝ののように 2 つの数だけで表わすことができる . 質点が運動すると , これらの座標は時間の関数として韲化する . そのことを数学ではェ = 工 ( ののように表わすが , 文字の種類を節約するために物理ではェ ( ののように表わすことが多い . ェ ( の , 沢の , ( のがわかれば , すべての右の値ごとに求めた ( ェ , , のが表わす点をつないだものが , その質点の軌道になる . 平面運動では , ェ = ェ ( のと = 沢のからカを消去して工と 4 の関係 = ェ ) , または G(), の = 0 を定めれば , 一 acos のら = みなら冫 , sin2 の右十 COS2 の去することにより , 次式が得られる . 十 4 = 1 ( 楕円 ( 長円 ) ) 4 〔問 ] ェ = 。十 = ならば軌道はどうなるか . [ 例コェー式を与える . に 2 べクトルこれらが軌道の方程 = 1 を用いて右を消質点がその位置を PI から P2 へ変えたとき , PI を起点とし P2 を終点とする矢印によって変位を表わす . PI と P2 の距離が変位の大きさであり , 矢印の方向が変位の方向である . 変位 PlP2 と P2P3 を合成したものは変位 PIP3 であって , このことを PIP3 = PIP2 十 P2P3 と記す . 変位というときには大きさと方向だけに着目し , どこからということ ( 1.1 )

5. 物理学

124 原点からの距離を r とすると r = ェ 2 + + ぇ 2 であるから , 4 ・振動・波動と光波は sin ( んー十のとかかれるが , をェ , , で表わすと座標軸とつくる角の c 。 s ーーーを l,m, れとし , この方向をメ方向とすれば , 進む平面波はどのように表わされるかを考えよう . 進行方向の方向余弦 ( 4.37 ) 式はェ方向に進む平面波を表わすことがわかったが , 任意の方向に行方向になっている . 垂直な平面である . 波の進む方向は波面に垂直で , いまの平面波ではェ軸が進かが等しい点をつらねた連続面を波面とよぶ . 上の場合の波面はェ軸になーっの平面をつくっている . 正弦波で位相ーーー上の式の右辺のカッコのなェであるから , とすると , 求める平面波は = lc 十襯 4 十れ = んれ 4 ( 工 , 4 , の = A sin ( ェ十あ十んー十のとかかれることがわかる . 上のを成分とするべクトルをとすると , その方向はェ′方向で , 大きさは = V 2 十 2 十 2 ()2 十 2 十れ 2 であるが , んと波長のあいだにはん = 2 スという関係があるから , は大きさ 2 応 / ( 波長 ) をもち波の進む方向を向いたべクトルであることがわかる . 位置を r で表わすと , と r のスカラー積は k•r = ェ十ん刄十んであるから , 求める平面波は ( ェ , , の = A sin (k•r ー + のと表わされることになる . ん 2 = 2 十 2 十 2 = ( 4.38 ) ( 4.39 ) ととっておけば ( 4.38 ) 式が ( 4.36 ) 式を満たすことは容易にわかる . んのことをこの平面波の波数ベクトルとよぶ . ※球面波この r の関数をェで

6. 物理学

付録物理で使う数学 340 A- 4 偏微分変数が 1 個のときの関数 = 工 ( ェ ) は平面上にグラフ ( 曲線 ) で表わせるが , 2 変数関数 = 工 ( ェ , のの場合にはこれに対応するものは曲面になる ( A ー 7 図 ). いま , の値を固定してェだけを変えたとすると , 工 ( ェ , のは図の曲線 PABQ C' で表わされることになる . このとき工 ( ェ , のをで徴分したものを , ′では工とのどちらで微分したのかわからないから , ( ェ , のとかき , ェに関する偏微分係数とか偏導関数といい , 微分記号には d の代りにを用いる . 工 ( ェ十」ェ , の一ア ( ェ , の ( A. 16 ) これは , 図の AB のこう配の B → A の極限を表わす . 同様にして , のに関する偏徴分係数は = ( , の = lim 」 V → 0 で定義される . 1 変数の関数 = 癶ュ ) の無限小変化は ( A. 2 ) の分母を払った式 = ア ( で与えられる・これは」 ( 」ェで」の→ 0 とした極限の関係とみなすことができる・同じことを 2 変数関数のときに考えてみよう . ェを」ェ , を」だけ変えたときのの変化高は図の DD' で表わされるが , 式ではこれに工 ( の , + 」のを引いて足すととなる . R : 4 lim / 工→ 0 A ー 7 図 ( A. 17 )

7. 物理学

60 2. 質点系と剛体 A 点のまわりのモーメントのつり合い 4M9 = bScos0 この 3 つの式から未知数 S を求めればよい . 結果は , aMg 記 Mg である . なる . み > 4 なら > 0 ( 上向き ) であるが , み < 4 であると < 0 ( 下向き ) に 2.8 固定軸のまわりの剛体の運動固定軸を軸に選ぶことにする . この場合の運動を表わすには , 軸外の剛体のどこか一点にしるしをつけ , そのしるしがたとえばれ平面を通るときを基準 @ = のにとって , その位置からどれだけ回転したかを表わす角 9 を用いればよい . つまり , このときの運動の自由度は 1 なのである . 9 ( ののに関する微分係数は角速度である . 調べるのが回転運動であるから , 角運動量の式 ( 2.38 ) を用いるとつごうがえる . いま , 剛体を細分して j 番目のこでを 9 で表わすことを考 = ( ェ切ーの ( 2.44 ) だけである . 3 つの成分のうちで必要なのは成分 dL よい . 2 ー 10 図名軸のまわりの回転細片の質量を叫 , 位置 P を ( も , 的 , とする . * P から軸へ下した垂線を PC とすると , P は C を中心としーはカの番号づけに使ったから , 一応それと区別するためにを用いた .

8. 物理学

183 533 気相・液相・固相ピストンでふたをした容器に液体を密封し , ビストンにかける圧力を減らしていくと液体はわずかながら膨張するが , 圧力の減少につれて膨張をいくらでも続けるものではない . ビストンをあるところ ( 図の F 点 ) まで引くと , 液体部分の密度はそのままで , その一部が気体 ( 蒸気 ) になって大きく膨張し , 液体部分 ( 液相という ) と気体部分 ( 気相という ) とで容器全体を占めるようになる . ビストンを引いて体積を増しても , 圧 / H い、 5 ー 12 図 T>Tc T = Tc T<Tc 力は変化せず , 液体の気化によって F のときと同じ圧力を保っ . V をさらに増して全部が気化してしまうと (G 点 ) , それからさきは V の増加につれて 2 が減少する . 図に示した曲線で , F より左は液相だけ , G より右は気相だけ , F と G のあいだは液相と気相が共存する状態を表わす . このときの圧力 5 ー 13 図 I : 相 C : T : Ⅲ : Ⅱ : 液相気相臨界点重点昇華曲線融解曲線蒸気圧曲線 ( 水平線 FG の高さ ) は温度によってきまり , その温度における飽和蒸気圧という . 温度がもう少し高いときには同じ過程は 5 ー 12 図の HI を通る曲線のようになる . ある温度 Tc 以上になるとこの気液共存を表わす水平部分がなくなる . このような領域では液相と気相の区別がなくなる . Tc のことを臨相を表わす . 蒸気圧曲線は臨界点を表わす点和蒸気圧を示す . この上側は液相 , 下側は気 5 ー 13 図で曲線 I は温度の関数としての飽界点という . C で終る . T>Tc の気体はいくら圧力をかけても ( つまり , 5 ー 13 図で下から

9. 物理学

1. 質点の力学ス・ cos ース′ sinO ス sin O 十ス火 cos という関係のあることが 1 ー 24 図からわかる . これらは行列 ( マトリックス ) を用いて ( 1.47 ) COS O Sin 0 ーー Sin 0 COS Av COS 0 - ー Sin COS と表わすこともできる . つぎに , 速度や加速度を極座標で表わすことを考えよう . 位置は工 = r COS 0, = r sin O で与えられるが , 工とが時間オとともに変わるときには r や 0 もオの関数である . したがって , これをで微分してイエ COS 一一 r dy あるいは略号 * を用いて = cos 0 ー sin の sin 0 十 cos を得る . いまこの速度べクトルじを , 動径方向 ()P 方向 ) とそれに垂直 @ の増す向きを正とする ) な方向の成分に分けることを考えると , これは 1 ー 24 図の場合と同じであるから ( 1.46 ) 式が適用できて ′ = ェ COS - ト Vv Sin sin O 十巧 cos O であるが , これに上記の式を代入すれば ( 1.48 ) ートンにならって , これを文字の上の点で表わすことが多い . ( 1.46 ) ′ ( 1.47 ) ′ Sin sin 0 十 r COS 1 ー 25 図 * まで徴分するときには , d2r = デなどである . 2

10. 物理学

4.9 光の波偏微分朝とえは一定とみる ) すると工の = となる . したがって , 工の = 125 1 歹エ一工の = ア一アだ -1 1 一 - ト工 - ト工これを使って計算するとである . sin ( んだー研 + の十十 D ェ 2 となることが示される . 上の結果を用いると , ん = としたとき sin ( レーこ十の ( 4.4 のは三次元の波動方程式 ( 4.36 ) の 1 つの解になっていることがわかる . * ある瞬間に位相 ( ー + のが一定になるのは , r = ェ 2 + の + 2 が一定の面 , つまり原点を中心とした球面である . したがって ( 4.4 の式は一つの球面波を表わす . 右が変わると波面は速さ = のなで外向きに広がっていく . A でなく A/r が振幅と考えられるが , それは広がるにつれて原点からの距離に逆比例して減少する . r = s/ ェ 2 + 42 十ぇ 2 でなくお = ーの 2 + 朝一の 2 十 ( えーの 2 としても ( 4.4 のが ( 4.36 ) を満たすことは容易に示される . この場合には , 波は点 ( 4 , 6 , のを中心として外向きに広がっていく球面波を表わす . 光の波よく知られているように , 光の本性に関しては粒子説と波動説が出されて , 長い対立が続いた . 粒子説が支持された一番大きな理由は , 光が光線の集まり ( 光東 ) によって表わされ , 一様な媒質中では直進し , 音波のように , 影に相当するところに回りこむ回折現象を示さないことであった . * 原点を除く . ーん 2 sin ( ー + の