第 7 章ラブラス変換を用いた演算子法 ・日 L 直列回路 RC 直列回路と同しように基礎的で重要なものに、 RL 直列回路があります。これは図 7 ー 4 のように、コイルと抵 抗、それに電池が直列につながった回路です。 抵抗値を沢とし、コイルのインダクタンスをんとしま す。また、時間ゼロでスイッチが入って、電圧聞がかか ることにします。電流値を / (t) とします。 このとき、コイルの両端に発生する電圧は、電磁気学で 学ぶように次式で書けます。 コイルん ・電 ~ 也 V() 図 7 -4 状に発生するとします。 れると、電圧が、階段 時間← 0 にスイッチを入 抵抗沢 スイッチ 日 L 直列回路 0 霍 0 時 間乙 2 の

第 7 章ラブラス変換を用いた演算子法 sC sC コンテ、ンガ - ー q(0) sC sC 抵 ・電 ~ 也 0 スイッチ VO Vcc = 図 7 - 6 ラブラス変換後の回路図 ( コンデンサーの場合 ) なおこの場合、コンデンサーには初期条件として電圧 ク ( 0 ) /sC の電池を書き加えなければならないことを忘れ ないようにしましよう。 図 7 ー 7 は、 RL 直列回路のコイルのラブラス変換後の回 路図です。ここでは、コイルのラブラス変換後の電圧は、 であると覚えてしまいます。こちらは初期条件として電圧 ん / ( 0 ) の電池 ( 注 : 向きは、コンデンサーの場合と逆で す ) が加わることを忘れないようにしましよう。 あとは回路図を見るだけで、電圧に関する回路方程式が 205

第 7 章ラブラス変換を用いた演算子法 コイルん 抵抗 スイッチ 交流電圧源 Eo sin()D ー 図 7 - 8 交流電源が入った日 L 直列回路 電圧がかかります。 この場合の回路方程式は、階段関数の場合とほとんど同 じで、電圧部分 ( 次式の左辺 ) だけが異なります。 Eosin の = / ( t) 十ん この方程式をラブラス変換すると、 市 ( の 2 s2 十の 209 考えることにすると、 となります。簡単のために、初期条件 / ( 0 ) = 0 の場合を

て、その後でラブラス変換を行いました。 換を省略する計算方法があります。 このラブラス変 先ほどの RC 直列回路の図 7 ー 1 での電圧の式 ( 7 ー 1 ) は、 の = ① + でした。 これをラブラス変換して、 l(s) sC ク ( 0 ) sC となりました。 こで、図 7 ー 6 のように、抵抗のラブラス変換後の電圧 煽は、 であり、 であり、 コンデンサーのラブラス変換後の電圧協は、 l(s) sC ク ( 0 ) sC さらに時間ゼロで階段状の電圧がかかる場合のラ プラス変換後の電圧 Vcc は、 であると覚えてしまえば、回路を見ただけでラブラス変換 後の回路方程式を書けるということになります。 204 CC

第 7 章ラブラス変換を用いた演算子法 変換のメリットです ) 、後は、四則演算で裏関数の 解が求められます。 ( 4 ) 最後に得られた裏関数に、ラブラス逆変換を施し て、解を求めます。 実際に使った例を見ていきましよう。図 7 ヨのコンデン サーに電流を流す回路を考えてみましよう。初めは、スイツ チはオフで、その後オンにして充電する場合を考えます。 高校の物理で習ったように、電気抵抗の電圧には オームの法則によって = / ①の関係があり ( R は抵 コンデンサー C 抵抗 スイッチ 入段 を階す ツかし イと ス圧る し電す 、生 ーと発 間るに 時れ状 0 時間一 日 C 直列回路 図 7 - 1 189

び出し、原子がイオン化し ます。マイナスの電荷を持 つ自由電子とプラスにイオ ン化した気体分子に分離す るので電離層と呼びます。 ケネリー・ヘビサイド層も その 1 つです。 1924 年になって、イギリ スのアップルトン ( 1892 ~ 1965 ) らが BBC のラジオ 放送の電波の干渉を利用し アップルトン て、この層が地表約 100 ノーベル財団 HP より km に存在することを実験 的に確認しました。電離層は、現在では D 層、 E 層 ( ケネ リー・ヘビサイド層 ) 、 FI 層、 F2 層などの存在が知られ ています。アップルトンは、電離層の研究の功績によって 1947 年にノーベル物理学賞を受賞しました。 ■さらなる発展 ( 1 ) - ー - 交流電圧源をスイッチオンした場合 こまでは、階段関数的な直流電圧が加わる場合を考え ーではさらなる発展として、サイン波の交 てきました 流電圧がかかる場合について少しだけ触れておきましよう。 先ほどの無線電信も含めて、世の中で使われている交流回 路は無数に近いほど多数あります。 こで取り扱う回路は図 7 ー 8 の RL 直列回路で、とても 簡単なものです。時間ゼロでスイッチが入ってサイン波の 208 0

ラブラス変換の利点ー微積分方程式が簡単になる 1 7 9 微分はラブラス変換でどのように変形されるか 1 8 0 積分はラブラス変換でどのように変形されるか 1 8 1 ラブラス変換を いた演算子法 独学の天才、ヘビサイド 186 185 ラブラス変換を用いた演算子法 1 8 8 部分分数展開 1 9 4 部分分数展開を簡単に行う方法 ( 1 ) 1 9 8 部分分数展開を簡単に行う方法 ( 2 ) 1 99 RL 直列回路 2 0 1 最初のラブラス変換を省略した計算方法 2 0 3 無線電信と電離層 2 0 7 さらなる発展 ( 1 ) 交流電圧源をスイッチオンした場合 2 0 8 さらなる発展 ( 2 ) 周期波のラブラス変換 21 0

さくいん 【数字】 【あ行】 1 階微分 44 アップルトン 208 2 の周期性 35 アーベノレ 99 3 次方程式 55 アポガドロ 99 アレクサンダー 12 アンく一ノレ 99 【アルファベット , ギリシャ文字】 裏関数 167 AM 波 工カチェリーナ二世 118 72 C-b and 124 工コーノレ・ノノレマノレ 14 CT スキャン 工コール・ポリテクニク 152 14 , 49 D 層 エジプト 208 12 エネルギーの分解能 208 123 FI 層 208 工ノレミ 158 F2 層 演算子法 208 187 オイラー FWHM 106 , 115 , 119 58 , 69 オイラーの公式 MRI 152 58 , 69 RC 時定数 表関数 193 167 RL 直列回路 201 s 関数 167 s 推移則 173 ー関数 階段関数 167 ー推移則 ガウシアン 173 X 線 CT ガウシアンのフーリエ逆変換 152 ö関数 131 112 ガウシアンのフーリエ変換 112 ガウス 128 ガウス型関数 106 【か行】 132 , 167 106 228

第 7 章ラブラス変換を用いた演算子法 信を実証したところ、当時の日本人は極めて強い関心を示 したそうです。日本で最初の電信は東京 ~ 横浜間に架設さ れ、 1869 年 ( 明治 2 年 ) から稼働を始めました。 1871 年に はデンマークの通信会社が敷設した海底ケープルによっ て、長崎 ~ 上海間と、長崎 ~ ウラジオストク間がつながり ました。ヨーロッパとアメリカ間の海底ケープルは 1858 年 に敷設されていたので、これで日本は世界中の電信回線と つながりました。 電信は世界中をかけめぐるようになったものの、その学 問的基礎となる電磁気学はまだ完成していませんでした。 1873 年にマクスウェルによる電磁気学についての論文が出 ると、ヘビサイドはそれに夢中になりました。 ヘビサイドは、当時の電磁気学を単にマスターするだけ にとどまらす、さらに発展させました。電磁気学の記述に べクトルを導入したこと、電気回路を取り扱う際に複素数 を導入したこと、同軸ケープルを発明しその電磁波の伝わ り方を解析したことなど、多数の業績をあげています。特 に同軸ケープルは、遠くまで電気信号を送るためには極め て重要です ( 拙著『高校数学でわかるマクスウェル方程 式』 181 ページ ) ヘビサイドが電気回路を取り扱う際に導入したもう 1 つ の新規な方法が、この後説明する演算子法と呼ばれる方法 で、これは微積分方程式を簡単に解く方法でした。ヘビサ イドはこの手法を便宜的な方法として考案したので、当初 は数学的な根拠はあいまいでした。このため、ヘビサイド の解き方は、「簡単だが、なぜ解けるのかは数学的にはよ 18 /

コイルー sLI(s) ん加 ) 抵抗沢 ・電 ~ 也 0 スイッチ 霍 0 Vcc = ラブラス変換後の回路図 ( コイルの場合 ) 図 7 - 7 書けます。 このように、いったんラブラス変換後の回路方程式が書 ければ、あとはラブラス変換表を使って、先ほどのように 方程式が解けるというわけです。この方法は多少訓練が必 要ですが、慣れてしまえば最初から「ラブラス変換後の回 路方程式」をたてられるので、元の回路方程式をいちいち ラブラス変換するよりは、はるかに簡単です。 206