メネラウスの定理 - みる会図書館


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1. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

メネラウスの定理 ある直線が三角形 BC の辺 BC 、 C 、 B またはその延長とそれぞ れ点 D 、伝んで交わるとき、 BD CE ん DC ん FB これをメネラウスの定理といいます。 = 1 となる。 Q 、 EA メネラウス ( 紀元 1 世紀頃 ) はギリシアの天文学者です。 メネラウスの定理もチエバの定理と同様にその逆が成り立ちます。 メネラウスの定理の証明 G - AB との交点を G とする。 BF=P 、 GF=Q 、 FA = 日とする。 点 C を通り、辺 D E に平行な直線をひき、 BD DC BD DC P CE EA CE AF FB Q 日 P Q AF 、 FB P Q 日 日 P

2. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

Contents マ正多面体の性質とオイラーの多面体定理・ マ数学ちょっといい言③・ プラトン マピタゴラスの定理・ マチエバの定理・ マメネラウスの定理・ マトレミーの定理・ マヒボクラテスの定理・ マ接弦定理・ マ三角形の重心の定理の応用・ マ方べきの定理・ ▽中点連結定理・ マシムソンの定理・ 0 学校で習った数学の定理 ほ - っ 50 49 48 ▽数学ちょっといい言④・ 三一 0 レオノハレド・オイラー 第 4 章 一項定理の基本を理解する・ マフイボナッチ数列は不思議な力をもっている・ フイボナッチ数列は黄金比へと近づいていく・ 剰余定理と因数定理の基本を理解する・ マ不思議な意味をもっ素数の基本定理・ マ三角形の五心の定理の基本を理解する・ マ微分積分学の基本定理を知る・ マアルキメデスの「取リつくし法」とは・ マピックの定理の基本を理解する ▽アーベルの定理の基本を理解する・ ▽数学ちょっといい話⑤・ フイボナッチ

3. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

000000000 ② 定義と命題ってどんな意味があるのでしようか 数学を始めるときに、概念の意眛や手続きを、はっきりと決めておかなければ なりません。数学の目指すところのひとつに、普遍性が要求されるからです。 あるところで証明された定理は、地球の裏側はもちろん、ほかの星でも成り立 たなければならないからです。 そのためには、前提となる対象を正しく決めておく必要があります。その概念 を決めることが「定義」です。 「命題」は正しいか正しくないかが定まる文や式のことです。公理や定義によっ て証明された命題を定理といいます。特に重要なものは〇〇の定理として使いま す ( 例・ピタゴラスの定理 ) 。 様々な角度から「数学の定理」についてここまで解説してきましたが、あまり 重要ではないことについても、ときには定理とよふことがあります。 「定理」は「公理」や「定義」をもとにして説明したり証明するので、数学を論 理的に考える出発点であるともいえるでしよう。 定義とは正しい / とか間違いとは いえない 決まりのものです

4. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

「整式、 ( しを (x ー a ) で割ったとき、その余りは、 0 ) となる」を剰余 定理といいます。 例をあげると、 、 ( しⅡと。十と、ー 4 と十一を、 ( とー 2 ) で割るならば、その余りは ゝ ( 2 ) Ⅱ 2 。十 2 、ー 4 >< 2 十一Ⅱ 5 となるというものです。 左ページの計算を見てください。 さらに、 x の整式 . 、 ( しにおいて、ゝ ( a ) Ⅱ 0 の場合について、ゝ ( しは ( ー a ) で割り切れる性質をもつ。これを因数定理といいます。 この定理は使いやすく、拡張すると 「多項式ゝ ( しが (ax—b) で割り切れるためには、ゝ のときであるー となります。 267 十を考えるとき、この式の答えは囲余り 7 です。これを x0 2 十 7 Ⅱ 267 というように考えると理解しやすいですね。剰余定理の基本は ここからきています。 剰余定理と因数定理の基本を理解する 数学 豆知讙 ヒボクラテスは古代ギリシアの 医師です。医術の父と称されま した。医師の職業倫理を述べた 「ヒボクラテスの誓い」は医師 のモラルを示した最高の指針と いわれています。 6

5. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

: を定理と予想の基本を知ろう 定理と予想 定理とは 公理や定義から導き出 された 正しいことが証明され たもの 00 数学の基本的思考のもととなるた め使いやすく、応用がしやすい数 学的思考としての究極の到達点と なることもある 予想とは ゴールドバッハの予想 「 4 以上のすべての偶数は、 2 つの素数の和である」 たとえば 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 00 自然数で、それを割り切る数 ( 約数 ) が、 1 とそれ自身でしかないもの ( ただし 1 は素数とは考えない ) 2 , 3 , 5 , 乙 1 1 , 13 , 1 乙 19 , 23 , 29 , 31 , 3 乙 41 , 43 ・・ 素数が無限に存在することは、ユー クリッド ( 古代ギリシアの数学者 ) によって証明されている フェルマーの最終定理 X = Y 十 Z ( n と 3 ) 「 n が 3 以上の自然数である場合に この式をみたす自然数 X , Y. Z は存在しない」

6. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

第 5 章 マピタゴラスの定理で問題を解いてみる① : マピタゴラスの定理で問題を解いてみる②・ マ多面体定理で問題を解いてみる・ マ円周角の定理で問題を解いてみる : マ独立試行の定理で確率の問題を解く①・ マ独立試行の定理で確率の問題を解く②・ ▽数学ちょっといい話⑥ : アルキメデス 第 6 章 マ盗まれた鳥の数は何羽だったのかな ? マカヴァリエリの原理って何のことでしようか ? : ⅲ ▽間違いやすい平均時速を計算してみましよう : ・ : 燗 マ代数の研究をしていた一をオファントス : 94 92 100 98 ▽微分積分をひとことでいうと何でしようか ? マちょっと難しい数学の問題です・ レ匹のロバを父親の遺一言通リに 3 人で分ける・ 「メビウスの帯」ってどんな帯のこと ? マ与えられた条件で贋物の金貨を探し出してみよう・ このトリックをあなたは見破れますか ? ▽数学ちょっといい話⑦ : ▽数学ちょっといい話⑧・ アイザック・一一ユートン ・カバーデザイン / cnOO—J<cn ・ ・本文 / 松下隆治 ・本文イラスト / 長野亨 ・編集協力 / 酒井和子 オフィス・スリー・、 126 124 122 120 118 116 114 112 110

7. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

正弦定理の意味とその活用方法 つまり、 直角三角形の頂点の角度を使って、辺の長 1 辺とその両端 < 、 co の角度だけ さの比をあらわすのが三角比ですが、三角関 わかれば、もう 1 点である 0 までの長さが計 数は角度の関数のことです。三角関数は、三算できるという定理なのです。 角比を関数として扱うことから考えられたも 高校の数学で習った記憶のある方もいるでで の のです。 しようが、「 sin 〔サイン ) 」は正弦という意味 三角形のもっ性質を利用した三角測量の歴 で正弦定理で大きな役割を果たすことになる理 定 たび のです。 史は、紀元前 2 世紀頃にヒッパルクスが三角 要 法を創始して、正弦をつくったといわれてい 日常生活において正弦定理はどのようなと重 ます。 きに利用されているのでしようか。三角測量で 三角関数が測量に使われることは、すでに からは広いスペースを測量することが可能な世 述べました。三角測量という方法は、測量す ので、広範囲な測量をすることに応用されて量 います。 る部分を三角形で順に埋めて、測量をする方 法です。 たとえば、地球から月までの距離や、人工関 角 三角測量の原理は、三角形の 1 辺とその両衛星までの距離なども、この方法で求めるこ 端の 2 角から、他の 2 辺を計算で割り出すと とができるのです。数学の定理は様々なケー「ー いうもので「正弦定理」とよびます。 スで活用されているのです。

8. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

数学の定理っていったいどんな意味があるのかな ? 公理や定義から導き出された、正しいこと 、〇〇さんが予想をしたけれど、そのこと が証明されたものを「定理」といいます。定 については、証明がなされていないというも 理とよばれるものの特徴は、数式を証明する のです。証明がなされて、はじめて定理とよ ばれるのです。 際の根拠として、また数学を考える基本的思 点 考のもととなるものとして使われることにあ 有名なものには「ゴー ルドバッハの予想」 ム土 ります。そのため使いやすく、応用がしやす「フェルマーの予想」などがあります。ゴー の いことが大切な条件となるのです。 ドバッハやフェルマーか予想したけれど、そ極 究 その一方では、証明することが、目標とす の証明ができていないというわけです ( フェルの し る最終的な結果となることもあります。 マーの予想は 1995 年に証明されました ) 。 と つまり数学的な思考としての、究極の到達 命題そのものは、決してむずかしいわけで考 点ということです。そのために、定理には美はありませんが、証明かむずかしいために、 たま しさが要求される面が強くあるのです。 世界中の数学者たちが、何十年間も証明に頭学 定理を見ていくときに、〇〇予想というも を髑ませているのです。ゴールドバッハの予ま 理 のに出合うことがあります。これは、数学の 想は最近になってコンピュータで計算したと 定 なかには「〇〇予想」とよばれるものがいく ころ、予想はほば正しいとされましたが証明「ー つかあるからです。〇〇には、人の名前が人はされていません。

9. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

数学綻理ー 日常生活にも役立つ ! 図解眠れなくなるほど面白い 旧 BN978-4-537-21579-3 C2041 ¥ 680E いⅧ旧ⅡⅢⅡⅢⅢ 9 7 8 4 5 5 7 2 1 5 7 9 5 00 , 〕 00 土地の測量、距離や速さの計算など、 てはな引部「数学の定理」。、 ) 今、注目の数学的思考 & センスが磨けるー 監修者紹介 小宮山博仁 定価 . 本体 680 円十税 日本文芸社 にみやま・ひろひと ) 1949 年生まれ。教育評論家。日本教育社会 学ム会員。 46 年程前に塾を設立。 1997 年 から東京書籍グループで、「学ぶことが楽しく なる」高校受験主体の塾を運営。 2005 年よ り学研グループの学研メソッドで中学受験塾を 運営。学習参考書を多数執筆。最近は活用 型学力や曰 SA など学力に関した教員向け、 保護者向けの著書、論文を執筆。主な著書に 『「塾」スリム化時代を前に』 ( 岩波書店 ) 、『大 人に役立つ算数』 ( 文春新書 ) 、『面白いほどよ くわかる数学』 ( 日本文芸社 ) 、「子どもの「底力」 が育つ塾選び』 ( 平凡社新書 ) 、『「活用型学力」 を育てる本』 ( ぎようせい ) 、『はじめてのアクティ プラーニング社会の ? ( はてな ) を探検』全 3 巻 ( 童心社 ) などがある。 1 9 2 2 0 4 1 0 0 6 8 0 5 教育評論家 小宮山博仁 球でないポール ? 02 十わ 2 = c2 蜂の巣はなせ 正六角形なの ? 000 ・ 00000 ・ 0000000000 0 ・ 00000 ・ 00 0 ・ 00 ・・ 00 ・ 0 0000 ・ 00000 監修 正弦定理で 月までの 距離を計算 ! 小 博 が身につき 仁 修 日本文芸社 ' 00 sinA ー sinB = 2R 1 + AP ・ DP=BP ・ CP AC•.BC= コノ .62 : 1 スカイツリー 展望台から どこまで見える ? フェルマーの 最終定理って ? 4 色定理で ケータイエリア を管理 ? 地球 フィポナッチ数列と 「黄金比」のヒミッ 6400km 日本文芸社 300002 カバーデザイン / イラスト : BOOLAB.

10. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

00000 替 0002 ピタゴラスの定理を拡張した定理 「ピタゴラスの定理」を拡張したといわれる定理は、この章で紹介してきました 「正弦定理」「余弦定理」というものが代表的なものですが、そのほかにもありま ハップスが示した「中線定理」がそのひとつです。 三角形 O<D について、辺 <0 の中点をとすると、 OA2 十 OB2=2 CMA2 十 OM2) となります。 なお、三角形の頂点とその対辺の中点を結ふ線分は、三角形の面積を 2 等分し ています。面積が等しいことを等積であるといいます。 中線定理を証明するひとつの方法として、三角形の頂点 o から垂線をひき、 ピタゴラスの定理を使うことができます。三角形に関した定理は、ピタゴラスの 定理を使って証明できることがよくあります。 「トレミーの定理」は、四角形 <COOQ が、円に内接するときに、 AB ・ CD 十 AD ・ BC=AC ・ BD となります。 す。 ピタゴラスの定理 / は様々な数学の 定理の基礎と 、なっているのです