「整式、 ( しを (x ー a ) で割ったとき、その余りは、 0 ) となる」を剰余 定理といいます。 例をあげると、 、 ( しⅡと。十と、ー 4 と十一を、 ( とー 2 ) で割るならば、その余りは ゝ ( 2 ) Ⅱ 2 。十 2 、ー 4 >< 2 十一Ⅱ 5 となるというものです。 左ページの計算を見てください。 さらに、 x の整式 . 、 ( しにおいて、ゝ ( a ) Ⅱ 0 の場合について、ゝ ( しは ( ー a ) で割り切れる性質をもつ。これを因数定理といいます。 この定理は使いやすく、拡張すると 「多項式ゝ ( しが (ax—b) で割り切れるためには、ゝ のときであるー となります。 267 十を考えるとき、この式の答えは囲余り 7 です。これを x0 2 十 7 Ⅱ 267 というように考えると理解しやすいですね。剰余定理の基本は ここからきています。 剰余定理と因数定理の基本を理解する 数学 豆知讙 ヒボクラテスは古代ギリシアの 医師です。医術の父と称されま した。医師の職業倫理を述べた 「ヒボクラテスの誓い」は医師 のモラルを示した最高の指針と いわれています。 6

ら - 知って得する数学の定理 剰余定理 「整式 f (x) を x ー a で割った余リは f (a) である」 f ( x ) = x 3 十 x 2 ー 4 x 十 1 を、 ( x ー 2 ) で割る x 2 十 3 x 十 2 x ー 2 ー 4 x 十 1 x 十 x —2x X 3 x ー 4 x 十 1 3 x ー 6 x 2 x 十 1 2 x ー 4 5 余リが 5 となっているので正しい 因数定理 f ( a ) = 0 のとき f ( x ) は ( x ー a ) で割り切れる x2 十 3x ー 10 を ( x ー 2 ) で割る x 十 5 x ー 2 x 2 十 3 x ー 1 0 ー 2 x X 5 x ー 1 0 5 x ー 1 0 0 割リ切れるので正しい 3 知って得する定理 2 因数定理ひとくちメモ 因数定理とは実際に割リ算をしなくても余りに注目すること によリ知ることが可能になる定理のことをいう。因数定理を 利用すると、三次式の因数分解などが簡単にできるようにな ります。

, 、知って得する数学の定理 アーベルの定理 f(x)=anxn 十 an-lxn- 十・・・・・・ al 十 ao を、 n 次多項式として、 f は ) = 0 の代数方程式を考える n = 1 、 2 、 3 、 4 の場合は解の公式がある 方程式の係数 a 、 a 。により、加減乗除や累乗根を用いてあ らわされた式、係数の値にかかわらず、その値を式に代入す ることで計算をすると、方程式の解が得られるものをいう ところが、 「 n と 5 のとき、解の公式は存在しない」 ということを証明したのが、アーベルだった 一次方程式、ニ次方程式の解法は、古くからあった 三次方程式、四次方程式は、それぞれカルダノと フェラリにより解法が得られている ・五次方程式の解法も時間の問題と思われていたが、 解法がないことが証明された→ガロア理論 数学史上ショッキングな事件といわれている 知って得する定理 ガロア理論ひとくちメモ 加減乗除ができるような数の範疇での代数方程式を考察対象 とする。代数方程式が " 代数的に解ける " かどうかが問題と なる。ガロアは四次までの代数方程式についてはこれが可能 と唱え、五次以上の方程式の解法は不可能であることをアー ベルよりも詳しく論じた。これを「ガロア理論」という。

Contents マ正多面体の性質とオイラーの多面体定理・ マ数学ちょっといい言③・ プラトン マピタゴラスの定理・ マチエバの定理・ マメネラウスの定理・ マトレミーの定理・ マヒボクラテスの定理・ マ接弦定理・ マ三角形の重心の定理の応用・ マ方べきの定理・ ▽中点連結定理・ マシムソンの定理・ 0 学校で習った数学の定理 ほ - っ 50 49 48 ▽数学ちょっといい言④・ 三一 0 レオノハレド・オイラー 第 4 章 一項定理の基本を理解する・ マフイボナッチ数列は不思議な力をもっている・ フイボナッチ数列は黄金比へと近づいていく・ 剰余定理と因数定理の基本を理解する・ マ不思議な意味をもっ素数の基本定理・ マ三角形の五心の定理の基本を理解する・ マ微分積分学の基本定理を知る・ マアルキメデスの「取リつくし法」とは・ マピックの定理の基本を理解する ▽アーベルの定理の基本を理解する・ ▽数学ちょっといい話⑤・ フイボナッチ

: を定理と予想の基本を知ろう 定理と予想 定理とは 公理や定義から導き出 された 正しいことが証明され たもの 00 数学の基本的思考のもととなるた め使いやすく、応用がしやすい数 学的思考としての究極の到達点と なることもある 予想とは ゴールドバッハの予想 「 4 以上のすべての偶数は、 2 つの素数の和である」 たとえば 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 00 自然数で、それを割り切る数 ( 約数 ) が、 1 とそれ自身でしかないもの ( ただし 1 は素数とは考えない ) 2 , 3 , 5 , 乙 1 1 , 13 , 1 乙 19 , 23 , 29 , 31 , 3 乙 41 , 43 ・・ 素数が無限に存在することは、ユー クリッド ( 古代ギリシアの数学者 ) によって証明されている フェルマーの最終定理 X = Y 十 Z ( n と 3 ) 「 n が 3 以上の自然数である場合に この式をみたす自然数 X , Y. Z は存在しない」

第 5 章 マピタゴラスの定理で問題を解いてみる① : マピタゴラスの定理で問題を解いてみる②・ マ多面体定理で問題を解いてみる・ マ円周角の定理で問題を解いてみる : マ独立試行の定理で確率の問題を解く①・ マ独立試行の定理で確率の問題を解く②・ ▽数学ちょっといい話⑥ : アルキメデス 第 6 章 マ盗まれた鳥の数は何羽だったのかな ? マカヴァリエリの原理って何のことでしようか ? : ⅲ ▽間違いやすい平均時速を計算してみましよう : ・ : 燗 マ代数の研究をしていた一をオファントス : 94 92 100 98 ▽微分積分をひとことでいうと何でしようか ? マちょっと難しい数学の問題です・ レ匹のロバを父親の遺一言通リに 3 人で分ける・ 「メビウスの帯」ってどんな帯のこと ? マ与えられた条件で贋物の金貨を探し出してみよう・ このトリックをあなたは見破れますか ? ▽数学ちょっといい話⑦ : ▽数学ちょっといい話⑧・ アイザック・一一ユートン ・カバーデザイン / cnOO—J<cn ・ ・本文 / 松下隆治 ・本文イラスト / 長野亨 ・編集協力 / 酒井和子 オフィス・スリー・、 126 124 122 120 118 116 114 112 110

000000000 ② 定義と命題ってどんな意味があるのでしようか 数学を始めるときに、概念の意眛や手続きを、はっきりと決めておかなければ なりません。数学の目指すところのひとつに、普遍性が要求されるからです。 あるところで証明された定理は、地球の裏側はもちろん、ほかの星でも成り立 たなければならないからです。 そのためには、前提となる対象を正しく決めておく必要があります。その概念 を決めることが「定義」です。 「命題」は正しいか正しくないかが定まる文や式のことです。公理や定義によっ て証明された命題を定理といいます。特に重要なものは〇〇の定理として使いま す ( 例・ピタゴラスの定理 ) 。 様々な角度から「数学の定理」についてここまで解説してきましたが、あまり 重要ではないことについても、ときには定理とよふことがあります。 「定理」は「公理」や「定義」をもとにして説明したり証明するので、数学を論 理的に考える出発点であるともいえるでしよう。 定義とは正しい / とか間違いとは いえない 決まりのものです

数学綻理ー 日常生活にも役立つ ! 図解眠れなくなるほど面白い 旧 BN978-4-537-21579-3 C2041 ¥ 680E いⅧ旧ⅡⅢⅡⅢⅢ 9 7 8 4 5 5 7 2 1 5 7 9 5 00 , 〕 00 土地の測量、距離や速さの計算など、 てはな引部「数学の定理」。、 ) 今、注目の数学的思考 & センスが磨けるー 監修者紹介 小宮山博仁 定価 . 本体 680 円十税 日本文芸社 にみやま・ひろひと ) 1949 年生まれ。教育評論家。日本教育社会 学ム会員。 46 年程前に塾を設立。 1997 年 から東京書籍グループで、「学ぶことが楽しく なる」高校受験主体の塾を運営。 2005 年よ り学研グループの学研メソッドで中学受験塾を 運営。学習参考書を多数執筆。最近は活用 型学力や曰 SA など学力に関した教員向け、 保護者向けの著書、論文を執筆。主な著書に 『「塾」スリム化時代を前に』 ( 岩波書店 ) 、『大 人に役立つ算数』 ( 文春新書 ) 、『面白いほどよ くわかる数学』 ( 日本文芸社 ) 、「子どもの「底力」 が育つ塾選び』 ( 平凡社新書 ) 、『「活用型学力」 を育てる本』 ( ぎようせい ) 、『はじめてのアクティ プラーニング社会の ? ( はてな ) を探検』全 3 巻 ( 童心社 ) などがある。 1 9 2 2 0 4 1 0 0 6 8 0 5 教育評論家 小宮山博仁 球でないポール ? 02 十わ 2 = c2 蜂の巣はなせ 正六角形なの ? 000 ・ 00000 ・ 0000000000 0 ・ 00000 ・ 00 0 ・ 00 ・・ 00 ・ 0 0000 ・ 00000 監修 正弦定理で 月までの 距離を計算 ! 小 博 が身につき 仁 修 日本文芸社 ' 00 sinA ー sinB = 2R 1 + AP ・ DP=BP ・ CP AC•.BC= コノ .62 : 1 スカイツリー 展望台から どこまで見える ? フェルマーの 最終定理って ? 4 色定理で ケータイエリア を管理 ? 地球 フィポナッチ数列と 「黄金比」のヒミッ 6400km 日本文芸社 300002 カバーデザイン / イラスト : BOOLAB.

定理の王様、ビタゴラスの定理を知っておこう 土地に棒杭を立て、その棒杭にひもを結ん さて具体的に、定理を見ていくことにしま しよ、つ。 だりすることで、面積の測量をしていたのでし れ す。 前の項のところで紹介しましたピタゴラス ピタゴラスは、。 キリシアの寺院にあるタイ見 の定理は、」 別名三平方の定理ともよばれるも 一 J ルを眺めているうちに、定理の証明を思いっ ので、初等 ( ュークリッド ) 幾何学のなかで、 いたといいます。 もっともよく知られた定理です。いわゆる定 年 一般的に良い定理といわれるものには、証 理の王様といってもよいでしよう。 明の方法が多数あるといわれています。 ZC を直角とする直角三角形 <00 におい ピタゴラスの定理の証明方法は、 10 0 通か て次のことが成り立ちます。 今 ゝ C2 十 CB2 Ⅱゝ B2 り以上といわれています。 逆に、三角形 < co 0 において、上の式が成 ここでは、その証明方法のなかから特に有定 り立つならば、 ZC は直角ということになるの名な証明方法を一一つ取りあげておきますので、ス ラ です。 興味のある方は自分で証明のほかの方法につゴ いても、チャレンジをしてみてはいかがでしよみ 三平方の定理は、古代エジプトの時代から 、つか 土地の面積を測量するための方法として用い られていました。 こ

が正の整数であるとき 十 = C 「 a = ・ rb 「十 = C = b = とあらわされ、これを「一一項定理、とよびます。 = C 「の C は、 Comb 、ゴ a & 、ス組み合わせ ) の o をあらわしています。 = C 「は、 一一項係数ともよばれます。 ニ項定理からは、様々な等式が導かれます。またニ項係数の係数を並べて いくと、三角形に配列された数表ができ、それをバスカルの三角形といいま す。 ハスカルの三角形は、イタリアではタルターリヤ ( 3 次方程式解法の発見 者 ) の三角形ともいいます。中国では年頃に発見されていました。 ハスカルは、数学的帰納法によって、第 E 段の数の和がとになること を証明しています。さらに興味深いことに、三角形の数字を、斜めに加えて いくと、フイボナッチ数列があらわれてくるのです。 、つ 0 、 1 、 4 、 5 、 9 、 2 、つ 0 、 5 、 8 フイボナッチ数列とは、 2 っ 0 5 8 144 、 233 と、前の 2 項の和が次の数になるという規則性をもった数 列のことをいいます。 一一項定理の基本を理解する 星を見て航海するなど、天文学 は古くから生活に密着していま したが、天文学を初めて科学的 に確立させたのは古代ギリシア のアリスタルコスです。地動説 の先駆者でもあります。 豆知讙