実数形式のフーリエ級数 十 ( cos 日十房 sin 〃の 十〃れ cos 複素形式のフリエ級数 / ( の = の e ・加 2 ん 2 2 1 ア 1 ア一 十房 sin ( 2 ー 7 ) Cn となります。 ーフーリエ級数と量子力学 この複素形式のフーリエ級数が最もよく活躍する分野の ーっが量子力学です。量子力学では、電子の波動をシュレ ディンガー方程式で表します。このシュレディンガー方程 式には「時間に依存しない方程式」と、「時間に依存する 方程式」があります。このうち「時間に依存しない方程 式」は、定常的で安定な状態の電子の波動関数 ( プサ イ ) を表すもので、次のような式です。 80

第 2 章複素形式への拡張 ーわ工 = COS 4 工・ e のように書きます。 lm は imaginary number ( 虚数 ) 、 Re は real number ( 実数 ) を意味します。 + 工という関数を使えば、波を簡単に このように e 表現できます。また、先ほど見たように、微分もサインや コサインより指数関数の方が簡単なのです。このため、波 を表す方法として科学のすべての分野でよく使われていま す。 このように、波を表現するのに虚数を使うわけですが、 量子力学とそれ以外の分野 ( 例えば、電気系 ) では 1 つ大 きな違いがあります。電気系などの分野で虚数を使うのは こで見たよ 数式で波を表現するのに便利だからであり、 うに式の実部か虚部のどちらかで波を表現できます。した がって、虚数を使わなくても波は表現できるのです。 それに対して、量子力学では、その中核であるシュレ ディンガー方程式そのものが虚数を含んでいます。量子力 学によると、電子は波と粒子の 2 つの性質を持っています が、その波はシュレディンガー方程式と呼ばれる数式 ( 波 動方程式 ) で表されます。シュレディンガー方程式での虚 数の存在は便宜的なものではなく、量子力学の本質的な性 質であると考えられています。また、シュレディンガー方 程式を解いて得られた波の関数が実部と虚部を含む場合 は、そのどちらかのみで波が表されるのではなく、両者に 意味があると考えます。

第 2 章複素形式への拡張 2 十レ = E 2 襯öx このように 2 階の微分方程式です。ここでェは位置の座 標で、襯は電子の質量、レはポテンシャルエネルギーで E は全エネルギーです ( この方程式の導出に興味がある 方は、拙著の『高校数学でわかるシュレディンガー方程 式』をご覧下さい ) 。一般的な量子力学の教科書では、多 くの場合、この方程式を満たす波動関数として = の という形の関数を仮定するという話から始めます。また、 は正規直交系の関数のセットであるという説明も付き ます。 フーリエ級数の知識を持たすに量子力学を学び始める と、こでつまずいてしまう場合が少なくないようです。 そもそも、「ある関数を、正規直交系の関数で展開 する」という概念がっかめません。「正規直交系っていっ たい何だろう ? 」で止まってしまいます。 しかし、こまで本書を読んでいただいた読者の方には おわかりのように、この波動関数にはフーリエ級数も適用 できます。 ( 2 ー 7 ) 式のフーリエ級数も正規直交系であり、 関数をフーリエ展開できます。実際に、大学の学部レ ベルの「時間に依存しないシュレディンガー方程式」の解 は、の数を限定した ( 2 ー 7 ) 式でほとんど間に合います。 87

第 4 章代表的な関数のフーリエ変換 新しい数学の概念が、数学者だけによってもたらされる ートンが力学を構築する際に微分・ 積分を生み出したように、物理学が数学の発展を促すこと とは限りません。 ■テルタ関数 131 ルタ関数が存在します。面積は 1 なので積分で書くと、 にします。つまり、カッコの中がゼロになるェ座標にデ ェ = 4 のところにあるデルタ関数をöは一ので表すこと がっきます。ェ = 0 に位置するデルタ関数を 6 は ) と書き、 高さには、先ほど述べたように面積が 1 であるという制限 無限に細く、高さは無限に高いとします。また、この幅と 面積が 1 です。ただし、図 4 ー 10 の右下の図のように、幅は デルタ関数も、このガウシアンのような柱状の関数で、 あるとします。 なっているとします。また、このガウシアンの面積は 1 で この関数の微分はその下の図のようにガウシアンに まるくなっていて、直角にはなっていないものとします。 段状の関数を考えてみましよう。ただし、この階段の角は デルタ関数を理解するために図 4 ー田の左上図のような階 デルタ関数を見てみましよう。 「デルタ ( 関数」です。本節では、奇妙でおもしろい 者デイラックが、新しい関数を考え出しました。それが まりました。量子力学の創設に関わったイギリスの物理学 物理学の世界では、 20 世紀になって量子力学の発展が始 究者も多数存在しました。 ェ、ガウスのように、数学と物理学の両方に取り組んだ研 が歴史上には度々ありました。また、オイラーやフーリ

というわけで、これから量子力学を学ぶ方には、 学んだフーリエ級数の知識が大いに役に立ちます。量子力 学の世界もぜひ楽しんで下さい。 こまで ましよう。 いよいよ次章では、フーリエ変換への拡張に取りかかり きな峠を一つ越えたことになります。 広がりました。読者のみなさんは、フーリエ級数という大 2 んへの拡張」により、フーリエ級数の適用範囲は大幅に さてこれで、「複素形式への拡張」と、「周期 2 応から

複素形式への拡張 虚数の導入 5 4 複素数を座標に表示する方法 5 6 オイラーの公式 58 複素指数関数の微分 6 0 波を表すのに便利な虚数 6 1 波動関数 66 1 8 世紀を代表する数学者、オイラー 6 9 複素形式への変換 7 3 周期の拡張ーー 2 から 2 もへ 77 フーリエ級数と量子力学 80 53 フーリエ変換への拡張 フーリエ級数からフーリエ変換へ 84 フーリエ級数の係数を求める 85 方形波の間隔が広がった場合 8 8 方形波と方形波の間隔がさらに大きい場合 9 1 83

さくいん 部分分数展開 194 , 196 フリードリヒ二世 フーリエ 28 , 177 166 , 188 ヤコービ フーリエ逆変換 フーリエ級数 フーリエ級数展開 フーリエ展開 フーリエ変換 71 14 95 41 41 85 , 95 , 142 41 , 46 フーリエ変換の限界のパルス ライプニツツ ラグランジュ ラフ。ラス ラブラス逆変換 ラブラス変換 陸軍士官学校 量子力学 連続関数 ロゼッタストーン ローレンツ型関数 【ら行】 不連続点 フンポルト ヘビサイド ベルヌーイ べノレヌーイ ベルヌーイ 偏角 変数変換 ホイートストノ 方形波 包絡線 マノレコー モース 。モンシコ - 【や行】 【ま行】 ( ヨハン ) ( ヤコプ ) ( ダニエル ) 120 43 130 186 36 69 69 56 104 186 33 117 207 186 29 50 69 28 189 28 65 42 231 104 , 106 29 , 49

cos 4 日十 / 第 2 章複素形式への拡張 Sin と書き直せます。右辺の微分は三角関数の微分なので ー Sin 十 COS 日 = / 〃 ( i ・ sin 日十 cos 4 の 指数関数の形に戻しています。これをまとめると となります。最後の行では、再びオイラーの公式を使って となります。 これは、実数の指数関数の微分 e = ae とほとんど同し形をしています。指数関数の肩に乗ってい る項のうち、変数日以外の項 ( 前々式ではで、前式で はのを前に付け足すというものです。 ・波を表すのに便利な虚数 虚数は、電子・電気工学や量子力学でよく使われます。 どのように使われるのか見ておきましよう。虚数を使うの は、波を表すのに都合がよいからです。波には 2 種類あり ます。 1 つはすっと振動しつづける波で、もう 1 つは、だ 61

第 4 章代表的な関数のフーリエ変換 をかけるとエネルギーになります。そこで ( 4 ー 7 ) 式にん をかけると、エネルギーの FWHM である JE と時間の FWHM である」 / のかけ算になります。その結果は、 2 カ 1n2 = 21n2 カ となり ( ェイチハ 性関係 = 1 .386 カ ハイゼンベルクの不確定 」 E 」乙カ に対応していることがわかります。つまり、フーリエ変換 での光バルスのエネルギー幅と時間幅の関係は、量子力学 のハイゼンベルクの不確定性関係に対応しているのです。 先ほど計算してみたように、エネルギーの幅ØE を 10 倍 広くすると、時間幅」は 10 分の 1 に短くなります。 物理学や化学の分光学では、「非常に高速の現象」を 「高いエネルギー分解能」で測定することが望まれます。 しかし、短い時間」 / を測定しようとすればするほど、不 確定性原理によってエネルギーの分解能」 E は広く ( = 悪く ) なります。したがって、「非常に高速の現象」を 「高いエネルギー分解能」で測定するのは不可能なのです。 723

・波動関数 波は私たちにとって身近な存在です。海の波などの水面 の波はよく目にしますし、音波や電磁波も身近な波の一種 です。また、電子や光子などの量子力学の対象となる粒子 も、波としての性質を持っています。波を表す式を「波動 関数」と呼びますが、この波動関数は、物理学においては 極めて広い分野で使われています。その波動関数を見てみ ましよう。 波動関数は次の式のように、座標工と時間の 2 つの 変数の関数として表されます。 こで、振幅 A 、座標ム角振動数の、時間 / は実数で、 はすう 波数んは複素数 ( 振動する波の場合は実数 ) です。この 式は、また と書くこともできます。 と書くこともできるし、んが実数の場合には、 =Ae e ~ ん工ー ~ の 66 ェ軸上で振動したり減衰したりする波は、 e ・と書けま 部、すなわちサインを表しています ) 。 の振動と時間軸上の振動を表しています ( 図はどちらも虚 所で振動している波を考えましよう。図 2 ー 3 は、ェ軸上で これからこの式の説明をします。ます、ェ軸上のある場