「メビウスの帯ちてどんな帯のこと ? 紙があります。紙には表と裏があり、表と裏のどちらかだけの紙というの は存在しません。紙を丸めてみても、表面と裏面はできてしまいます。 ところが「メビウスの帯」は、裏のない表だけの紙なのです。表のない裏 だけともいえるので、どちらか片面だけの紙といったらよいでしようか。 世紀に、ドイツの数学者であるメビウスが考えた、表 ( 裏 ) だけの紙 の帯、それが「メビウスの帯」なのです。 一枚の長い紙 ( テープのようなもの ) を、途中一回ひねって、端と端を貼 り合わせます。一回ひねることで、裏と表がなくなって、紙のすべての面が 表としてつながりを見せるのです。色を塗ってみると、よくわかるのですが、 表からある色で塗っていくと裏へ出てまたもとへ戻るところから、表と裏の 塗り分けができません。 世紀以降、数学の幅は大きく広がりました。計算だけでなく、このよう な発見がいろいろとなされたのです。メビウスの帯の原理は、今では見かけ なくなった - 一倍の収録ができるビデオテープなどに使われています。 数学 豆知讙 円周率の歴史は古く、 4000 年前 のエジプトでは 3.16 、 2000 年前 のギリシアでは 3 亠、 1500 年前 のインドでは 3.1316 、 1000 年 22 355 前の中国では一一一一と記されて いました。 6 Ⅱ 6

人が面積を考えるようになったのは、古代エジプトで土地の面積を公平に 分ける必要があったからでした。 面積の単位が生まれたのは、畑を耕すことからといわれています。古くか ら日本では、田を測る単位として代と、ドイツでは、午前中に牛が耕す広さ を基準にして 1 モルゲンとよんでいたといいます。 どれくらいの土地から、どれだけの収穫物があるのかを知るために面積を 求めることは、大切なことだったのです。土地の形は、常に正方形や三角形 ばかりではありません。曲線で囲まれた名前のつけられないような形のとき には、どのようにして計算するのでしようか。 そのようなときに役に立つのが、方眼紙を使って考える方法です。 複雑な曲線の土地を縮小し、方眼紙の上に置いて面積を求めるのです。 完全な正方形の数と、方眼紙の境目にある不完全な正方形の数を数えて、 計算します。 まⅡ ( をを新 D ) + 2 であらわされ、これを「ピックの定理」といいます。 ピックの定理の基本を理解する しろ 数学 豆知讙 確率論が生まれた起源は、サイ コロ賭博に勝っためというのは 有名な話です。このサイコロで すが、古代エジプトの遺跡から 多数発見されているといいま す。 6

すを引鬘知って得する数学の定理 黄金比とは フイボナッチ数列の隣合う 2 項の比をとると、 限りなく近づく値 2 3 1 2 = 1 .625 、 55 、 34 1 1 8 尸う ) 5 3 = 1 .66 ・・ = 1 .61764 ・・ 1 .618034 ・・・が 黄金比 / / = 1 .61538 ・・ 8 34 = 1 .61904 ・・ 1 十Ⅳ匠 . 2 1 .618034 ・・ 0.6 ミロのヴィーナス ・名刺 ・テレホンカードなど 知って得する定理 ほうせいけい 五芒星形 ミロのヴィーナスひとくちメモ ミロのヴィーナスはギリシア神話における女神アプロディー テーの像と考えられている。高さ 203 ( m 。発見時は碑文が 刻まれた台座があったが、ルーヴル美術館に持ち込まれた際 に紛失している。作者は紀元前 130 年頃に活動していた彫刻 家、アレクサンドロスと考えられている。

メネラウスの定理 ある直線が三角形 BC の辺 BC 、 C 、 B またはその延長とそれぞ れ点 D 、伝んで交わるとき、 BD CE ん DC ん FB これをメネラウスの定理といいます。 = 1 となる。 Q 、 EA メネラウス ( 紀元 1 世紀頃 ) はギリシアの天文学者です。 メネラウスの定理もチエバの定理と同様にその逆が成り立ちます。 メネラウスの定理の証明 G - AB との交点を G とする。 BF=P 、 GF=Q 、 FA = 日とする。 点 C を通り、辺 D E に平行な直線をひき、 BD DC BD DC P CE EA CE AF FB Q 日 P Q AF 、 FB P Q 日 日 P

数学者としては、もっとも古い時代の人と ・ 2 つの三角形で、その 1 組の内角と、それ いわれているのがタレスです ( 紀元前 6 2 5 をはさむ 2 辺が等しければ 2 つの三角形は 年頃から紀元前 547 年頃 ) 。彼は自然哲学者 合同 としても知られており、ギリシャ七賢人の一 人とされています。 そのほかに、円周角についての定理で、「タ す で タレスが特筆されるところは、それまでに レスの定理」とよばれるものがあります。 物 人 も経験的に知られていた、土地の測量などで 直径の上にある円周角は直角である、とい 使われる図形のもっ性質について証明をする うもので、直径を < 、 co とする円の中心 o を ことで、幾何学の基礎を築いたところにあり 通る、 < 、 O 、を 1 辺とする、円周上の他を ます。 の 1 点 a- を結ふ、、 < 、、でできる円基 の タレスが証明をしたといわれる定理には、 周角は直角であるとします。 次のものが有名です。 タレスは天文学の分野においてもその才能幾 を開花させ、日食のおこる時期なども計算に刀 レ ・ 2 つの三角形で、その 1 組の辺とその両端おいて導き出したという記録が残っています。 タ における 2 つの内角がそれぞれ等しいなら ば、 2 つの三角形は合同 タレスの定理の意味とその活用方法

とをⅡ 2 % となりますが、立方根の解を、定 規とコンハスだけで、作図が可能かというこ とです。立方体倍積問題とよばれ、 cvooo 年以上もの長い年月数学者を悩ませ続けたの です。 作図では平方根までしか求められないとい う理由から、世紀に「不可能」とい一つ結論 が下されることとなりました。 三大難問の残る一一つも、同じく作図不可能 なのですが、参考までに問題をあげておきま す ( いずれも定規とコンパスのみでの作図 ) 。 ①立方体の体積の、 2 倍の体積を有する立方 体をつくる ( 立方体倍積問題 ) ②任意にあたえられた角を 3 等分する ( 角の 三等分問題 ) ③あたえられた等しい面積の正方形をつくる ( 円積問題 ) ギリシアの三大難問 立方体倍積問題 円積問題 角の三等分問題 旦 3

アルキメデスの「取りつくし法」とは 積分の考え方の基本は、農地の面積を正確に計測して、できるだけ公平に 分配することでした。古代エジプト人は、広い土地を三角形や四角形に分割 して計算し、最後にすべてを合計して、複雑な形をした土地の面積を求めて いたのでした。この方法を取りつくし法といいます。 同じ時代、円は神がつくった完全な形として、神秘性が語られ、美しさ が称えられていました。半径の長さは違っていても、円はいつも同じ形を しているのです。円の直径と周囲の長さの比は、円の大小にかかわりなく、 どれも同じです。そしてこの比が、であらわされる円周率なのです。 取りつくし法を用いて、の計算に取り組んだのがアルキメデスでした。 円に内接、外接する正多角形から、円の面積を求める計算を試みたのです。 六角形から始め、辺の数をふやし、正十一一角形、正一一十四角形、正九十六角 形までの計算をしたのです。 その結果、 3 ^ △ 3n という不等式を得ました。この分数を小数に直 してみると。 3. 一 408 : : 入 ^ 3. 一 428 : : : となります。アルキメデスは、 この取りつくし法での値を 3 」 4 まで正しく求めていたことになります。 数学 豆知讙 中国では古くから 9 という数字 は「皇帝の数」とよばれていま す。その理由は、 9 という数字 は、 0 ~ 9 の基数のなかで一番 大きい数字だからといわれてい ます。

代数の研究をしていた一オファントス ギリシア数学といえば「幾何学」ですが、ディオファントスは「代数ーの 研究をしていた、当時では珍しい人物です。 彼の著書『数論』には代数学のことが述べられています。この『数論』、 実はあることでとても有名なのですが、ご存知ですか ? かのフェルマーの最終定理とよばれて長く数学者を悩ませた、フェルマー が「証明をするのに、この余白はせますぎる . と記した本こそが、『数論』 だったのです。 また代数学としての功績よりも、彼の名をより世に知らしめているのが、 彼の墓石に刻まれた「謎ときーかもしれません。墓石に刻まれているのは、 以下のようです。 「ディオファントスは、その一生の 1 一 6 を少年として、 1 を青年として、 その後一生の 1 一 7 を独身で過ごしました。結婚をすると、 5 年後に子どもが 生まれその子は彼よりも 4 年早く、彼の寿命の 1 一 2 でこの世を去りました」 さあ、彼は何歳まで生き続けたのでしようか ? 解いてみてください。 数学 豆知讙 数学が得意になる王道はありま せんが、数学の問題を目にした とき「なぜこうなるのか、こん な公式を使うのか」など、自分 で納得できるまで考えておくこ とは大切です。 108

0000003300 「デロスの問題」とはどのようなものでしよう 紀前 0 頃 0 一」とす。ギリ、〉 0 デ〔島」、伝染病がはやり、大勢 0 人が 9 ) 亡くなりました。島の人々はデロス島の守護神アポロンに救いを求めたのです。 すると、神より「 2 倍の大きさで、立方体の祭壇をつくりなさい」とお告げがあ りました。人々は 1 辺の長さが 2 倍の祭壇をつくりましたが、伝染病はおさまり ません。 それもそのはず、 1 辺の長さを 2 倍にしたために、体積は 2 倍ではなく、 8 倍 になってしまっていたからです。 どうしてよいのか困った人々は、当時の有名な数学者プラトンに相談しまし た。するとプラトンは、 1 辺の長さをⅡ一 .2599 、約 1 ・囲倍の辺の長さの立 方体をつくると、 2 倍の体積の立方体ができることを教えるのです。 これは伝説としてのお話ですが、ギリシアの三大難問のうちのひとつで、長年 解かれることがなかったものとして、今に伝わっています。 a は立方体の 1 辺の長さで、体積は % 、 2 倍の体積は 2a3 その 1 辺を x とする 科学が発達した / 現代でも解決でき ない問題はまだ 、たくさんあります

蜂の巣が六角形なのはしつかりとした理由がある 自然界のなかにある正多角形といえば蜂の むずかしいことです。円形は、太陽、月など 巣ですが、平面上を同じ正多角形で埋めてい がありますが、では蜂の巣がなせ円ではなく、 る図形は、正三角形、正方形、正六角形の 3 六角形をしているのでしようか。 す で 種類です。しかもこれ以外にはありません。 ギリシア時代にバッポスは、「第一に巣には の る 身の回りにあるモザイク模様を探してみる 外から侵人するものがあってはならないので、 あ と、一見正多角形のように見えても、実は多 多角形でいうと三角形と正方形か正六角形で 角形の組み合わせであったりします。 なければならない。そのなかでも正六角形は、 タイル張りをすることのできる、正多角形面積が大きいので、蜂が蜜を蓄えるのに適した と が 3 種類しかないことは、証明されているの ている」と考えました。 です。 たしかに、円と円がつながると、空間がでや ち きてしまいます。 タイル張りが可能な条件として、正多角形 何枚かを 1 点に並べて 3 6 0 度にならなけれ ところが、正六角形が繰り返しつながると、 一長 ばいけません。こうしたことをみたす正多角 ひとつひとつの部屋と部屋がむだなくつなが イ ることがわかります。 形は、正三角形、正方形、正六角形だけなの タ です。 蜂は、本能的にむたのない蜂蜜の貯蔵方法「ー 三角形、四角形を自然界のなかに探すのは を知っていたということになります。