ゞ第 3 章 学校で習った数学の定理 接弦定理 く円周角の定理 > 円周上の任意の 2 点、 B と、円周上の他の 1 点 P を結んでできる円 周角は一定です。 1 つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、 その弧に対する中心角の半分です。このことを 円周角の定理といいます。 半円に対する円周角は、 900 ( 直角 ) になります。 また、円周角は中心角の 2 分の 1 となります。 く接弦定理 > 「円の接線とその接点を通る弦の作る角は、その角の内部にある弧に 対する円周角に等しい」これを接弦定理という。 接弦定理の証明 円の中心 O を通る半径 AC を 1 辺とする三角形 ACB を作る Z A B C = Z 日なので Z AC B = Z R ー / B AC また / BAT = Z 日一 / BAC ZAPB=ZACB ( 円周角 ) ゆえに Z BAT = Z AC B = Z A P B ゆえに / BAT = Z A P B となる 学校で習った定理

戔数学の定理を使って問題解決 円周角の定理の応用 。 0 住る。 池の周囲には、 1 0 本 の木が植えてあります C と G 、 E とーを結んだ D 直線の交わった部分の 角度は何度ですか ? 0 右図のように、 C G 、臼の交 点を O として、℃を結ぶ。△ ℃ O に着目し、円周角の定理 を利用すると G の内角の 大きさを a 、 b とすると、 a は 弧 G E の円周角となる。また GE は円周全体のの長さと いうことになリ、 1 80 。 >< 36 。となる。同じように b は弧 ての円周角で、円周全体のの長さとなり 180 。 x ー = 72 。となる また三角形の内角の和は 1 80 。なので、 2 つの内角の和は、 1 80 。からもうひとつの内角となり、隣リ合う外角と等しい。 △ O において a 十 b = x となる。 x = 36 。十 72 。 = 1 080 x は 1 080 ということになる 2 4 定理で問題解決 10

ド 7 奏有名な数学の定理 タレスの定理と証明 直径の上に立つ円周角は直角である 有名な定理 ( 点 O は円の中心 ) 直径に対する円周角は 直角である 三角形 PAB は、 P と O を結ぶことで ニつのニ等辺三角形ができる それぞれのニ等辺三角形の等角を a 、 b とすると、 三角形 PAB の内角の和は (a + a) + (b + b) = 2 / R ( 2 直角 ) となる これによって a 十 b = / R ゆえに L P = / R となる 円周角の定理 「 1 つの弧 A B に対する円周 角はすべて等 しい」 「 1 つの弧 AB に対する円 周角は、中 心角の半分 である」 弧

街の一角に、緑の繁った公園があります。 近隣の住民はもちろんのこと、遠方からも車 やバスを使って、人々がやってくることの多い 人気の場所でもありました。 公園の中央には円形に近い池かあり、池の周 囲には、ちょうど池の周囲を川等分するよう に、木が植えられています。あるとき、この池 に噴水をつくることになったのです。 噴水は中央から少しすらした位置につくるこ とに決めました。木に番号をつけると、 o と o 、 とーを結んだ直線の交わった部分がよいと いうことになりました。確かに、中央よりも 変化に富んでいて、池の周囲の座る位置によっ て、違った趣きがあると、評判は上々でした。 では、 0 と c-D 、とーを結んだ直線の交わっ た角度はいったい何度なのでしようか。 円周角の定理で問題を解いてみる ちょっとひと休み 人に詁したくなる数学のき古 数学の「予想」と「定理」 数学において「予想」とは、真だと結果を予想し ているが、まだ真か偽か証明されていない「命題」 のことをいいます。ある「予想」が真だと証明さ れたものが「定理」となります。また、その定 理を利用して真か偽かわからない「命題」、すな わち「予想」したことを証明することもあります。 この手法は、世の中の「不思議」なことを様々な 正拠をそろえて「確かな」こととして明らかにし ていくことによく使われています。 ニ = ロ 6

数学者としては、もっとも古い時代の人と ・ 2 つの三角形で、その 1 組の内角と、それ いわれているのがタレスです ( 紀元前 6 2 5 をはさむ 2 辺が等しければ 2 つの三角形は 年頃から紀元前 547 年頃 ) 。彼は自然哲学者 合同 としても知られており、ギリシャ七賢人の一 人とされています。 そのほかに、円周角についての定理で、「タ す で タレスが特筆されるところは、それまでに レスの定理」とよばれるものがあります。 物 人 も経験的に知られていた、土地の測量などで 直径の上にある円周角は直角である、とい 使われる図形のもっ性質について証明をする うもので、直径を < 、 co とする円の中心 o を ことで、幾何学の基礎を築いたところにあり 通る、 < 、 O 、を 1 辺とする、円周上の他を ます。 の 1 点 a- を結ふ、、 < 、、でできる円基 の タレスが証明をしたといわれる定理には、 周角は直角であるとします。 次のものが有名です。 タレスは天文学の分野においてもその才能幾 を開花させ、日食のおこる時期なども計算に刀 レ ・ 2 つの三角形で、その 1 組の辺とその両端おいて導き出したという記録が残っています。 タ における 2 つの内角がそれぞれ等しいなら ば、 2 つの三角形は合同 タレスの定理の意味とその活用方法

学校で習った数学の定理 トレミーの定理 ピタゴラスの定理の拡張 ( 28 ページ ) のところで取りあげた定理で 円に内接する四角形、 B 、 C 、 D は AB ・ CD 十 BC ・ D = C ・ BD です。 これをトレミーの定理といいます。 ( 紀元 1 世紀頃 ) は、プトレマイオスの英語風よび方です。 第 3 章 す。 学校で習った定理 トレミーの定理の証明 ・線分 AC 上に、 / BAE = / CAD であるような点 E をとる。 三角形 ABE と三角形 ACD は相似となり、 (ZBAE=ZCAD 、円周角 ZABE=ZACD より) AB AC こから A B ・ CD = AC ・ BE ・・ BE CD となり、また三角形 ABC と三角形 AED は相似なので (ZBCA=ZEDA 、 ZBAC=ZEAD より) AD AC から A D ・ BC = AC ・ DE ・・ DE BC ゆえに①と②から AB ・ CD 十 BC ・ AD = AC ・ BD となる (BD=BE + DE より)

す数学の定理を使って問題解決 ピタゴラスの定理 0 くを 4.849m 4.9m 5 m 4.9 m ( B の板 ) 20m 島 池 4.9m ①両端が円周上にくるように、 1 枚の板をおく ②ピタゴラスの定理により板の中心から、 池の中心までを計算すると 4.9 2 { 202 19.849 (m) 2 ・・池の中心から ③ 20 ー 19.849 = 0.151 ・・ 島の岸 ( A の板 ) まで 0.151m 短くなった。 5 ー 0.151 = 4.849 ・・・・・・島からの距離が 4.849m になったので 4.9m の B の板で橋をかけることができた ( 上図参照 ) 定理で問題解決

第 5 章 マピタゴラスの定理で問題を解いてみる① : マピタゴラスの定理で問題を解いてみる②・ マ多面体定理で問題を解いてみる・ マ円周角の定理で問題を解いてみる : マ独立試行の定理で確率の問題を解く①・ マ独立試行の定理で確率の問題を解く②・ ▽数学ちょっといい話⑥ : アルキメデス 第 6 章 マ盗まれた鳥の数は何羽だったのかな ? マカヴァリエリの原理って何のことでしようか ? : ⅲ ▽間違いやすい平均時速を計算してみましよう : ・ : 燗 マ代数の研究をしていた一をオファントス : 94 92 100 98 ▽微分積分をひとことでいうと何でしようか ? マちょっと難しい数学の問題です・ レ匹のロバを父親の遺一言通リに 3 人で分ける・ 「メビウスの帯」ってどんな帯のこと ? マ与えられた条件で贋物の金貨を探し出してみよう・ このトリックをあなたは見破れますか ? ▽数学ちょっといい話⑦ : ▽数学ちょっといい話⑧・ アイザック・一一ユートン ・カバーデザイン / cnOO—J<cn ・ ・本文 / 松下隆治 ・本文イラスト / 長野亨 ・編集協力 / 酒井和子 オフィス・スリー・、 126 124 122 120 118 116 114 112 110

アルキメデスの「取りつくし法」とは 積分の考え方の基本は、農地の面積を正確に計測して、できるだけ公平に 分配することでした。古代エジプト人は、広い土地を三角形や四角形に分割 して計算し、最後にすべてを合計して、複雑な形をした土地の面積を求めて いたのでした。この方法を取りつくし法といいます。 同じ時代、円は神がつくった完全な形として、神秘性が語られ、美しさ が称えられていました。半径の長さは違っていても、円はいつも同じ形を しているのです。円の直径と周囲の長さの比は、円の大小にかかわりなく、 どれも同じです。そしてこの比が、であらわされる円周率なのです。 取りつくし法を用いて、の計算に取り組んだのがアルキメデスでした。 円に内接、外接する正多角形から、円の面積を求める計算を試みたのです。 六角形から始め、辺の数をふやし、正十一一角形、正一一十四角形、正九十六角 形までの計算をしたのです。 その結果、 3 ^ △ 3n という不等式を得ました。この分数を小数に直 してみると。 3. 一 408 : : 入 ^ 3. 一 428 : : : となります。アルキメデスは、 この取りつくし法での値を 3 」 4 まで正しく求めていたことになります。 数学 豆知讙 中国では古くから 9 という数字 は「皇帝の数」とよばれていま す。その理由は、 9 という数字 は、 0 ~ 9 の基数のなかで一番 大きい数字だからといわれてい ます。

? 知って得する数学の定理 微分積分学の基本定理 積分 微分 複雑な形の 曲線の接線 面積を求める 変化率を求める 十算はむずかしい 比較的計算がやさしい 誕生の歴史を比較 古代エジプト時代 17 世紀にニュートンと ・エジプトの「ナイル川」 ライプニツツにより発明 が氾濫をおこす ・どちらが先に発明したか については、ニュートンが 土地の測量、幾何学の発達 先という説が有力 ・ライプニツツは、記号の アルキメデスの「取りつく 考案に興味をもち、積分記 し法」が積分の基礎となる 号として使われる「 / 」イ ンテグラルを考案 図形を細かく分けて考える これによってわかりやすさ 円・円周率 がますこととなった 高校の数学で学ぶ「微分・積分」。実はこ の「微分・積分」は日常生活の様々なとこ ろで活用されている重要な定理なのだ。 fabf(x)dx=F(b)—F(a) 一三ロ 知って得する定理