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検索対象: 高校数学でわかるフーリエ変換
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1. 高校数学でわかるフーリエ変換

第 1 章フーリエ級数 区間〃ェわで連続な関数 る 工 に発散 区間〃ェわで連続ではない関数とは ? 4 例えば、わに近づくにつれて、無限大に発散する関数は、「連続 な関数」と呼びません。 図 1 - 8 連続な関数とは せん。また、無限大に発散する部分があるので、この関数 を積分しても、積分は有限の値が得られないということに なります。有限の積分の値が得られないので、「積分可能 である」とは言えないことになります。 次に図ト 9 の上図のように、曲線がところどころで不連 続になっている関数を考えましよう。この不連続な箇所 ( 不連続点 ) の数は有限であるとします。この関数には、 どこにも無限大に発散する部分はありません。このように ところどころで不連続ではあるものの、それぞれの小区間 では発散せす連続な関数は区分的に連続であると表現しま す。この関数は積分可能です。 一方、図 1-9 の下図のように、無限大に発散する部分が

2. 高校数学でわかるフーリエ変換

では、どのような関数でもフーリエ級数で表すことがで きるのでしようか。フーリエがアカデミーに論文を提出し たときには、この点が未解明でした。このため、他の数学 者たちはすぐにはフーリエの新しい方法に賛成しませんで フーリエ展開が可能な関数の条件が明らかになったの は、その後のディリクレ ( 1805 ~ 1859 ) ら数学者たちの努 力によります。その条件は、 周期 2 の関数 / ( のを区間一兀ミ日兀で、フーリ ェ展開できるのは、 / ( のか区分的になめらかな連続 関数であること というものです。この「区分的になめらか」や「連続関 数」というのは、数学の独特な表現なので、ます、この表 現を理解しましよう。また、「区分的になめらかな連続関 数」であるとき、「 / ( のは区間一日ミで積分可能 である」ということも、同時に考えてみましよう。 / ( の が積分できなければ、 ( 1-12 ) 式の〃 0 も求められないの で、フーリエ級数は得られないのです。 ある区間 4 ミミろを考えます。この区間で、関数 / は ) が図ト 8 の上図のように 1 本の連続した ( つながった ) 線 で表せる場合には、これを「範囲〃ミエ坙ろで連続な関 数」と表現します。このような関数を積分することは、 の図の灰色の部分の面積を求めることなので可能です。 一方、図 1 ー 8 の下図のように、無限大に発散する部分が ある関数は、「範囲 4 坙ミわで連続な関数」とは呼びま 42

3. 高校数学でわかるフーリエ変換

区間 4 坙ェ坙わで区分的に連続な関数 不連続点 ( 点線 ) 不連続点では、フーリエ級数は、 上下の真ん中の点に収束する。 区間〃坙ェ坙わで区分的に連続ではない関数とは ? ーに発散 どこかで無限大に発散する関数は、「区分的に連続な関数」 とは呼ばない。 図 1 - 9 区分的に連続な関数とは ある関数は、「区分的に連続な関数」と呼ぶことはできま せん。また、無限大に発散する部分があるので、「積分可 能ではない」ということになります。 さて、次に「なめらかな関数」がどのような関数である か見てみましよう。ある関数が、 / は ) で表されるとしま みは ) が、連続な関数であると す。この関数の 1 階微分 き、 これをなめらかな関数と表現します。 なめらかな関数 = 1 階微分が連続な関数 です。また、「区分的になめらかな関数」という表現も 44

4. 高校数学でわかるフーリエ変換

ラブラス変換の利点ー微積分方程式が簡単になる 1 7 9 微分はラブラス変換でどのように変形されるか 1 8 0 積分はラブラス変換でどのように変形されるか 1 8 1 ラブラス変換を いた演算子法 独学の天才、ヘビサイド 186 185 ラブラス変換を用いた演算子法 1 8 8 部分分数展開 1 9 4 部分分数展開を簡単に行う方法 ( 1 ) 1 9 8 部分分数展開を簡単に行う方法 ( 2 ) 1 99 RL 直列回路 2 0 1 最初のラブラス変換を省略した計算方法 2 0 3 無線電信と電離層 2 0 7 さらなる発展 ( 1 ) 交流電圧源をスイッチオンした場合 2 0 8 さらなる発展 ( 2 ) 周期波のラブラス変換 21 0

5. 高校数学でわかるフーリエ変換

1 S ー 4 になります。 5 つ目として、サイン波 / ① =sin 研をラブラス変換 してみましよう。 部分積分の公式を使います。 ー St Sin の ー St Sin の一 の COS 第 1 項が / →でゼロになるためには、住 > 0 という条 件が付きます。よって、 0 cos の“ こで部分積分の公式を使います。 COS の / Sin の となり —St ØSin の一 2 よってまとめると、 7 / 0

6. 高校数学でわかるフーリエ変換

第 4 章代表的な関数のフーリエ変換 この指数関数は、「減衰を表す関数」として、物理学や 様々な科学分野で頻繁に使われています。このフーリエ変 換を計算すると、 F は ) = 1 2 1 2 0 ー ( な十 ) 工 2 兀住十旒 0 - ( な十 ) 工 となります。ここで住は正なので、ェ→のときは e- → 0 となり、 1 1 2 住十旒 となります。 結果は、分母に虚数が残るという見慣れない格好をして 部分と、虚数部分にまとめてみましよう。 います。この関数の理解を深めるために、 F ( ん ) を実数 1 1 1 住ー旒 2 応住 + 旒 ( 住 + 旒 ) ( 住ー旒 ) 1 住ー旒 2 ノ十ん 2 なので 103

7. 高校数学でわかるフーリエ変換

1 〃兀 SIII O. 5 4 また、 応 ) と、 3 2 1 〃兀 2 2 1 0 3 図 3 - 2 周期幻の場合の Cn / 。面 ( 実線の曲線と , , 軸に挟まれた部分の面 この図だと、の ( 図の破線の短冊の面積に対 積に対応 ) は、のの点の数が少ないので等しいとは言え ません。 ■方形波の間隔が広がった場合 次に方形波の間隔が広がった図 3 ー 3 のような場合ののを 求めましよう。方形波の高さが 1 で幅が / であることは先 ほどと同じですが、信号がない部分の幅が / から 3 / に なって 3 倍に広がっています。これによって、周期も 2 / から 4 / に 2 倍になっています。 先ほどと同様に係数を求めてみましよう。サインの 項は偶関数なので消えます。まず、〃半 0 のときは、 88

8. 高校数学でわかるフーリエ変換

を決めるので、高速の回路を設計するには小さな値である ことが望まれます。 ■部分分数展開 先ほどの ( 7 ー 2 ) 式の分母のラブラス逆変換は簡単でし た。しかし、場合によっては分母がもっと複雑な形をして いて、表 6 ー 1 ではすぐには対応できない場合があります。 このような場合には、部分分数展開という手法を使って分 母を変換しやすい形に変えます。その一例を見てみましょ ( 7 ー 1 ) 式を電圧ではなく、電荷ク ( のについて解い てみましよう。ク (t) と / の間には / ( の = の関係 があるので、 =RsQ(s) ーク ( 0 ) + Q(s) となります。両辺をラブラス変換すると 山 ( のク ( の ( 7 ー 1 ) 式に代入すると、 となり、 Q (s) を左辺にまとめると 7 94

9. 高校数学でわかるフーリエ変換

第 4 章代表的な関数のフーリエ変換 これが手順です。まず、 求めます。回りくどいのですが、 ( 4-1 ) 式を微分してみましよう。 ( の ) - 1 の 2 応 こで微分と積分の順番を入れ替えます。 2 応 2 兀 砒 2e ー ' 門襯 砒 2e 襯 ーーで部分積分の公式を使いたいのですが、 となります そのために次の関係を使います。 ー 0 ど 2 一 at 2 ー 2 ate 24 これを先ほどの積分の中に代入して、部分積分の公式を使 うと、 ( の ) ー 0 t 2 ー at 2 砒 2 e 24 2 となります。かっこの中の第 1 項は、→士でともにゼ ー t 2 砒 2e 襯 —iü)t 十 / の e 2 〃 2 兀 7 09

10. 高校数学でわかるフーリエ変換

・部分分数展開を簡単に行う方法 ( 1 ) この部分分数展開を簡単に行う方法があります。先ほど の例の ( 7-5 ) 式のような分数 % (s) について考えましょ ん 2 = ー C (s 十カ 1 ) をかけてから、 s 十カ 1 s 十カ 2 ( 7 ー 6 ) ん 1 r(s) 三 1 ーカ 1 を代入します。式で書くと には、簡単な方法では、 r(s) に こでカ 1 半カ 2 であるとします。右辺の分子ん 1 を求める ( s + カ 1 ) ( s + カ 2 ) ん 1 = [ ( s + カ D r(s)ls=-m 1 1 となり、先ほどと同じ結果が得られます。 ん 1 = RC RC に対応するので、これらを上式に代入すると、 となります。先ほどの ( 7 ー 5 ) 式の左辺の場合は、カ 1 = 0 , ーカ 1 十カ 2 ( s + カ 1 ) ( s + 第 2 ) = ーカ、 s 十カ 1 です。この r(s) に ( 7 ー 6 ) 式の中辺を代入すると 四 8 となります。 ん 2 も同様にして