この方形波とは、「正方形」とか「長方形」の「方形」 かど と同し意味で、角が 90 度の波形を意味します。ただし、き れいな方形波になるのはここで見たように〃が無限大の 場合で、〃が有限個の場合は図 1 ー 5 のように波打っ関数に なります。 方形波は電気信号として最もよく使われている波形の一 つです。みなさんが普段接している電化製品、例えば、テ レビ、携帯電話、パソコンなどの中を方形波が走り回って います。 この「方形波がサイン波の重ね合わせで表現できる」と いうことは、驚くべきことです。何しろ、、ぐにやぐにや曲 がった〃サイン波で、方形波のような直線と直角で構成さ れるカープを表せるのですから。 ・フーリエ級数の周期性 こで見たフーリエ級数の例は、日の範囲が一応から である 1 周期 2 応の関数でした。図 1 ー 2 を見ればわかるよ 、 sin の周期は 2 です。したがって、を 2 すら してもサインの値は同じです。 s ⅲ日 = sin ( 日十 2 図 1 ー 3 は、 sin 2 日のグラフですが、同しように sin 襯 ( 襯は整数 ) でも、日を 2 ずらしたサインの値は同しで す。よって、 sin 襯日 = sin ( 襯〃十 2 34

第 3 章フーリエ変換への拡張 0.25 0 0 2 4 6 となります。 図 3 -4 周期 41 の場合の c れ sin—のグラフと 1 これらの係数を c= して書くと、図 3 ー 4 になります。 カープ上の点がを表します。このグラフの = 0 で の値 (=co) は先ほどの値の半分の 0.25 になっています。 また、この図は紙面上でカープの大きさが先ほどの図 3 ー 2 と同じになるように書いていますが、横軸の縮尺は 2 倍 違っています。が 1 異なるごとに点があるということは 同じです。おもしろいのは、点の数が図 3 ー 2 の 2 倍に増え ていて密になっていることです。この場合には cn と cdn は、先ほどよりは近い値になるでしよう。 ■方形波と方形波の間隔がさらに大きい場合 さて、この方形波と方形波の間隔がもっとずっと広い場

複素形式への拡張 虚数の導入 5 4 複素数を座標に表示する方法 5 6 オイラーの公式 58 複素指数関数の微分 6 0 波を表すのに便利な虚数 6 1 波動関数 66 1 8 世紀を代表する数学者、オイラー 6 9 複素形式への変換 7 3 周期の拡張ーー 2 から 2 もへ 77 フーリエ級数と量子力学 80 53 フーリエ変換への拡張 フーリエ級数からフーリエ変換へ 84 フーリエ級数の係数を求める 85 方形波の間隔が広がった場合 8 8 方形波と方形波の間隔がさらに大きい場合 9 1 83

1 〃兀 SIII O. 5 4 また、 応 ) と、 3 2 1 〃兀 2 2 1 0 3 図 3 - 2 周期幻の場合の Cn / 。面 ( 実線の曲線と , , 軸に挟まれた部分の面 この図だと、の ( 図の破線の短冊の面積に対 積に対応 ) は、のの点の数が少ないので等しいとは言え ません。 ■方形波の間隔が広がった場合 次に方形波の間隔が広がった図 3 ー 3 のような場合ののを 求めましよう。方形波の高さが 1 で幅が / であることは先 ほどと同じですが、信号がない部分の幅が / から 3 / に なって 3 倍に広がっています。これによって、周期も 2 / から 4 / に 2 倍になっています。 先ほどと同様に係数を求めてみましよう。サインの 項は偶関数なので消えます。まず、〃半 0 のときは、 88

第 1 章フーリエ級数 ・・ + ー sin 15 日 デコボコの数は 15 個 ー sin 3 日 + ・・ sin 日十 15 2 0 8 6 4 2 1 1 0 0 0 0 兀一 2 2 - ー sin 3 日 + ーー sin 5 日 + ・・ Sin 日十 と 拾す 頁な →形 〃方 2 0 8 6 4 2 1 1 0 0 0 0 兀一 2 兀 - 2 図 1 - 6 方形波のフーリエ級数 りの値は、 4 = ー 1 や = 1 に限りなく近づくでしよう。 ということで、〃→の場合を見てみると、図 1 ー 6 の下 図の方形波になります。方形波は式で書くと、 1 0 < 日 < 応 一石 0 , 応 ー兀 < < 0 S ( の = です。

1 2 兀 は、両者とも めて がついていますが、 これを一方にまと フーリ変換 F(k)=J / ( , ) 。ー " ' 市 と定義する場合もあります。どちらを使うかは、分野に よって異なるので、読者のみなさんが実際に使う場合は注 意して下さい。 さてこれでフーリエ変換にたどり着きました ! とても 大きな前進です。 ー単一方形ノヾルスのフーリエ変換 フーリエ変換に到達したので、その具体的な実例とし て、途中まで計算した単一方形パルスのフーリエ変換を求 めてみましよう。 単一方形パルスの cn は、 ( 3-3 ) 式として途中まで求 まっています。フーリエ変換を表す ( 3 ー 9 ) 式と、のを表 す ( 3 ー 8 ) 式を見比べると、両者の間に 一 1 ワ 0 襯ワ 0 2 襯 / 96

第 3 章フーリエ変換への拡張 Cn の関係があることがわかります。 2 兀 2 襯 / パルスのフーリエ変換が求まります。 なので、これに ( 3 ー 3 ) 式ののを代入すれば、単一方形 2 襯 / 1 2 兀 2 襯 こで、 ( 3 ー 6 ) 式を使って、変数をんに変換すると、 2 兀 2 襯 ん 2 7 2 S ln 2 となります。これが単一方形パルスのフーリエ変換です。 ただし、サインの中の 2 分の 1 の表記がわずらわしいの と定義することにしましよう。これは、図 で、ル三 3 ヨの下図のように、方形波の幅を 2 ルと定義することを 意味します。するとフーリエ変換は、 2 ん 次章では、代表的な関数のフーリエ変換の実例を見てい と少し簡単になります。 応 2 sin んル 9 /

第 3 章フーリエ変換への拡張 展開できれば、応用範囲は飛躍的に広がるでしよう。 単一のパルスに使える方法を、フーリエ変換と呼びます。 フーリエ級数の利点は、周期的な関数をサインとコサイン の足し算で表せることでしたが、フーリエ変換では、「周 期的ではない関数」まで対象が広がるのです。さっそく、 このフーリエ級数からフーリエ変換への拡張に取り組みま ■フーリエ級数の係数を求める ます、図 3 ー 1 の上図の周期的な方形波 / は ) のフーリエ 級数を求めてみましよう。これは、高さ 1 で幅 / 、周期 2 / の方形波です。この複素形式のフーリエ級数の係数のは ( 2-8 ) 式より、 Cn ー Cn 1 2 / 1 2 / ¯t S1n です。図 3-1 の上図の方形波 / は ) は偶関数なので、上式 では奇関数である sin との積は積分するとゼロにな ります。よって、コサインの項しか残らないので 1 2 / 2 となります。またここで、 の範囲で / は ) = 1 であり、それ以外の範囲では / は ) = 0 なので、積分の

■フーリエ級数からフーリエ変換へ フーリエ級数は周期的に変化する関数を、同しく周期的 に変化するサイン波で表すものです。しかし、物理学で は、周期的関数ではない単一のパルスをサイン波などで展 開する必要が生しる場合もあります。例えば、 こまでの 知識でフーリエ展開を適用できたのは、図 37 の上図のよ うな周期的な関数でした。 一方、単一のパルスとは、図 3 ー 1 の下図 ( 単一方形パル ス ) のようなものです。 この周期的関数ではない単一のパルスもフーリエ級数に フーリエ級数で展開できるのは、周期的な関数のみ 周期 2 / ー 4 / ー 3 / ー 2 / 0.5 0 ー 0.5 2 / 3 / 4 / では、単一のパルスを展開したい場合、どうすればよいか ? 2 ル 図 3 - 1 84 ー 4 / ー 3 / ー 2 / O. 5 ー 0.5 2 / 3 / 4 / 周期的な方形波 ( 上図 ) と、単一の方形波バルス ( 下図 )

第 3 章フーリエ変換への拡張 O. 5 / 川 ー 4 川 ー 3 襯 ー 2 川 ー 1 襯 0 0 1 川 2 襯 3 〃 7 4 〃 2 図 3 - 5 が成り立ちます。 ・から積分へ 周期 ml の場合のの ( 肌 = 30 ) この方形波の例で見たように、周期襯 / を長くすると、 係数のは連続関数のように密になります。これは方形波 に限らす他のパルスでも同様に成り立ちます。周期襯 / の 場合のフーリエ級数は、 れ兀工 ですが、図 3-5 のように、は整数で、隣の点との距離は 1 なので、次式のように簡単に積分に置き換えることがで きます ( 襯は大きな数なので e 厂はの変化に対して極