101 振動・波動と光 にみなす近似 ( 幾何光学 ) が可能なことが多い . それを 4.10 で概観し めに , 粒子の流れのような直進性を示すので , これを光線の集まりのよう 後半では , 波動の一種である光を扱う . 光はその波長がきわめて短いた は , 振動しているのは文字で表わされている量である . 置の目印であって t の関数でないことに気をつけてほしい . 4.5 以後で 丈ゑ壘 ( 変位など ) であるが , 4.5 以後に出てくるェ ( や 4 , ) は位 なお , 4 、 4 までに現われるェ ( やのは右の閃数として振動的に変化 学ぶ . 章の前半では , これらの諸現象に共通する運動を , 数式的にどう扱うかを では , 一部に生じた振動がまわりに伝わり , 波動を生じることが多い . 本 とによって振動を生じることが多いからである . また , 広がりのある物体 られたときに , もとにもどろうとし , それと慣性 安定に静止している物体は , わずかな乱れが与え 振動は自然界にしばしば見られる現象である . たうえで , 光の波動性を示すいくつかの現象について考察する . 靼 . 7 で調べた単振動は , 運動方程式 4 」単振動とその合成 の解で , 工 ーんェ ス COS Ot 十 B sin こ 2 B 定数 ) ( 4.1 ) ( 4.2 a )

112 4. 振動・波動と光 運動の場合である . それをェ 1 , ェ 2 の運動に直すと , Q だけの運動 ()2 = のでは , ェ 1 = ェ 2 ( 角振動数の単振動 ) Q2 だけの運動 (Q = のでは , ェ 1 = ー明 ( 角振動数明の単振動 ) であることが容易にわかる . つまり 2 つのおもりがそろって同じだけ同じ向 きに変位するようにしてやれば , これらは明 = ん / 襯の単振動をする . 雇が 入らないのは , 中央の , くネが全く伸縮しないからである . 2 つのおもりを同 じだけ逆向きに動かして放してやると , ェ 1 = ーエ 2 を保つような常に 2 つが逆 向きに動く振動が起こる . 今度は中央の , くネも伸縮して復元力に加わるから , 角振動数も明 = V ( ん + 2 ん′ ) / 襯となって明より大きい . この QI, Q が表 わすような運動は , 2 つのおもりがそろって動いたり , そろって逆向きに動 く , というように運動の形がきまっているので , 規準形 (normal mode) の 振動または単に規準振動という . そして Q, Q2 を規準座標とよぶ . いま 考えているのはェ 1 , ェ 2 という 2 つの変数で表わされる自由度 2 の運動なので , 規準振動も Q, Q の 2 つである . 自由度が多ければそれに応じて規準振動の 数も増す . ( 4.13 ) , ( 4.14 ) 式は U= { k( 明 2 + ェ 22 ) 十雇 ( ェ 2 ー明 ) 2 } / 2 という位置エネルギー から導かれる . 運動エネルギーと合わせてかけば となる . E = K 十 U = ー 12 十 22 ) 十 ( 明 2 十ェ 22 ) ー雇明ェ 2 これを QI, Q2 で表わすと た十雇 2 た十 2 雇 U = ー Q12 十 1 2 4 ー 11 図連成振り子 はじめに 1 のみを前後に振 らせると , その振動は次第 に 2 に移り , 再び 1 にもど り , ・・・をくり返す . 2 となることがわかる . つまり , 4 ー 10 図の座標変換 ( 明 , ェ 2 ) → (QI, (2) は , 座標の二次形式で表わされる U を , 2 乗の和だけで交さ項のない標準形に直す主軸変換な のである . [ 問 ] 雇が小さいとと明の差はわずかになり , 明とェ 2 は 4 ー 2 図のうなりのような時間変化を示す . このとき , 明とェ 2 の運動は振動が交互に受け渡しをさ れるようなものになることを示せ . これは , 4 ー 11 図の ような装置で簡単に実現できる .

312 とよぶ . 9. 現代物理学 e2 / 4 or シュレーディンガーは , 水素原子の場合ーー -- ー V(r) して ( 9.43 ) 式を解いて固有値を求め , ポーアの結果 ( 9.28 ) と完全に一致す る結果を得た . それ以外の場合も , ( 9.43 ) 式を問題に応じて解き , エネルギ ーの固有値を求め , 固有関数を計算すれば , その粒子の運動として許されるも の ( 定常状態 ) がきまり , そのエネルギーが定まる . そしてポーアの振動数条 件 ( 9.29 ) を用いれば , いろいろな定常状態間の遷移に際して放出あるいは吸 収する光の振動数が求まり , 実験で得られるスペクトル線と比較することがで きるわけである . 9 」 2 エネルギー固有値の例 波動性のためにエネルギーの値がとびとびになることを具体的に知るために は , わの形を与えてそれに対する固有関数臾 1 ( r ) , 92 ( r ) , ・・と固有値刃 1 , E2 , ・・・を求めればよいが , ( 9.43 ) のような偏微分方程式を解くことは一般に はそう容易でない . こでは , せまい範囲に束縛された粒子の模型として , 直 方体形の箱の中に閉じこめられた粒子を考えることにする . 壁では完全反射を 行うとすると , 古典力学では運動は 3 つの等速往復運動に分離される ( 5.14 を参照 ). ェ方向の箱の長さを 4 とすると , ェ方向の往復運動を波動力学で表 わしたものは長さが 4 の弦の振動 ( 一次元定常波 ) と同様になる . 箱内でカは働かないからは定数としてよいので , それを 0 とすると , 次元のシュレーディンガー方程式は 2 4 ( ェ ) = 刃 4 ( ェ ) 2 dæ ( 9.45 ) となる . ェ方向の箱の範囲を ( 0 , のとすると , 箱から外へ出られないという ことは , 波が ( 0 , の内に局限されていて外では三 0 ということであるが , ( れ = 1 , 2 , い・方程式 ( 9.45 ) の解でこの条件を満たすのは ェ ) には連続性が要求されているので , 4 ( の = 4 ( の = 0 でなくてはならな ( 9.46 )

しかももとの方程式を満足させる ) になっている 運動方程式襯 + 襯の 2 ェ = ー 2 舛にを掛ければ 4.3 強制振動と共鳴 [ 問 ] だ = の 2 の場合に ( 4.10 ) が ( 4.6 ) を満たすことを , 代入して確かめよ . を示している . 和 ) の変化の割合を表わし , 右辺はそれが速さの 2 乗に比例して減少すること が得られる . 左辺はエネルギー ( 運動エネルギーと復元力の位置エネルギ 2 ー 2 襯 / 加えられる場合を考える . 運動方程式を襯で割って整頓したものは 復元力と速さに比例した抵抗力をもつ振動系に , さらに外から振動的な力が ーの 108 4. 振動・波動と光 工 = Ae ( に行示”十 Be- ( 汁戸 = 丁 ) 要 ( 4.9 ) と表わされ , 非周期的な運動となる . 凡召は定数 . (iii) / 2 = の場合 ( 臨界減衰という ) にはカは重根になるから , (ii) の形の一般解は使えない . が一般解 ( 定数を 2 っ含み , ことが確かめられる . ェ = ( A 十おの e ーれ この場合には ( 4. 1 の 十 2r 十の 2 工 = 五 cos オ ( 4.11 ) という形になる . このような微分方程式の一般解ー一任意定数を 2 っ含む解 は , ェを含まない項 ( 右辺 ) を 0 とした方程式の一般解と , 右辺を 0 と しないもとの方程式の特解の和で与えられる . 特解はどんな方法によってでも よいから , とにかく 1 つ探し出しさえすればよい . 和がもとの方程式を満たす ことはすぐわかるし , 定数は 2 つ含まれているから , 一般解の資格は備わって いる . 右辺を 0 としたときの一般解は前節で求めた減衰振動 ( その他 ) である から , 改めて求める必要はない . ( 4.11 ) 式の特解を求めるには , 右辺の力が 角振動数の単振動的なものであることから考えて , 解も同じ角振動数の単 振動であろうと推測し 工 = cos 一の ( 4.12 )

102 または 4. 振動・波動と光 ェ = C sin ( 十の と表わされた . 角振動数のは (), の定数 ) ( 4.2 b ) ( 4.3 ) ーんェで表 で与えられる . この運動で重要なのは , 襯で表わされる慣性と , わされる復元力である . ( 4.1 ) 式の両辺にを掛けると , 工 2 = 2 工 2 上 , を利用して積分ができて 1 一 2 2 + 定数 すなわち 1 襯十一たェ 2 = 定数 2 というエネルギーの式が得られる . ( 4. 2b ) を用いれば 1 1 運動エネルギー C2 襯 cos2 (0)t 十の 2 2 1 1 位置エネルギー んェ 2 ー C2 た sin2 ( + の 2 2 となるが , ( 4.3 ) 式により襯の 2 = んであるから ーび襯の 2 ( 一定 ) K 十 U = が全エネルギーである . cos2 ( 観十のの 時間平均も , sin2()t 十のの時間平均も 1 2 ともに 1 / 2 に等しいから , 時間平均を 4 ー 1 図 c 。 s2 ( 観十のの時間平均も ←・ > で表わすと sin2 ( 十のの時間平均も 1 どちらもプに等しい . く K> = く U> = ー C2 襯 ( 4.4 ) 4 を得る . 単振動では運動エネルギーの平均値と , 位置エネルギーの平均値は等 単振動の実例としては , 単振り子 , 実体振り子など力学的なもののほかに ,

9.11 シュレーテ・インガ 一方程式 ( 9.4 の 十 D ェ 2 2 という演算子になる . これをこの粒子のハミルトニアンという . そうする と ( 9.39 ) は ih(ö/öt) = となるが , これでは意味をなさないから , 両辺に 波動関数らのをもってきて 丑らの = 311 ( らの ( 9.41 ) としたものを考え , これが物質波のしたがう波動方程式であるとするのであ る . * これを , 時間を含むシュレーディンガー方程式という . この式は V が V ( らの -- - ーー外からかけた振動電場など のようにを含む場合にも 成立する . テレビのフ・ラウン管内の電子のような場合には , 海の波のように一方向に進 む進行波になっているが , 原子や分子内に束縛された電子の波は , 弦の振動や 管内の気柱の振動のような「定常波」になるのがふつうである . シュレーディ ンガーの定常波は ( らの = e-i0tp(r) のように表わされ , ( 9.41 ) に代入すればすぐわかるように , 9 ( わは 9 ( わ = E p(r) ( 9.43 ) ( 9.44 ) ただし 刃 = 方の という方程式を満たさねばならない . ( 9.43 ) を , 時間を含まないシュレー ディンガー方程式という . 波動関数 ( の空間部分 ) p(r) が東縛された粒子の運動を表わすためには , そ れは有限の範囲内だけで大きな値をもち , 遠方では急速に 0 に近づく関数でな くてはならない . そういう条件をつけると , ( 9.43 ) が解をもつのは , E が特 定の値 EI , E2 , ・・・をもっときだけに限定されるのがふつうである . この特定の 値のことを , ハミルトニアンの固有値とよぶ . それそれの固有値に対し て , ( 9.43 ) 式の解として関数 91 ( r ) , ( わ , ・・・が定まるが , これを固有関数 * ⑨ 41 ) は , ニュートンの運動方程式に対応する基本法則であり , それが正しいか否かは , この 式から得られる結果が実験と合うかどうかによってのみきめられる . こでは⑨ 41 ) を証明し ているわけではない . ( 9.42 )

2.1 二体問題 41 速度が最初に 0 ならば , つぎに ( 2. の式を いつまでたっても 0 , つまり重心は不動に保たれる . 1 21 d2r2 12 1 として引き算をすると , r = r2 ー巧および ( 2. 1 ) 式を使って が得られるが , 十 1 1 十 1 によってこの 2 質点の換算質量を定義すると , 上の式は という 1 個の質点に対する運動方程式と同じ形の式になる . 一般に , カ 2 は 2 質点間の相対座標 r の関数である . たとえば , 万有引 12 ( 2.6 ) ( 2.7 ) 力ならば であり , 方向や向きまで考えてべク 、 F12 12 トルにすれば r r 2 とかかれる . このような式を ( 2.7 ) の右辺に代入してからあとは , r が相対 座標であることなど忘れて , 1 個の質点の場合と同じに扱って運動をきめれば よい . ⑦ ( 等速度運動 ) と r(t) が求められれば , 各質点の運動は 巧⑦ = ⑦ー r ( の r2 ⑦ = ( の + によって与えられる . これらの式の導出は読者自ら試みてほしい . [ 例 ] 2 つの星が万有引力で引き合って重心のまわりを回っている連星は上の典型 例である . いま , = 一定 ()o とする ) で行う運動を考える . ( 2.7 ) 式で 2 に万有 引力を入れた場合の一般的な運動は , 第 1 章のい . 14 で扱った楕円運動であるが , r = ぉ。はその特別な場合である等速円運動である . 面積速度一定 , つまりドみ = 一定にお

110 4.4 いま 4 4 ・振動・波動と光 ー 9 図のように , 質量襯のおもり 2 つを , 強さがん , 雇の , くネでつな 連成振動 4 ー 9 図 2 つのおもりの連成振動 運動方程式は 〃 Z ・エ 1 いだものを考え , このおもりがな めらかな水平面上で / くネの方向 ( 図 で左右の方向 ) に行なう振動を調べ よう . それそれのおもりの , 平衡点 からの変位をェ 1 , ェ 2 で表わすと , ーたェ 1 十雇 ( 明ーエ 1 ーんェ 2 ー雇 ( 工 2 ー明 ( 4.13 ) ( 4.14 ) となる . この種の連立微分方程式を解く方法はいろいろあるが , ここでは最も 簡単なやり方でまず結論を出すことにする . それには ( 4.13 ) と ( 4.14 ) を加 盛りはェ 1 , ェ 2 と同じ ) をとると , 同 45 。だけ傾いた別の座標軸 Q, Q ( 目 る . いま , この平面内に図のように 運動はこの一点の平面運動に帰着され 内の一点で表わされ , 2 つのおもりの っているかは , この平面 ( 二次元空間 ) の 2 つのおもりからなる系がどうな を座標軸にとった平面を考えると , の方程式になっている . いまェ 1 とェ 2 となるから , ェ 1 十明とェ 1 ーエ 2 を新しい変数とみればこれらは単純な単振動 工 1 - ーエ 2 襯ーー厂 ( 明十工 2 ) d2 えたものと引いたものを作ると ーん ( ェ 1 十明 ) ー ( ん + 2 め ( ェ 1 ーエ 2 ) 工 2 ( 4.15 ) じ点 P の座標のあいだに 4 ー 10 図ェ 1 , ェ 2 から QI, Q2 への座標変換

300 9 ・現代物理学 数になるわけである . ン > ン 0 の光ならば , 電子にⅣ以上のエネルギーを与え ることができるが , ンくン 0 の光ではそれができないから , 光電効果を起こすこ とが不可能なのである . コンプトン効果 物質による電磁波の散乱というのは , 電磁波の振動電磁場によって , 物質を 構成する荷電粒子が強制振動を行い , それがまわりに新たな振動電磁場をつく る , つまり電磁波を放射することであると解釈される . 強制振動の振動数は加 えられた外力のそれと同じであるから , 散乱波の振動数は入射波のそれと等し いのが当然である . 事実 , 大ていの散乱はこのような解釈と矛盾しない . ところが , 1923 年にコンプトンは , 物質によって散乱された X 線のなかに , その波長が入射 X 線よりも長いものが混じっていることを発見した . 波動説で は扱いようのないこの現象も , エネルギーがんで運動量の大きさがなの 粒子が , 静止している電子と衝突してこれをはねとばし , エネルギーと運動量 の一部をそれに与え , 方向を変えて出てくる衝突の問題として扱うと , 簡単に 実験と一致する結論を導き出してしまう . 入射 X 線 散乱 X 線 子 反 散乱 X 線光量子の方向が入射 X 線と 0 の角をつくる場合を考え , はねとばされ た電子は角の方向に速さで出ていく とする . は大きいので相対論を考える 必要がある . そうすると , 電子の静止質 量を襯として , エネルギー保存則は んレ十襯 c2 = んノ十 4/1 ーな 2 となり , 運動量保存則は 9 ー 6 図コンプトン効果は光を光子と考えれば 容易に説明できる . んノ cos 0 十 COS+ VI ーな 2 Sin ( c ) VI ー / c2 となる . ( b ) , ( c ) よりのを消去し , ( a ) と組み合わせることによって ( 途中の計算

114 4. 振動・波動と光 という関係があればよいことがわかる . つまり ( 4.19 ) 式の一つの解として ( の = Csin た sin ( 十の ( 4.20 a ) ( 4.20 b ) cos kd = 1 2 T があることがわかった . 境界条件 = 0 は自動的に満たされているから , = 0 よ り kNd = , 2 , 3 応 , ・ , つまり 2 3 ( 4.20 c ) Nd' Nd' Nd ' Nd' でなければならないことがわかる . kj=jr/Nd とすると , た 2 Ⅳ一 = 2 ーたであるか ら , sin た 2 Ⅳー d = ー sin たイ , cos た 2 Ⅳ一 = cos たとなり , ( 4.20 a ) 式や ( 4.20 b ) 式でとた 2 」とは ( C の符号が逆になることを除いて ) 全く同じ結果しか与えない ことがわかる . したがって ( 4.20 c ) 式のゾとしては 1 , 2 , 3 , ・・・ , N— 1 だけとればよい = ー 1 = 0 の場合を表わすから除いて (j=N は sin んⅣイ = 0 , したがって = 42 = よい ). つまり ( 4. 20a ) のような運動にはた = 乢た 2 , ・・・ , ( = / N の , ・ ・・ , Ⅳー 1 の N—I 種類があることがわかる . N=6 の場合の乢た 2 , た 3 に対する運動を 図示すると 4 ー 14 図のようになる . このよう な各に対する ( 4. 20a ) の運動が , それそ れ規準振動にな。ている . それがちょうど自 由度と同じ個数だけあることも知った . 各規 準振動の振動数は ( 4. 20b ) 式に 1 ー COS 夜 = 2 sin2(a/2) を適用して得られる 4T sin あイ 4 T S1n 2 md ( 4.21 ) によって計算すればよい . 2 0 ) 2 0 ) 3 4 ー 14 図規準形 ( ノーマルモード ) 4.5 弦の振動 線密度びが一様な弦を張カ T で張り , これに横振動 ( 弦に垂 直な振動 ) をさせる場合を考え る . 弦の平衡位置に一致させて ェ軸をとり , 位置ェにおける変 位を = 4 ( 工 , の で表わす . 変位は時間オにもよ 2 Ⅳ 7 ' 十 ェ十」ェ 4 ー 15 図 弦の細片 PQ に働く力は , 両隣接 部分から受ける張力である .