数学の定理っていったいどんな意味があるのかな ? 公理や定義から導き出された、正しいこと 、〇〇さんが予想をしたけれど、そのこと が証明されたものを「定理」といいます。定 については、証明がなされていないというも 理とよばれるものの特徴は、数式を証明する のです。証明がなされて、はじめて定理とよ ばれるのです。 際の根拠として、また数学を考える基本的思 点 考のもととなるものとして使われることにあ 有名なものには「ゴー ルドバッハの予想」 ム土 ります。そのため使いやすく、応用がしやす「フェルマーの予想」などがあります。ゴー の いことが大切な条件となるのです。 ドバッハやフェルマーか予想したけれど、そ極 究 その一方では、証明することが、目標とす の証明ができていないというわけです ( フェルの し る最終的な結果となることもあります。 マーの予想は 1995 年に証明されました ) 。 と つまり数学的な思考としての、究極の到達 命題そのものは、決してむずかしいわけで考 点ということです。そのために、定理には美はありませんが、証明かむずかしいために、 たま しさが要求される面が強くあるのです。 世界中の数学者たちが、何十年間も証明に頭学 定理を見ていくときに、〇〇予想というも を髑ませているのです。ゴールドバッハの予ま 理 のに出合うことがあります。これは、数学の 想は最近になってコンピュータで計算したと 定 なかには「〇〇予想」とよばれるものがいく ころ、予想はほば正しいとされましたが証明「ー つかあるからです。〇〇には、人の名前が人はされていません。

街の一角に、緑の繁った公園があります。 近隣の住民はもちろんのこと、遠方からも車 やバスを使って、人々がやってくることの多い 人気の場所でもありました。 公園の中央には円形に近い池かあり、池の周 囲には、ちょうど池の周囲を川等分するよう に、木が植えられています。あるとき、この池 に噴水をつくることになったのです。 噴水は中央から少しすらした位置につくるこ とに決めました。木に番号をつけると、 o と o 、 とーを結んだ直線の交わった部分がよいと いうことになりました。確かに、中央よりも 変化に富んでいて、池の周囲の座る位置によっ て、違った趣きがあると、評判は上々でした。 では、 0 と c-D 、とーを結んだ直線の交わっ た角度はいったい何度なのでしようか。 円周角の定理で問題を解いてみる ちょっとひと休み 人に詁したくなる数学のき古 数学の「予想」と「定理」 数学において「予想」とは、真だと結果を予想し ているが、まだ真か偽か証明されていない「命題」 のことをいいます。ある「予想」が真だと証明さ れたものが「定理」となります。また、その定 理を利用して真か偽かわからない「命題」、すな わち「予想」したことを証明することもあります。 この手法は、世の中の「不思議」なことを様々な 正拠をそろえて「確かな」こととして明らかにし ていくことによく使われています。 ニ = ロ 6

: を定理と予想の基本を知ろう 定理と予想 定理とは 公理や定義から導き出 された 正しいことが証明され たもの 00 数学の基本的思考のもととなるた め使いやすく、応用がしやすい数 学的思考としての究極の到達点と なることもある 予想とは ゴールドバッハの予想 「 4 以上のすべての偶数は、 2 つの素数の和である」 たとえば 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 00 自然数で、それを割り切る数 ( 約数 ) が、 1 とそれ自身でしかないもの ( ただし 1 は素数とは考えない ) 2 , 3 , 5 , 乙 1 1 , 13 , 1 乙 19 , 23 , 29 , 31 , 3 乙 41 , 43 ・・ 素数が無限に存在することは、ユー クリッド ( 古代ギリシアの数学者 ) によって証明されている フェルマーの最終定理 X = Y 十 Z ( n と 3 ) 「 n が 3 以上の自然数である場合に この式をみたす自然数 X , Y. Z は存在しない」

序、定理と予想の基本を知ろう

定理と予想の基本を知ろう ピタゴラスの定理 LC が直角である直角 三角形 ABC において、 直角をはさむ 2 辺の長 さを a , b とし斜辺の長 さを c としたときに この関係は a2 十 b2 = ( であらわされる フェルマーの最終定理 ピタゴラスの定理を発展させ、 般化した 十 Y = Z (n と 3 ) 「 n を 3 以上の自然数としたときに 上の式をみたす、自然数 X , Y , Z は 存在しない」というもの フェルマーは数学の本の欄外に、「私は この定理について、驚くべき証明を発見 することができたのだが、それについて 述べるのには、この余白はあまりにもせ ますぎる」と書き残していた 定理と予想 2 約 360 余年後 ( 1995 年 ) に「フェルマーの最終定理」を解 いた英国のワイルズは、わずか 10 歳のときに図書館で 最初にこの問題と出合ったという

定理と予想の基本を知ろう 生活に密着している数学の定理 ピタゴラスの定理 = 距離や速さを求められる 正弦定理 = 土地の測量に使用される 余弦定理 = 障害物のある 2 点間の距離が測れる 数学の定理は日常生活では不可欠なも の。知らない気がつかないところで重要 な役割をになっています 定理と予想 正弦定理 R は△ ABC の外接円の半径 b C =2R SinA SinB SinC ( 詳しくは 22 ページ参照 ) 余弦定理 a =b2 十 c2—2bccosA b2 = ( 2 十 a —2cacosB =a2 十 b2—2ab cosc ( 詳しくは 24 ページ参照 ) 携帯電話のエリア分けやグラフ、地図の〇 作成にも数学の定理は使われています ( 詳しくは第 2 章参照 ) 2

定理と予想の基本を知ろう 定理と予想 三平方の定理の証明 右下の正方形 ABCD は一辺が b 十 c となっているので、 正方形の面積 = ( b + c ) 2 となる。 ところがこの正方形は、底辺が b で高さが ( の直角三角 形が 4 っと、一辺の長さが a の正方形で構成されている ので、 正方形 ABCD の面積 = 4X -- ー十 0 ' となる bc ゆえに (b 十 c ) 2 = 4 >< ーー十 a 2 b2 十 2 bc 十 c 2 = 2bc 十 a a 2 = b2 十 c 2 となる = b2 十 ( 2 という三平方の定理は次のように説明するこ a とができる。△ ABC が / C を直角とする直角三角形とする。 斜辺 a を一辺とする正方形の面積は、 b を一辺とする正方形の面積と c を一辺とする正方形の面積の 和に等しくなる。 b2

余弦定理の意味とその活用方法・ マタレスの定理の意味とその活用方法・ 数学ちょっといい話②・ カール・フレデリック・ガウス 第 2 章 = 絽マ 4 色定理の実用性を知っておこう・ マ 4 色定理を発展的に考えよう・ サッカーボールは球ではなく多面体だった ? マ蜂の巣が六角形なのはしつかりとした理由がある・ マスカイツリーからはどこまで見えるのか・ 第 1 章 ピタゴラスの定理と三角関数・ マ正弦定理の意味とその活用方法・ 眠れなくなるほど面白い図解数学の定理もくじ ・まえがき・ マ数学の定理っていったいどんな意味があるのかな ? : ・ 8 マピタゴラスの定理やフェルマーの最終定理って何 ? : ・川 定理の王様、ピタゴラスの定理を知っておこう : も ▽生活に活用されている数学の定理・ ▽数学ちょっといい = = ロ①・ 0 定理と予想の基本を知ろう

与えられた条件で贋物の金貨を探し出してみよう にせもの 8 枚の金貨があります。この中に 1 枚だけ贋物の金貨があります。贋物は、 見た目ではほかの 7 枚と変わりはありませんが、重さが少しだけ軽いことが 大きな違いです。さて、どの金貨が贋物か、大秤ばかりを使って見つけてみ ましよう。ただしこの天秤ばかりを使うことができる回数は、 2 回だけです。 金貨を 4 枚ずつ半分に分けて調べることは天秤ばかりが 2 回しか使えな いので、意味がありません。 8 枚の金貨を、 3 枚、 3 枚、 2 枚の 3 つに分けて調べる方法がよさそうで す。これがヒントです。 この問題を解く鍵は調べたときの結果がどうなるか、そのバターン別に解 決することです。その結果が何を示しているかがわかれば、次にどのように すればよいかが予想できます。 論理的な思考のできる人は、このような問題を解くことが得意です。 皆さんもじっくり考えてみてください。答えを読めば「そんなことか・ : 」 と思う問題なのです。 商店街などで見かけるくじです が、確率論から考えてみると、 先に引いても後に引いても当た る確率は変わりません。これを 「くじの公平性」とよんでいます。 6 118

ピタゴラスの定理やフェルマーの最終定理って何 ? 定理といえば、誰でもが知っているのは「ピ 数学の問題は、その問題の意味を理解する タゴラスの定理」 ( 三平方の定理ともいう ) で ために、高度な知識を必要とすることがあり はないでしようか。中学校の数学で習ってい ますが、このフェルマーの予想は、むずかした し るはずです。 い知識をもたなくても問題の意味を理解するま れ 区 C が直角である直角三角形 <00 におい ことができ、むしろやさしいといってもよい 明 て、直角をはさむ 2 辺の長さを、 -Q とし斜線 ところに特徴があります。 証 の長さを o としたときに、この関係は a 。十 bn フェルマーは、 c = 4 の場合については証珥 =cn (n=2) であらわされるというものです。 明したのですが、一般の数 c についての証明定 次に、この定理を発展させたものを見てみを発表することはありませんでした。その上、最 ましよ、つ。 フェルマーは数学の本の欄外に「私はこの定 マ 十 yn=Zn (næ3) 「 c を 3 以上の自然数理について驚くべき証明を発見することがで 工 としたときに、この式をみたす自然数 x 、 >- 、 きたのだが、それについて述べるのには、こフ 一 J N は存在しない」というものです。この式を の余白はあまりにもせますぎる」と書き残し 「フェルマーの最終定理」とよびます。式だけ ていたのです。フェルマーの最終定理はピタ を見ると、ほとんどピタゴラスの定理と違い ゴラスの定理とは似ている式ですが、実は内「ー かないように見えます。 容的には大きな違いがあるのです。 6 <