/ は ) の、ある場所は = ののサンプルをとる ( 試料を採 取する ) ような働きをするわけです。 こでは階段関数との関係でデルタ関数の説明を始めま したが、 ( 4 一 8 ) 式と ( 4-9 ) 式がデルタ関数の定義です。 このデルタ関数は従来の関数とは異なる性質を持っている ので超関数と呼ばれています。 なお、少し考えると、デルタ関数にはェを変数として öは一の = ö ( - + の ( 4 ー 10 ) という性質があることがわかります。この式では = 4 のとき、両辺ともカッコの中はゼロになるので、左辺の表 記でも、右辺の表記でも、ェ = 〃に位置するデルタ関数を 表しています。 ・テルタ関数のフーリエ変換 このデルタ関数のフーリエ変換を求めてみましょ る方もいると思いますが、意外に簡単です。 う。いったいどうやって求めるのだろうと、少し心配にな 1 1 まず、デルタ関数のフーリエ変換の式は、次式の左辺で す。 きます。 ノ 34 2 2 / ö(x—a)e-tkXdx= こで、左辺の積分に注目すると、この積分は ( 4 ー 9 ) 式 ( 4 ー 11 ) の / は ) に e ー・れを代入したものと同じであることに気づ よって、 ( 4 ー 11 ) 式の右辺が導けます。というわ

第 4 章代表的な関数のフーリエ変換 新しい数学の概念が、数学者だけによってもたらされる ートンが力学を構築する際に微分・ 積分を生み出したように、物理学が数学の発展を促すこと とは限りません。 ■テルタ関数 131 ルタ関数が存在します。面積は 1 なので積分で書くと、 にします。つまり、カッコの中がゼロになるェ座標にデ ェ = 4 のところにあるデルタ関数をöは一ので表すこと がっきます。ェ = 0 に位置するデルタ関数を 6 は ) と書き、 高さには、先ほど述べたように面積が 1 であるという制限 無限に細く、高さは無限に高いとします。また、この幅と 面積が 1 です。ただし、図 4 ー 10 の右下の図のように、幅は デルタ関数も、このガウシアンのような柱状の関数で、 あるとします。 なっているとします。また、このガウシアンの面積は 1 で この関数の微分はその下の図のようにガウシアンに まるくなっていて、直角にはなっていないものとします。 段状の関数を考えてみましよう。ただし、この階段の角は デルタ関数を理解するために図 4 ー田の左上図のような階 デルタ関数を見てみましよう。 「デルタ ( 関数」です。本節では、奇妙でおもしろい 者デイラックが、新しい関数を考え出しました。それが まりました。量子力学の創設に関わったイギリスの物理学 物理学の世界では、 20 世紀になって量子力学の発展が始 究者も多数存在しました。 ェ、ガウスのように、数学と物理学の両方に取り組んだ研 が歴史上には度々ありました。また、オイラーやフーリ

階段状の関数 1 ガウシアン 階段関数 1 デルタ関数 高さは無限に高く、 幅は無限に狭い。 ただし、積分する と面積は 1 。 4 図 4 - 1 0 デルタ関数と階段関数の関係 ( 4 ー 8 ) 数の微分です。この高さ 1 の直角の関数を ( 単位 ) 階段関 ではなくて、図 4 ー 10 の右上の図のような角が直角の階段関 かど です。ただしデルタ関数は角がまるい階段状の関数の微分 732 数と呼びます。 となっています。デルタ関数との関係を式で書くと 1 ェ > 〃 0 工 < 〃 この関数は日を使って表して

第 4 章代表的な関数のフーリエ変換 は ) = öは ) です。 このデルタ関数は、他にもおもしろい性質を持っていま す。ある関数 / は ) にデルタ関数をかけて積分してみま しよう。積分範囲は住からまでで、デルタ関数はこの 間のェ = 〃にあるとします ( 住 < < 。部分積分を用い ると 日は一の市 となります。階段関数はェ < でゼロなので、右辺の第 1 項はェ = の値だけが残ります。また、第 2 項では同 しく階段関数の性質により、積分範囲が「住から日まで」 から「〃からまで」に変わります。よって、 みは ) となります。まとめると、 ff(x)ö(x—a)dx=f(a) ( 。く。 < ( 4 ー 9 ) が得られます。つまり、デルタ関数がある場所は = の での関数 / は ) の値 / ( のが求まります。あたかも関数 133

第 4 章代表的な関数のフーリエ変換 けで、あっという間にデルタ関数のフーリエ変換が求まり ました。ェ軸の原点にあるデルタ関数の場合は、〃 = 0 な ので、さらに簡単になって、 1 となります。 2 兀 この ( 4-11 ) 式の右辺のフーリエ逆変換について 考えましよう。当然これはöは一のになる ( はすな ) の で、次式が成り立ちます。 öは一の = ーーん 0 / 々工 e 砒 e 召 は一のん 1 2 ( 4 ー 12 ) となります。原点にあるデルタ関数の場合は、 = 0 なの で、さらに簡単になって、 e 砒 ( 4 ー 13 ) となります。この両式は、なんと複素指数関数の積分がデ ルタ関数であることを表しています。 ( 4 ー 12 ) 式と ( 4-13 ) 式は、超関数であるデルタ関数を、従来の関数で表現して いると見なすこともできます。 この ( 4 ー 13 ) 式の物理的な意味を、少し考えてみましょ う。ます、を空間の座標とし、んを波数とする場合に は、 e ・れは波数んを持っ平面波を表します。よって、 ( 4 ー 13 ) 式の右辺の積分は、一から十までの波数ん を持っ平面波を足し合わせると、空間的には無限に幅の狭 いデルタ関数状のパルスになることを表しています。 735

度分布んは , のが、次式のように、デルタ関数のかけ算 で表せると仮定します。 んは , 0 ) = カ oöは ) ( 5 ー 4 ) デルタ関数で表すということは、最初の熱分布は無限に幅 が狭いことを意味します。この後 > 0 ) の固体内の温度 分布がどのようになるか考えてみましよう。解くべき方程 式は ( 5 ー 3 ) 式で、 ( 5 ー 4 ) 式は初期条件です。 で、カは , ののェについてのフーリエ変換が 〃 ( ん , のであるとします。この場合、フーリエ変換の関 係にあるのは変数工と変数んの間だけで、こでの変数 はフーリエ変換とは無関係です。この関係は次式のよう に書けます。 9 団は , = 〃は , の = 1 2 この式の物理的な意味は、これをフーリエ逆変換の式に書 き直すとわかりやすいので、フーリエ逆変換の式で書くと、 んは , の = 1 2 兀 ( 5 ー 5 ) になります。これは、波数んを持っ波〃 ( ん , の e ・の重 ねあわせ ( 積分 ) で温度分布力は , t) が表されるという ことです。 さて、こから ( 5 ー 3 ) 式の微分方程式を解いていきま す。ます、 ( 5 ー 3 ) 式の右辺をフーリエ変換します。これ 754

e れーん ) 工 d ェ十 れ一 0 ーん ) 工 d ェ となります。 ( 4 ー 12 ) 式を使ってデルタ関数に書き換えると ( 4 ー 10 ) 式より、 となり、 2 - い ( ん一の + öは + の } となります。新軸上で無限に続くコサイン波」のフーリ ェ変換は、「ん軸上では無限に幅が狭い 2 つのデルタ関数 の和」で表されるということになります。 次に、サインのフーリエ変換も同様にして 1 2 兀ー 2 となります。このようにサインとコサインのどちらのフー リエ変換もデルタ関数で表されます。 ・代表的なフーリエ変換 本書で求めた代表的なフーリエ変換を、表にしておきま しよう。フーリエ変換が必要になったら、わざわざ積分計 算をしなくても、この表を見れば間に合うというわけで す。 sinbxe-z = ノ 38

から積分へ 93 単一方形 / ヾルスのフーリエ変換 9 6 同時代の天才たち 9 8 フーリエ変換 代表的な関数 指数関数のフーリエ変換 1 0 2 ガウシアンの半値全幅 1 0 6 ガウシアンのフーリエ変換 108 ガウシアンのフーリエ変換の応用例 1 1 3 光バルスの時間幅とスペクトル幅の関係 1 1 8 ハイゼンベルクの不確定性関係 1 2 2 光ファイバーの帯域 124 ガウス 1 2 8 デルタ関数 131 デルタ関数のフーリエ変換 134 サインとコサインのフーリエ変換 137 代表的なフーリエ変換 138 101

なるか考えるわけです。 この / ( の = 1 をラブラス変換してみましよう。 s 三住十 とします。 1 ・ e 市 —at t → ( 6 ー 2 ) となります。こで、 3 行目の第 1 項が→でゼロに なるのは住 > 0 の場合のみです ( 住く 0 なら発散します ) 。 なので、住 > 0 という条件を付けます。 2 つ目は、階段関数と関係が深いデルタ関数ö ( / ーの をラブラス変換してみましよう。 この積分はデルタ関数の 性質である ( 4 ー 9 ) 式を使うと、 ー a.S となります。ただし、積分範囲である 0 との間にデル タ関数が存在する場合です ( 0 < 〃 < ) 。 3 つ目として、 / ( の = をラブラス変換してみましょ 768

また、んとェではなく、角振動数のと時間一で ( 4 ー 13 ) 式を書くと、 1 2 び研の となります。これは、先ほどのガウシアンのところで見た 不確定性関係に対応しています。角振動数のを一から 十まで積分するということは、スペクトル幅が無限に 広い波を重ね合わせることを意味していて、このとき無限 に時間幅の狭いデルタ関数状のパルスになることを表して います。この ( 4 ー 12 ) 式と ( 4-13 ) 式の関係は物理学でも たびたび登場するので、暗記しておくと便利です。 このデルタ関数を考え出したデイラックは、 1902 年にイ ギリスのプリストルで生まれた理論物理学者です。量子力 136 ェイラック