114 4. 振動・波動と光 という関係があればよいことがわかる . つまり ( 4.19 ) 式の一つの解として ( の = Csin た sin ( 十の ( 4.20 a ) ( 4.20 b ) cos kd = 1 2 T があることがわかった . 境界条件 = 0 は自動的に満たされているから , = 0 よ り kNd = , 2 , 3 応 , ・ , つまり 2 3 ( 4.20 c ) Nd' Nd' Nd ' Nd' でなければならないことがわかる . kj=jr/Nd とすると , た 2 Ⅳ一 = 2 ーたであるか ら , sin た 2 Ⅳー d = ー sin たイ , cos た 2 Ⅳ一 = cos たとなり , ( 4.20 a ) 式や ( 4.20 b ) 式でとた 2 」とは ( C の符号が逆になることを除いて ) 全く同じ結果しか与えない ことがわかる . したがって ( 4.20 c ) 式のゾとしては 1 , 2 , 3 , ・・・ , N— 1 だけとればよい = ー 1 = 0 の場合を表わすから除いて (j=N は sin んⅣイ = 0 , したがって = 42 = よい ). つまり ( 4. 20a ) のような運動にはた = 乢た 2 , ・・・ , ( = / N の , ・ ・・ , Ⅳー 1 の N—I 種類があることがわかる . N=6 の場合の乢た 2 , た 3 に対する運動を 図示すると 4 ー 14 図のようになる . このよう な各に対する ( 4. 20a ) の運動が , それそ れ規準振動にな。ている . それがちょうど自 由度と同じ個数だけあることも知った . 各規 準振動の振動数は ( 4. 20b ) 式に 1 ー COS 夜 = 2 sin2(a/2) を適用して得られる 4T sin あイ 4 T S1n 2 md ( 4.21 ) によって計算すればよい . 2 0 ) 2 0 ) 3 4 ー 14 図規準形 ( ノーマルモード ) 4.5 弦の振動 線密度びが一様な弦を張カ T で張り , これに横振動 ( 弦に垂 直な振動 ) をさせる場合を考え る . 弦の平衡位置に一致させて ェ軸をとり , 位置ェにおける変 位を = 4 ( 工 , の で表わす . 変位は時間オにもよ 2 Ⅳ 7 ' 十 ェ十」ェ 4 ー 15 図 弦の細片 PQ に働く力は , 両隣接 部分から受ける張力である .

3.1 ひずみと応力 ひずみは位置によって異なるから , それにともなって生じる応力も一般に は位置によって異なるが , 同じ場所でも応力は考える面の方向によってちがう . 例として太さ S が一様な棒をカで引っぱっている場合に , その内部のかっ fS = F てな点 P における応力を考え 応力も一様であるから , P はど こにとっても同じである . 面が 棒に垂直なときをまず考える . この面で棒を切ったと考えて ( 実際に切るのではない ) , その fS = F 3 ー 2 図面 PQ で働いているのは張カ 片側の部分 a だけに着目してこれを一つの質点系とみれば , これは静止してい るから , 一端に働く大きさの力をちょうど打ち消すような力が切り口面の ところで働いていなければならない . すぐにわかるようにこの力は面に垂直で 大きさがであり , これは面を通して隣接する部分 b から受けている力であ る . ゆえにこの場合の応力は法線応力だけで , 大きさが工 = S の張力であ ることがわかる . b の部分が受けている力も同様にして大きさが工 = S の 張力である . 当然のことながら , 作用・反作用の法則はこの場合も成り立って 今度は棒の方向と角 0 をつくるななめの面を考えよう . 切り口の面積は S/sin であるが , a のつり合いを考えれば面全体にわたって棒の方向に の力が働いているはずである . イ、 2 〃 したがって , 単位面積あたりには 工 sin ,fsin9 fsinOcos0 という力が作用していることにな る . これを 3 ー 3 図のように ま考えている面の法線方向と接線 方向に分ければ 3 ー 3 図法線応力と接線応力 法線応力 = fsin20 ( 張カ ) ( 3. 1 a )

4 ・振動・波動と光 SIII t COS t 144 S1n S1n r S1n t これに対し , E が反射面に平行な光で である . は , どのような乞に対しても反射係数は 0 には ならない . したがって , 偏らない光を上のよう な角で入射させた場合には , それを上記の 2 種 蘿 類の光に分けて考えると , の方向が反射面 に平行な成分だけが反射をする . つまり , tani=n という関係を満たす入射角 ( これを 4 ー 43 図黒丸は紙面に垂直な 偏光角という ) で当たった光の反射光は , 完 振動 , 短線は紙面内での振動 全な直線偏光になっていて , その振動方向 (E を示す . の方向 ) は反射面に平行である . これをプリュースターの法則という . それ以外の角でもかなりこれに近いので , 一般に斜めに当たって反射した光は かなり偏っているものである . [ 問コ魚釣りをする人が水面での反射光を減らす目的でかけるめがねは , どのような ものであればよいか・ 楕円偏光 ( 4.45 ) 式で方向の振動と方向の振動は同位相であるが , 動のあいだに位相差があって 刃 = ( osin リ十 ( osin ( ーの ) ん のようになっていると , 刃べクトルの先端は 平面内で楕円振動 ( 振動数が等しい場合のリ サジュー図形 ) を行う . このような光を楕円 偏光という . また , 特に 刃 = ( 刃 0 cos 観リ士 ()O sin ) ん のような光は円偏光とよばれる・ この 2 つの振 4 ー 44 図楕円偏光の振動

1. 質点の力学 ス・ cos ース′ sinO ス sin O 十ス火 cos という関係のあることが 1 ー 24 図からわかる . これらは行列 ( マトリックス ) を用いて ( 1.47 ) COS O Sin 0 ーー Sin 0 COS Av COS 0 - ー Sin COS と表わすこともできる . つぎに , 速度や加速度を極座標で表わすことを考えよう . 位置は 工 = r COS 0, = r sin O で与えられるが , 工とが時間オとともに変わるときには r や 0 もオの関数で ある . したがって , これをで微分して イエ COS 一一 r dy あるいは略号 * を用いて = cos 0 ー sin の sin 0 十 cos を得る . いまこの速度べクトルじを , 動径方向 ()P 方向 ) とそれに垂直 @ の増す向きを正とする ) な方向の成分に分 けることを考えると , これは 1 ー 24 図の場 合と同じであるから ( 1.46 ) 式が適用できて ′ = ェ COS - ト Vv Sin sin O 十巧 cos O であるが , これに上記の式を代入すれば ( 1.48 ) ートンにならって , これを文字の上の点で表わすことが多い . ( 1.46 ) ′ ( 1.47 ) ′ Sin sin 0 十 r COS 1 ー 25 図 * まで徴分するときには , d2r = デなどである . 2

4 ・ 15 偏 光 141 各「スリット」から出る光は , 前節で扱ったような回折を示すわけである が , 隣り合うスリットからの光の干渉効果によって , これがさらに鋭い線に分 かれる . 4 ー 39 図に示すように , 隣り合うスリットの対応す る点から出て , 格子面の法線との角をつくる方向に 進む波を考えると , その光路差は dsin0 である . れが波長スの整数倍であると , 隣り合うスリットから 出た光は互いに強め合うことになる . したがって イ sin = 0 , 士み士 22 , 士襯ス , の方向は明るくなる . I だけ離れたスクリーン上に , レンズで光を集めることにするなら ( 4 ー 35 図と同様にする ) , 2 1 ェ = I sin 0 = 0 , 士一ス , 士一一 - 一み のところが明るくなる . を回折の次数という . 各スリットはある幅 ( < のをもつから , そこから出る光は前節で述べたような d s in 0 4 ー 39 図回折格子の 隣り合うスリットか ら出る光の光路差 ml 4 ー 37 図のような d 入 方向性をもっている . したがって , 上に求めた ll/d の整数倍の 2 入 d 3 入 d 4 入 d 位置がたまたま 4 ー 37 図で強さが 0 になる位置 ( 土以 / 4 , 土 2 以 , と一致すると , そこには回折格子に よる明るいしまが現われなくなる . しかしこれは町 4 = な ( 整数比 ) になるときだけあって , こういうこ とはふつうの回折格子ではほとんど ないと思ってよい . > であるか ら , 一次の回折 ( = 土 I ス / のが 以 / 4 の整数倍と一致することは決 してない′ 4 ー 40 図回折格子による回折像の強度分布 . 波線 は各スリットに対する 4 ー 37 図の分布 . 4 」 5 偏光 のちに 8.7 で学ぶように , 光は進む方向と振動の方向が垂直な波 , つまり 横波である . それを示すのが偏光という性質である . 振動しているのが一

4.13 スリットによる回折 139 上の各点の振動を合成す れば , レンズで光が X 点 に集まったときの X 点 における光の振動が求め られるであろう . スリット AB に当た る光が完全な平面波 ( 平 行光東 ) で波面はスリッ 4 ー 36 図スリットを通って , そのまま 0 方向に進む光 ト面に完全に平行であっ たとすると , スリット AB 上の点における振動はすべて振幅も位相もそろっ ている . それをス sin と表わすことにする . そうすると , 4 ー 36 図の 6 と を十のあいだから出て PQ 上の相当する位置に到達する光の波の振動は 尺十 6 sin ぼ = BQ) 夜 S1n とかけるであろう . は A に比例する定数である . これらをレンズで X 点 に集めたときの振動は SIII の R 十 6 sin 尺十 sin COS の t + ( 4 / 2 ) sin Co / の Sin (D Sin 2C0 Sin COS の SIII O)t SIII 2C0 となって , 振幅が Sin 0 2C0 2C0 夜 S1n Sin の単振動であることがわかる . は小さいので , sinO*0=æ/l とおき , 点で感じる光の強さ 1 ( ェ ) はこの振幅の 2 乗に比例することを使うと S1n 2col 1 ( ェ ) 2 となる . 光の波長ス = 2 靃 0 海を用いると 2

106 4 ・振動・波動と光 工 ( の = ス。十ス 1 cos 十み 2 cos 2 の十み 3 cos 3 の十・ 十お 1 sin wt 十 B2 sin 2 の十お 3 sin 3 の亡十・ となる . これをフーリエ級数とよぶ . 襯 , れを正の整数とするとき T/2 COS 〃 ~ の COS 〃のイこ 襯キれ T/2 S1n ア〃のこ Sin れの dt 襯キれ COS 襯の sin れの dt = 0 COS 襯こ dt = 0 , sin 〃 ~ の右 dt = 0 となることを利用すると , ( 4.5 ) 式の係数み , Bn をきめることができる . それには 工 ( のに cosmot や sin れを掛けて (—T/2, T/2) で積分すればよい . 工 ( の cos 襯の右 7 ' ーア / 2 工 ( の sin れ誂 [ 例 ] 4 ー 6 図のようなのこぎり波をフーリエ級数で表わすと 工 ( の sin2 の十・・・十 1 一 2 S1n れの十・ S1n の x=f(t) 4 ー 6 図の こぎり波 4.2 減衰振動 単振動をする質点に , 速さに比例する抵抗力が作用する場合には , 運動方程 式は 襯 2 工ー 2 襯 / の形にかけるから , 整頓して 十 2 ア十の 2 工 = 0 靼 . 7 と同様に , ェ = という形の解を探すと , を解けばよい . 力を求める ( 4.6 )

1.6 放物運動 巧 = Vo sin 0 = Vot sin O 13 ( 1.13 ) ( 1.14 ) = Vo cos 0, ェ = ↓ % cos のように運動が定まる . ( 1.14 ) 式からを消去すれば軌道の式が得られる . それには第 1 式から をェで = ツ協 cos0 と表わしておいて第 2 式へ代入すればよい . 結果は ( 1. 15 ) 2Y0 cos O 1 一 2 2 という放物線になる . 最高点では巧 = 0 となるはずであるから , ( 1.13 ) の第 2 式の左辺を 0 に するとして 投げてから最高点に達するまでの時間 が得られる . これを ( 1.14 ) の第 2 式のに代入すれば , 最高点の高さとして 0 sin 2 また ( 1.15 ) 式で = 0 にするェは , ェ = 0 のほかに 2 協 2 sin 22 Sin COS 0 9 があることがわかる . これは 1 ー 11 図の OR の長さ ( 射程 ) である . sin 20 が 最大値 1 をとるのは 20 = 畆 2 のときであるから , 0 = 畆 4 ( 45 。 ) の仰角で投 げたときに物体は最も遠くまでとどくことがわかる . Sin 0 9 75 。 - 30 。 一 15 。 60 。 1 ー 12 図同じ初速で投げた放物体の軌道

S 2.10 剛体の平面運動 ーイ cos O ( c ) 67 Y(t), 〆のを求めるというわけには MX = イ 9 sin ー ら , この式はお = M 又 / 2 となる . これを ( a ) に代入すると すると , を = ー M / 2 となる . ところが , = ーなので = ーであるか 得られる . 2.9 [ 例 2 ] の結果から % = M 。 2 / 2 が得られるから , これを (c) に代入 にやが生じているのである . Y = 0 なので ( b ) からただちに = Mg cos が うに現われる束縛力だからである . つまり , Y = 0 , = ーという条件に合うよう いかない . それはやは , 円板が斜面にめりこまず , すべることもなくころがるよ となる . もも未知なので , これから X(t) , 2 2 ーイ X 1 すなわち となり , わかる . d2X 市 2 積分して = 0 で X = 0 , X = 0 とすると dX 2 9 こ sin O, 2 9 ド sin X = 1 摩擦がなくてすべり落ちるときにくらべると加速度が 2 / 3 になっていることが 3 9 sin 0 この例で X = I のときを考えると , 円板は I sin だけ下がったことになるか ら , M 〆 sin0 だけ位置のエネルギーは減少している . このとき = 4/31 / い in の の速度を求め , M. 又 2 / 2 を計算すると 1 2 ーイ又 2 ( d ) 2 ーイ〆 sin 0 3 であって , 位置のエネルギーの減少分が全部 M. 乂 2 / 2 にはならないことがわか る . 残りは 2.5 ( 2.34 ) 式の右辺第 2 項の内部運動のエネルギーになってい るのである . いまの場合 , これは重心のまわりの回転であって 1 2 9 である . 1 —MR2 ( = ー 4 の 4 これは重心運動のエネルギーのちょうど半分に等しい . したがって ,

A ー 3 関数の積分 となるので , ( A. 7 ) から cos 6 十 ~ sin 6 が得られる . 複素数。十朝 , 6 は実数 ) を A- 4 図のよ うにして平面 ( ガウス平面という ) 上の一点 で表わすことはよく行われるが , をこの方式 で図示すると , 原点からの距離 ( 複素数の絶対 実数軸 値 ) が 1 で , 実数軸との間の角 ( 偏角という ) が 6 であるような点で表わされることがわか A-4 図複素平面 ( ガウス平面 ) る . したがって , + ルは , その絶対値を c = V - , 偏角を 0 (tan0=b/a) と すると 337 虚数軸 ( A. 11 ) e ( A. 12 ) ¯c(cosO 十 isin の 。十 = c ー十一 と表わされることがわかる . C e A-3 関数の積分 速さが一定ならば , ( 走った距離 ) = ( 速さ ) x ( 時間 ) である . 速さが一定でないとこ うはいかない . そういうときには , 走った時間を細かく分け , きわめて短いあいだだけを 考えると上の簡単な関係が成り立っ . これをム = 上 , あるいは極限の場合を考えてム = と表わすことができる . このような微小距離を よせ集めれば , 有限時間のあいだの走行距離が 求められる . このよせ集めを積分といい , のように表わす . 積分記号は和 (sum) の頭文字 の s をとったものである . 一般に , 関数 = 癶のがあるとき , ェ = 4 からェ = みまでの区間を細分して , 図のような 4 6 、工れ十一 凶ェ A ー 5 図積分