334 付録物理で使う数学 そこをェ = 五 ( のという関数で与えられるような走り方をしている車があるとすると , 高さは時刻とともに変わるから = 工 ( のという関係があるはずである . このとき , 導関数 d ツ = ア ( のは時間に対する高さの変化の割合を表わす . 馬力の小さい車はこ の d ツ市を大きくできない . / 1 とがわかっているときに , ア ( のを求めるにはどう したらよいかを考えてみよう . 徴小時間市のあいだにがだけ変わったとすると , dc = 五′ ( の ( 車の走る速さ ) は水平方向の ( 瞬間の ) 速さである . この dc によって高さが d リだけ変わったとすると という関係がある . = 工、 ' ( の ( 道路のこう配 ) この 2 つを掛けると dy dc dc 市 となるが , 左辺はを分子と分母から約分してイツ市になるから , 結局 dæ市 ( A. 4 ) となる . 馬力の小さい車は急こう配 ( が大 ) では遅く ( を小に ) せざるをえない・ , の関数である = 五 ( のの関数 = 工 1 ( のという形で , がの関 このように 数 = 工 ( のになっているとき , 工⑦は工 1 ( ) と五 ( のの合成関数であるといい , そ の徴分のしかたを与えるのが ( A. 4 ) である . [ 例 ] = A sin ( 十のを t で微分するには , 6 = 十とおくと , ェ = み sin 6 となるから より = ス cos 6 , = み cos ( の十の A- 2 関数のテイラー展開 , マクローリン展開 ( A. 2 ) 式の分母を払うと , 無限小の変化に対する

151 5.2 状態方程式 これから , 対象とする物体あるいはその組合せを体系または系とよぶこと にする . これは英語の system の訳語である . また本章で取扱う系はすべて一 様で等方的であって , 静止し熱平衡状態にあるものとする . 異方性のある固体 の生じ や , 等方的な固体でも一様な静水圧以外の応力ーーー一方向性がある ているようなものは考えないことにする . そうするとーっの系の状態は圧力 状態量とか状態変数とよぶーーーを用 ヵ . 温度 T 、体積 V といった量 いて表わされることになる . ところが経験によると , T, V のうちのどれ か 2 つをきめると残りはきまってしまう , つまりこれら 3 つの量のあいだには ーっの関数関係 工 ( ヵ , T, 巧 = 0 このような関係式を がある . 理想気体の場合の ( 5.4 ) 式はその一例である . の、の、 ロエという . いま外部からコントロールするのが圧力と温度である場合を考える . このと きは ( 5.5 ) 式を V について解いてこれをカと T の関数として表わしておく とつごうがよい . ここでカと T を微小量ゆ , dT だけ変化させたとき , それによる V の変化 は , 341 ページ (). 2 のにより ( 5.5 ) ゆ + こで偏微分係数に添字をつけたのは , V を々と T の関数として となる . 表わす以外にも , いろいろな状態変数の組合せを用いる可能性があるので , た だ DV/Dp などのように記しては , 2 のほかに何を変数として採用しているの か不明になるからである . (DV/DP)T と記せば V をカと T の関数として表 わしておいた上で , を定第 2 も 2 (T を一定に保。て ) 々を変化さ せたときの微分係数だということがはっきりするからである . さて , ( 5.6 ) 式で (öV/öP)T はわ温度一定のもとで圧力を上げたときの体積 ö V öT ( 5.6 )

3. 弾性体と流体 こう表わせば比例定数 E は , 棒の長さや太さやによらないで , 棒をつくっ ている材料の性質だけに関係する定数 ( 物質定数 ) になる . これをャング 率とよぶ . 棒の両端を押して縮めるときには , e も / も負になるとすれば , 上の関係はそのまま使える . 固体をある方向に引っぱって伸ばせば , それと垂直の方向には縮むものであ る . 逆に棒を押して縮めれば垂直方向には伸びを生じて棒は太くなる . 力に垂 直な方向の伸びの割合を 6 ′とすると ( 縮みのときは 6 ′ < の , 6 と 6 ′は符号 が逆でその大きさの比は一定である . この比 ( > の 6 6 ( 3.4 ) をその物質のボアッソン比という . つぎのページでわかるように , ボアッ ソン比は 0.5 より大きくなることはない . 地上の物体はそのすべての表面で垂直に一様な大気圧を受けている . このよ うな圧力の強さを第とすると , その物体内部のどこにおいても , 考える面の 方向に関係なく応力は一定の圧力第になる . * この圧力の結果として , 物質の すべての部分はゑ = 0 のときにくらべて一様な割合で体積が小さくなってい る ( 等方性の物質なら形は変わらない ). この圧力をさらにのだけ増したと き体積 V の部分が V + 」になったとすると ( 」 < の , 圧力があまり大 きくないかぎり一 JV/V はのに比例する ( これもフックの法則の一つの場 合である ). JV ( 3.5 ) この比例定数んをその物質の体積弾性率 , その逆数を圧縮率という . 上で定義したヤング率刃 , ボアッソン比び , 体積弾性率んは , 互いに無関係 いま , ャング率が E , ボアッソン比がびの物質でできた一辺の長 ではない . さが I の立方体を考える . 上下の面だけに外から一様な圧力をかけたとす * この場合の応力テンソルは一 2 0 0 となる .

26 1. 質点の力学 空間をカの場とよぶ . われわれの住んでいる地球上は重力の場である . 一般 のカの場を与えるためには , ( ェ , ) , ( ェ , 4 , , ( ェ , , という 3 っ の関数が必要である . 保存力では , これがたった 1 個の関数 U(), , から 求められる点に特色がある . いま , 保存カの働く場のなかで運動している質点を考える . 質量をと し , この質点に働く以外のカ ( の合カ ) をとする . 質点が A から B まで動いたときの仕事と運動エネルギーの関係は ( 1.26 ) 式により 1 2 1 Fc ・ dr 十 2 ( 1.42 ) で与えられる・ところが , 保存力に対しては ( 1.37 ) 式が成り立っから , 上の 式の右辺第 1 項はポテンシャル U を用いて とかかれる . ただし , 右辺で U(), を U(r) た . 今後も場所の関数をこのように記すことにする . と略記する記法を採用し ( 1.43 ) ャルエネルギーという . ( 1.44 ) 式は , 考えている保存カ以外の力が行う を ( 質点が位置′にきたときにもつ ) 位置のエネルギーまたはポテンシ という式になる . このように運動エネルギーと一緒にしたとき U(r) のこと 2 ( 1.44 ) 襯 B2 十 U(rD 1 ( 1.43 ) 式を ( 1.42 ) 式に代入し , 移項し整頓すると 仕事が , 運動エネルギーと位置のエネルギー これらを力学的エネル ギーと総称する一一一一の和の変化高に等しい , という関係を表わしている . 特 に保存カ以外に力が働かない場合や , 働いていても垂直抗力や糸の張力のよう に常に質点の運動方向に垂直で仕事をしない場合には , ( 1.44 ) 式の右辺が 0 これを力学的エネルギーの保存則という . つまり運動のあいだ常に全力学的エネルギーが不変に保たれることがわかる . 2 ー B2 十 U()D = ー襯 2 十 U(rD 1 になるから , ( 1.45 )

1.9 仕事と運動エネルギー または ( 1.2 の ( 1.21 ) となる . g/l = の 2 とおくとこれらは前節の ( 1.17 ) 式と全く同形であるから , 結果をそのまま使うことができる . のとのをかってな定数として = の sin ( 1.22 ) が一般解である . 単振り子の周期は となって 性という . 振幅が小さい限り 振幅に無関係である . ( 1.23 ) これを等時 [ 問 ] 周期がちょうど 1 秒になるような単振り子の糸の長さはいくらか . 1.9 仕事と運動エネルギー ら , を接線成分と主法線成分に分けたとき , ( 1.9 ) 式により 質点に働いているカ ( すべてのカの合カ ) をとすると = 襯。であるか 円運動ではの = 0 であることによってもわかる . のであり , 4 れの方は運動方向の変化だけに関係している . このことは , 等速 かう ) の成分 4 れとに分けた . 速さ ( 速度の大きさ ) の変化に関係のあるのは 9 ページで加速度を軌道の接線方向の成分のと主法線方向 ( 曲率中心に向 = 襯のから ル = 襯 4 ルから ( 1.25 ) ( 1.24 ) であることがわかる . つまり , 速さの変化をひき起こすのはのうちの接線 成分だけである . 質点の道上の 2 点 A , B のあいだを個の等しい長さ ( ホとする ) の部分に細分し , 番目と ~ 十 1 番目の分点のあいだで速さがから + 1 に いま ,

付録物理で使う数学 340 A- 4 偏 微 分 変数が 1 個のときの関数 = 工 ( ェ ) は平面上にグラフ ( 曲線 ) で表わせるが , 2 変数 関数 = 工 ( ェ , のの場合にはこれに対応するものは曲面になる ( A ー 7 図 ). いま , の値を固定してェだけを変え たとすると , 工 ( ェ , のは図の曲線 PABQ C' で表わされることになる . このとき工 ( ェ , のをで徴分したものを , ′では工と のどちらで微分したのかわからないか ら , ( ェ , のとかき , ェに関する偏微 分係数とか偏導関数といい , 微分記 号には d の代りにを用いる . 工 ( ェ十」ェ , の一ア ( ェ , の ( A. 16 ) これは , 図の AB のこう配の B → A の 極限を表わす . 同様にして , のに関する偏徴分係数は = ( , の = lim 」 V → 0 で定義される . 1 変数の関数 = 癶ュ ) の無限小変化は ( A. 2 ) の分母を払った式 = ア ( で 与えられる・これは」 ( 」ェで」の→ 0 とした極限の関係とみなすことができ る・同じことを 2 変数関数のときに考えてみよう . ェを」ェ , を」だけ変えたときのの変化高は図の DD' で表わされるが , 式 では これに工 ( の , + 」のを引いて足すと となる . R : 4 lim / 工→ 0 A ー 7 図 ( A. 17 )

9.4 加速系と等価原理 Mc2 十 e= ( MI 十 M2 ) ド あるいは M 十 JM = MI 十 ()M = 6 な 2 ) 293 という関係が成り立つ . このような場合 , JM は M にくらべて無視できるほ ど小さくはない . 核反応に関係した一原子あたりのエネルギーの出入は , 化学 変化にくらべて桁はずれに大きい ( 約 100 万倍の程度 ) からである . なお , ( 9.7 a ) で定義した 20 は , ( 9.12 ) の E をちょうど c で割ったも のになっている . つまり , 運動量の 3 成分に , 第 4 成分として E/c を付け加 えたものが , ( ェ , 4 , のと同じ変換をする四元べクトルを形成しているので ある . 空間の 3 成分に運動量の 3 成分を対応させるとき , 時間に対応するのは エネルギーなのである . また , この四元べクトルを , 2 つの座標系で表わした ときには , ( 9.9 ) の関係が成り立つが , 第 0 = E な , カ 0 ′ = E ′なとおけば , この 式は とも表わせる . らない量 ) は が c2 ー E2 = が 2C2 ー 2 ( 9.13 ) ( 9.12 ) を入れれば , この不変量 ( 座標系のとり方によ ( 9.7 ) , ー襯 0 % 4 に等しいことがすぐわかる . [ 問コ , をの関数と考えて布 / 市の 3 成分を計算し , = 市 , dy= 9.4 加速系と等価原理 め , ( 9.11 ) を証明せよ . を示せ・ { ・・・ } 内は襯 0C2 / VI ー v2 な 2 をで微分でしたものになっていることを確か ー 3 / 2 } 市 = 伽 0 ( 一ら + 協 ) ( 1 v2 な 2 ) 市 , = 協市を用いることによって けの力とは区別ができず , 本質的には同じものである , という等価原理を理 点で重力と同じ性質をもっ . そこでアインシュタインは , 重力と加速系の見か たように , 加速系では見かけの力が現われるが , それは質量に比例するという を一般化し , 加速系をも包括的に扱う一般相対性理論をつくった . 1.15 で見 特殊相対性理論で扱うのは慣性系だけであったが , アインシュタインはこれ

122 4 ・振動・波動と光 れの重ね合せ ( フーリエ級数 ) でできる周期的な関数である . 関数で表わされるものが正弦波である . ただーっの正弦 ( 4.31 ) を固定してだけの関数とみれば , これはェが 2 応なだけ変わるごとに同じ 値をとるから , 2 応 ( 4.32 ) わすが , くわしくいうときには波の位相速度とよぶ . = とかくと という波長の波を表わしている . んを波数とよぶ . は波の進む速さを表 ェ , の = A sin ( たエー + の ( 4.33 ) となるが , 今度はェをとめて ( つまり一定の位置で ) をの関数とみれば , 周期が T = 2 応海の単振動になっている . ン = 2 窕 = I/T がその振動数 あるいは周波数である . = をスとンで表わせば スン = ( 4.34 ) というよく知られた関係式になる . スはこの波の振幅である . 正弦波が固定端や自由端で反射すると , 同じ振幅で反対向きの反射波を生じ る . 入射波と反射波を重ねたものは 4 ( ェ , の = A sin ( ー + の + A sin ( たェ十十〆 ) COS 診 = 2 sin んェ十 まう . 規準振動の振動数はそのようにしてきまる . ( あるいはえ ) は制限され , それに応じて = も特定のものに限られてし などのように , 2 つの端で境界条件が課せられると , 両方を満たすようにん きまる . ) 固定端は定常波の節になり , 自由端は定常波の腹になる . 張った弦 とよばれる . ( の , 〆は入射波の与え方 , 反射する場所 , 反射のしかたによって という形になる . これは 4.5 で規準振動として求めたものと同じで , 定常波 数は 1 : 3 : 5 : 7 : ・・という比になることを示せ . 一方が固定端 , 他方が自由端であるような管内にできる気柱の規準振動の振動 [ 問 ]

A ー 3 関数の積分 となるので , ( A. 7 ) から cos 6 十 ~ sin 6 が得られる . 複素数。十朝 , 6 は実数 ) を A- 4 図のよ うにして平面 ( ガウス平面という ) 上の一点 で表わすことはよく行われるが , をこの方式 で図示すると , 原点からの距離 ( 複素数の絶対 実数軸 値 ) が 1 で , 実数軸との間の角 ( 偏角という ) が 6 であるような点で表わされることがわか A-4 図複素平面 ( ガウス平面 ) る . したがって , + ルは , その絶対値を c = V - , 偏角を 0 (tan0=b/a) と すると 337 虚数軸 ( A. 11 ) e ( A. 12 ) ¯c(cosO 十 isin の 。十 = c ー十一 と表わされることがわかる . C e A-3 関数の積分 速さが一定ならば , ( 走った距離 ) = ( 速さ ) x ( 時間 ) である . 速さが一定でないとこ うはいかない . そういうときには , 走った時間を細かく分け , きわめて短いあいだだけを 考えると上の簡単な関係が成り立っ . これをム = 上 , あるいは極限の場合を考えてム = と表わすことができる . このような微小距離を よせ集めれば , 有限時間のあいだの走行距離が 求められる . このよせ集めを積分といい , のように表わす . 積分記号は和 (sum) の頭文字 の s をとったものである . 一般に , 関数 = 癶のがあるとき , ェ = 4 からェ = みまでの区間を細分して , 図のような 4 6 、工れ十一 凶ェ A ー 5 図積分

310 9. 現代物理学 である . 第 2 式 ( カ = ん / ス ) の右辺は , んと波数ベクトル ( 124 ページ参照 ) の大きさんを用いるととかけるから , 方向まで入れたべクトルの式と して と表わせることがわかる . = 方ん ( 9.35 ) 外力を受けずに等速度運動をしている粒子は盟が一定であるから , これを表 わす波はが一定な平面波となるであろう . そして E = が / 2 襯であるか ら , ( 9.33 ) と⑨ 35 ) を使えば , んとのの間には ( んェ 2 十 2 十 2 ) という関係があるはずである . 2 襯 ( 9.36 ) 物質波の場合 , 平面波は ( 4.38 ) 式 ( 124 ページ ) のような三角関数ではな く , 337 ページに与えられているような虚数の指数関数 ( 実部も虚部も三角関 らの =cexp(i(k•r—ot)) = C exp{i(kzc 十ん刄十 で表わされると考える . そうすると , が成り立っていることがわかる . そこで , 外力の有無にかかわらず , 波動力学 では常にエネルギーと運動量を 刃→訪 盟→ー訪▽ = 方ん など ( 9.37 ) ( 9.38 ) のように演算子で置き換えると約束する . そうすると , ポテンシャル ( 位置 エネルギー ) が V(r) で与えられるような保存力の場の中で運動する質量襯 の粒子では , が成り立つから , 1 ( ル 2 十九 2 十 2 ) 十 V(r) 2 襯 ( 9.38 ) の置き換えを行うと , この式の右辺は ( 9.39 )