第 2 章複素形式への拡張 となります。この中は、 0 ' " の項と 0 ー ' " の項がありま すが、 e ー ' 加の項を一生 - の左側に並べ替えてみましよう。 すると、 の十あ 2 2 の一 2 日 40 41 ール 1 ー 6 の十 1 2 2 2 e 十一 - 十 となります。 さらに係数ののや房は、が正の場合にのみ定義され ていましたが、〃が負の場合 ( 4 ー 1 や〃ー 2 など ) にも拡張 しましよう。この拡張のためには、コサインは偶関数で、 サインは奇関数であるという次式の関係を利用します。 =cos(—n0) COS 日 —sin(—n0) Sin 日 = これを元の ( 1 ー 9 ) 式のと ( 1 ー 10 ) 式の房の式に代入 すると、 1 1 と拡張できます。 したがって、フーリエ級数はこの拡張に よって 1 1 の一 〃 1 ー の十 2 ー十 1 2 2 2 e- 十一十 / 5

というわけで、これから量子力学を学ぶ方には、 学んだフーリエ級数の知識が大いに役に立ちます。量子力 学の世界もぜひ楽しんで下さい。 こまで ましよう。 いよいよ次章では、フーリエ変換への拡張に取りかかり きな峠を一つ越えたことになります。 広がりました。読者のみなさんは、フーリエ級数という大 2 んへの拡張」により、フーリエ級数の適用範囲は大幅に さてこれで、「複素形式への拡張」と、「周期 2 応から

第 2 章複素形式への拡張 最後のところでは、オイラーの公式を使っています。これ もとても簡単な形になりました。 もう一度まとめて結果を書いておきましよう。複素形式 のフーリエ級数は、 / ( の = c れ e ・加 2 応ー兀 です。 ・周期の拡張ーー - ・ -2 冗から 2 んへ ( 2 ー 4 ) ( 2 ー 3 ) これで複素形式への拡張が実現できました ーまで は、関数 / ( のの変数の範囲は一から兀の範囲を考 えていました。しかし、物理学や他の科学分野で実際に扱 う関数の周期は、 2 応に限られているわけではありません。 例えば、方形波にも周期が 2 ではなく、応や 4 応のもの もあるでしよう。このような関数については、周期を 2 からもっと一般的な 2 んに拡張する必要があります。 これは一見すると難しいように思いますが、実は変数の 変換をするだけなので、中身は簡単です。以下のように 変数を「周期 2 の日」から「周期 2 んの変数ェ」に変換 してみましよう。すなわち 一応日坙兀

複素形式への拡張 虚数の導入 5 4 複素数を座標に表示する方法 5 6 オイラーの公式 58 複素指数関数の微分 6 0 波を表すのに便利な虚数 6 1 波動関数 66 1 8 世紀を代表する数学者、オイラー 6 9 複素形式への変換 7 3 周期の拡張ーー 2 から 2 もへ 77 フーリエ級数と量子力学 80 53 フーリエ変換への拡張 フーリエ級数からフーリエ変換へ 84 フーリエ級数の係数を求める 85 方形波の間隔が広がった場合 8 8 方形波と方形波の間隔がさらに大きい場合 9 1 83

/ ご 0 フーリエ変換への拡張

第 3 章フーリエ変換への拡張 1 2 応—ml / ( ェ ) ・ e →工工砒 こで、単一のパルスを扱うには襯→と 8 となります。 すればよいので 1 2 応→ となります。これは単一バルスを表す関数にまで対応でき るように拡張したフーリエ展開です。これを次のように分 解して、それぞれフーリエ変換とフーリエ逆変換と呼びま す。上式のカッコの中がフーリエ変換に対応し、その外側 が、フーリエ逆変換です。 フーリエ変換 フーリエ逆変換 9 ー 1 [ F ( ん ] = / は ) 三 1 2 応 / ンは ) の " ' ( 3 ー 9 ) こで、 9 [ ] と 9 ー 1 [ ] はそれぞれフーリエ変換とフー リエ逆変換を表す記号です。 なお、このフーリエ変換とフーリエ逆変換の定義式で 95 1 2 応

第 3 章フーリエ変換への拡張 展開できれば、応用範囲は飛躍的に広がるでしよう。 単一のパルスに使える方法を、フーリエ変換と呼びます。 フーリエ級数の利点は、周期的な関数をサインとコサイン の足し算で表せることでしたが、フーリエ変換では、「周 期的ではない関数」まで対象が広がるのです。さっそく、 このフーリエ級数からフーリエ変換への拡張に取り組みま ■フーリエ級数の係数を求める ます、図 3 ー 1 の上図の周期的な方形波 / は ) のフーリエ 級数を求めてみましよう。これは、高さ 1 で幅 / 、周期 2 / の方形波です。この複素形式のフーリエ級数の係数のは ( 2-8 ) 式より、 Cn ー Cn 1 2 / 1 2 / ¯t S1n です。図 3-1 の上図の方形波 / は ) は偶関数なので、上式 では奇関数である sin との積は積分するとゼロにな ります。よって、コサインの項しか残らないので 1 2 / 2 となります。またここで、 の範囲で / は ) = 1 であり、それ以外の範囲では / は ) = 0 なので、積分の

虚数の存在を認めると、「数の概念」は、実数から拡張 されて、実数と虚数の両方で表されるということになりま す。そこで、この拡張した数を複素数と呼ぶことにしまし た。複素数は、実数〃と虚数んの和で表されます。式で 書くと 〃十ん・ となります。 ・複素数を座標に表示する方法 この複素数を図示できるようにしたのが、 19 世紀最大の 数学者といわれるガウスです。ガウスは横軸 ( このェ軸 を実軸と呼びます ) に実数をとり、縦軸にの 4 軸を虚 ふくそへいめん 軸と呼びます ) に虚数をとった複素平面 ( 「ガウス平面」 とも呼ばれる ) を考え出しました。図 27 の複素平面にお いては、複素数〃十房は、ェ軸 ( 実軸 ) 上の大きさが でク軸 ( 虚軸 ) 上の大きさがわである 1 つの点として表 されます。 この複素数〃十厖を、極座標で表すこともできます。極 座標表示では、面上の座標は , のではなく、図 2 ー 1 のように原点からの距離 % と実軸は軸 ) からの角度 にれを偏角と呼びます ) で複素数を表します。ですから、 〃十ル = % (cos 十 / sin の となります。 複素数の絶対値の大きさは、 この図の原点からの距離で

第 3 章フーリエ変換への拡張 欧のノルウェーからはアーベル ( 1802 ~ 1829 ) が登場しま 同時代の著名な物理学者には、アンべール ( 1775 ~ 1836 ) 、アポガドロ ( 1776 ~ 1856 ) 、ファラデー ( 1791 ~ 1867 ) などがいます。 ートンカ学は、オイラーやラグ ランジュ、ラブラスらの活躍によって完成の時期を迎え、 一方電磁気学は、アンペールやファラデーらの活躍によっ て、創立の時代を迎えていました。 99

第 2 章複素形式への拡張 1 1 1 ん 兀ーんん 房も同様に求められます。 1 1 1 ん ( 2 ー 4 ) 式ののも同様に書き換えられます。 2 ー兀 2 ん一ん これでの、房、のが求められました ! これらのの、 房、のを使うとフーリエ級数は周期 2 んの関数にも対応 します。適用範囲が大幅に広がったわけです。もう一度、 結果をまとめて書いておきましよう。 1 Cn 1