推移 - みる会図書館


検索対象: 高校数学でわかるフーリエ変換
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1. 高校数学でわかるフーリエ変換

第 6 章ラブラス変換 / ラ ( の。→ + / g ( の。→ ■推移則 も成り立ちます。 同様に となります。 7 / 3 図 6 ー 2 のように関数をそのまま平行移動させるためです。 を意味します。単位階段関数をかけるのは、「すれたとき りますが、が時間を表す場合は、時間「だけ遅れること e-st をかけたものになります。ここで「は正 ( > 0 ) にと してラブラス変換すると、 s 関数 F (s) に、指数関数 ラブラス変換に関するものです。 / を「 ( タウ ) だけすら というもので、関数 / ①と単位階段関数″ ( / ) の積の まず、 t 推移則というのは、 と s 推移則があります。 に、変数をすらしたときの関係です。推移則には推移則 それは、推移則で、フーリエ変換の性質にもあったよう この線形性に加えて、もう 1 つ重要な関係があります。

2. 高校数学でわかるフーリエ変換

1 2 関数 / ( のの / を / 0 推移させたもの ( つまり / 0- ) ーの 0 をフーリエ変換すると、 F ( の ) に e をかけたものに 等しいというものです。変数が時間を表す場合は、時間 推移則と呼ばれます。 この関係を導きましよう。上式の左辺にだ三ー / 0 の変 数変換を行うと ーの tO 1 2 兀 1 2 兀 =F(De となります。導けました。 推移則には、 F ( の ) ののをずらした場合の推移則もあ ります。こちらは、のが角振動数を表す場合には、周波数 推移則とも呼ばれます。 お ( の一の 0 ) のフーリエ逆変換はびの。 ( のである というもので、式で書くと 9 ー 1 [ F ( の一の 0 ) ] = - 乞の tO ー乞と 0 7 イ 4

3. 高校数学でわかるフーリエ変換

【三角関数】 ZCsin の = 望 [cos の = 【減衰振動】 公式集 s2 十の 2 s2 十の 2 ZCeatsin の / ] = [ e 砒 cos 研 ] = ・ラブラス変換の性質 (s ーの 2 + の 2 (s ーの 2 + の 2 S ー 4 【線形性】 [ e 彎 ( の ] = F ( s ーの s 推移則 推移則 【推移則】 23 /

4. 高校数学でわかるフーリエ変換

例えば、指数関数の乙推移 を考えましよう。 0 単位階段関数をかけない 場合は、この点線の部分 の関数も残ります。 てだけ平行移動させる。 図 6 - 2 t 推移 この推移則の証明には、だ三ー「という変数変換を 行います。この変数変換によって、積分範囲は、ゼロから ー「からに変わります。 だったものが、 e “は定数なので積分の外に出せます。 ー St 積分範囲を「一「から 0 まで」と「 0 からまで」に分 7 / 4 けると、

5. 高校数学でわかるフーリエ変換

第 5 章フーリエ変換の性質 1 2 となります。これで証明できました。 この線形性は、 / ( のを〃倍した ( のと、 9 ①をわ 倍した①の和をフーリエ変換しても同じように成り 立ちます。よって、 矼 ( の + ( ののフーリエ変換は。お ( の ) + わ G ( の ) である ということになります。式で書くと 1 2 兀 です。 この線形性は様々な場面で役に立ちます。例えば、フー リエ変換すべき関数ク①が一見複雑に見えたとしても、 その関数をフーリエ変換がわかっている関数 / ( のや 0 ( のの足し算に分解できれば朝 ( の = ( の + ( / ) ) 、 この関係を使うことによってフーリエ変換が簡単になりま ■推移則 次は、推移則です。ある関数 / ①のフーリエ変換が F ( の ) であるとします。推移則は、関数 / ( ののをシフ トさせたときに、そのフーリエ変換がどのように変わるか を表します。その関係は次式のようなものです。 743

6. 高校数学でわかるフーリエ変換

公式集 【周波数推移則】 9 ー 1 [ F ( の一の 0 ) ] = e ' のツ ( の 【相似性】 1 の 4 【微分のフーリエ変換】 1 階微分 2 階微分 ( の 2 / ① ただし、 tCt) F(co) 【積分のフーリエ変換】 ー 0 の ) 2F ( の ) 【時間推移則】 ーーの 0 = 0 limf ① t →士 235

7. 高校数学でわかるフーリエ変換

さくいん ガウス関数 ガウス平面 カエサル 拡散現象 角振動数 傾き 過渡応答 カルダーノの解法 カノレノー ガロア 奇関数 極座標 虚軸 虚数 虚部 偶関数 区分的になめらか 157 56 12 153 66 45 190 55 28 158 18 , 26 56 56 54 , 61 104 18 , 26 , 104 座標 時間 周波数推移則 周期的ではない関数 シャンポリオン 時分割多重伝送 実部 実軸 自然対数 指数関数 シーサー 時間に依存する方程式 時間に依存しない方程式 時間推移則 時間軸上の FWHM 66 66 122 144 80 80 12 102 108 56 104 125 49 85 144 42 44 43 23 127 161 207 207 55 62 103 16 128 16 周波数スペクトルの FWHM 122 シュレディンガー方程式 65 , 80 区分的になめらかな関数 区分的に連続 クロネッカーのデルタ サイン 最大の通信容量 【さ行】 コサイン 減衰を表す関数 減衰する波 現実の数 ケネリー・ヘビサイド層 ケネリー 群論 群速度分散 象形文字 初期値 振動しつづける波 振幅 振幅変調波 推移則 数の概念 スペクトル 正規 正規直交系 石英ガラス 積分可能 積分のフーリエ変換 線形性 絶対値 29 181 61 66 118 143 56 113 27 27 , 81 113 43 149 56 142 , 172 229

8. 高校数学でわかるフーリエ変換

となります。 この s 推移則は極めて便利です。表 6-1 の階段関数と指 数関数を比べてみると、この s 推移側が成り立っている ことがわかります。階段関数″① = 1 に指数関数 eat を かけて ( つまり、 eat を ) ラブラス変換すると、裏関数は 1 が 1 になっています。また、三角関数 sin と 減衰振動 eat sin の間にもこの関係が成り立っている ことがわかります。裏関数は、 7 / 6 平行に、虚数のマイナス無限大 ( 住ー / ) から、プラス という条件が付きます。積分範囲は、複素平面上で虚軸と ろどころが少し違います。こで、 / が正である 0 > 0 ) という形です。一見、ラブラス変換に似ていますが、とこ うか。式で書くと、 このラブラス逆変換は、どういう形をしているのでしょ ると 1 になり、一をラブラス逆変換するとになります。 の通りラブラス変換の逆なので、一をラブラス逆変換す に、ラブラス逆変換があります。ラブラス逆変換はその名 ラブラス変換には、フーリエ変換に逆変換があったよう ーラブラス逆変換 るということです。 けば、指数関数と減衰振動の裏関数は s 推移則から導け になっています。階段関数と三角関数の裏関数を覚えてお s2 十の (s ーの 2 + の 2

9. 高校数学でわかるフーリエ変換

第 6 章ラブラス変換 となります。単位階段関数は、だ < 0 でゼロなので第 1 項 はゼロです。よって、第 2 項だけが残って ー St =e-StF(s) この推移則は、単位階段関数の記述を省略 となります。 して と書かれることもあるので、注意して下さい。 もう一方の s 推移則というのは、 望 [ e 彎 ( の ] = F ( s ーの というもので、関数に指数関数 eat をかけたものをラブ ラス変換すると、 s 関数の s をすらした関数になるとい う関係です。導いてみましよう。 ノ / 5 = F (s ーの ¯()¯の tdt ラブラス変換を定義した ( 6 ー 1 ) 式と比べると

10. 高校数学でわかるフーリエ変換

フーリエ変換の性質 フーリエ変換の性質 1 4 2 線形性 1 4 2 推移則 1 4 3 相似性 1 4 5 微分のフーリエ変換 1 4 6 積分のフーリエ変換 1 4 8 たたみ込み積分 150 フーリエ変換の応用ーー熱伝導の問題 1 5 1 悲劇の天才、ガロア 158 141 ラブラス変換 165 ラブラス変換が活躍している分野 1 6 6 ラブラス変換とは 1 6 6 主なラブラス変換 1 7 1 ラブラス変換の線形性 1 7 1 推移則 1 7 3 ラブラス逆変換 176 ラブラス 1 77