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検索対象: 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理
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1. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

イ数学の定理を使って問題解決 オイラーの定理 0 多面体の面の数を F 、辺の数を E 、頂点の数を V とする ・・オイラーの多面体の定理が成リ立ちます V ー E 十 F = 2 ・・ 【問題】サッカーボールの面と辺と頂点の数を求めなさい A の正二十面体の辺の数・・・・・・ E とする 頂点の数・・・・・・ V ・各辺は 2 つの面と共有で、各面には 3 つの辺があることか ら 20 >< 3 = E >< 2 ー 30 ・各面にはそれぞれ 3 つの頂点があり、各頂点は 5 つの面の 頂点であることから 20 x 3 = V x 5 V = 1 2 B は、 A の頂点の数だけ面が増えるので ・・・ B の面の数 20 十 1 2 = 32 ・・ B の辺の数は、 30 十 12X5 = 90 ・・・・・ B の辺の数 ( A の頂点 1 つを切リ落とすと辺の数は 5 ふえる ) B の頂点の数 = 1 2 x 5 = 60 ・・ ・・ B の頂点の数 ( B の正五角形の数は、 A の頂点の数と等しい。また 1 つの正 五角形には 5 つの頂点がある ) サッカーボールの面の数は 32 、辺の数は 90 、頂点の数は 60 となる 定理で問題解決

2. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

正五角形と正六角形からできているサッカー ボールは、準正多面体のひとつで、正二十面体 の頂点を切り落とすことでできています。 頂点を切り落としたことで、五角形と六角形 を組み合わせた多面体が、サッカーボールなの です。ではサッカーボールの辺と頂点の数がい くつなのか求めてみることにしましよう。 はじめに、 < の正一一十面体の辺の数と頂点の 数を求めてその後、の多面体の辺の数、頂点 の数を求めます。 考え方は、 「の面の数Ⅱ ( < の面の数 ) + ( < の頂点の数 ) ー 「 co の辺の数Ⅱ ( < の辺の数 ) + ( < の頂点の数 ) 」「の頂点の数Ⅱ ( < の頂点の数 ) ><LO 」の ようになります。 多面体定理で問題を解いてみる ちょっとひと休み 人に詁したくなる数学の詁 なかなか発見されなかった公式 正多面体の「頂点の数一辺の数十面の数 = 2 」と いう定理を発見したのは数学者オイラーです。そ のため、この式は「オイラーの多面体定理」とよ ばれています。この公式は数学界を変えた式のひ とつであり、位相幾何学の始まリともされていま す。いわれてみれば単純な定理ですが、発見され たのが 18 世紀です。それまでは誰にも発見され なかったというのですから驚きです。

3. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

00000 のの 00 整数は美しく数学の女王とまでいわれている 簡潔にして美しい数△素数 > とは、 1 よりも大きく、その数自身と 1 以外の 約数をもたないもの 2 , 3 ー 5 , 7 / 一一ー一 3 ー一 7 , 一 9 : : : など無限にあることが、 ュークリッド ( 古代ギリシアの数学者 ) によって証明されています。 ふたご その素数のなかで、その差が 2 の素数の組を△双子素数 > とよびます。 5 と 7 , 一一と一 3 , 一 7 と一 9 , 一 37 と一 39 など双子素数は無限にあると考えられ ますが、証明されてはいません。 また 6 Ⅱ一十 2 + 3 のように、自然数のその数を除いた約数を、すべて合計し た数とその数が同しになるものを△完全数 > といいます。 「完全さ」をあらわすものとして、古代ギリシア数学で重要視されました。偶数 の完全数については、オイラーが証明しましたが、奇数の完全数については存在 するかどうか、わかっていません。 6 のほかには 28 Ⅱ一十 2 十 4 十 7 十一 4 / 496 Ⅱ一十 2 十 4 十 8 十一 6 十 3 一十 62 十 一 24 十 248 ノ 8 一 28 Ⅱ一十 2 十 4 十 8 十一 6 十 32 十 64 十一 27 十 254 十 508 十一 0 一 6 十 4 数字って知らず / 知らずに不思議な 力を秘めている 、ものです !

4. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

おなじみです。 ちなみに、『千夜一夜物語』はフランス語訳 で、英語訳では『アラビアンナイト』として 有名です。 さて、この話にまつわる面白い数の話があ ります。あなたのお相手の方に、 3 桁の好き な数字をいってもらいます。 それを繰り返した 6 桁の数をで割 ります。そしてこの答えを見てみると ? な んとそこには、相手が好きだという数字があ らわれます。 出てきた 6 桁の数字を ( 千 - ) で ( 割るために「シェラサードの数 . とよばれて います。数字がもっているなんとも不思議な 性質をあらわしているといえるのではないで しよ、つか シェラザードの数 たとえば相手が好きな数を 583 と言ったとします。 583583 と繰リ返し、 6 桁の数にします。 これを 1001 で割ります。 5 8 3 1 0 0 1 5 8 3 5 8 3 5 0 0 5 8 3 0 8 8 0 0 8 3 0 0 3 3 0 0 3 0 答え 583 初めの数と同じ答えになリます

5. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

不思議な意味をもっ素数の基本定理 素数とは、 1 よりも大きな自然数のうち、 1 とその数自身のほかには、約 数をもたないもののことをいいます。ふつう 1 は素数には人れません。例を 、 1 、つ 0 、 7 、 9 あげると、 2 、 3 、 5 、 7 ・ : などです。 素数が自然数のなかにおいて、どのような法則をもって存在しているのか については、これまでにも多くの数学者たちが取り組んできましたが、結論 を得るに至ってはいません。素数が無限に存在することの証明については、 紀元前 cooo 年頃に、ユークリッドが彼の著書『原論』のなかで、すでに 示しています。この定理をさらに精密化させたものが、ディリクレの算術級 数定理です ( ディリクレの素数定理ともいいます ) 。 a きもをそれぞれ素な自然数とするときに、等差数列である a, a 十 n, a 十 2n. a 十 3n : : a 十 pn のなかには、素数が無限個存在する、というものです。 ディリクレは、この定理の証明に、オイラーの無限個の素数の存在証明に 寄るところが大きかったといわれています。素数については、今後研究され るべき課題を多数、残しています。 「万物は数である」といったギリ シア時代の数学者ピタゴラスは、 ピタゴラスの定理で有名。哲学 者としても有名ですが、哲学者 を最初に名乗った人物であるこ とはあまリ知られていません。 豆知讙 わ <

6. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

ぞ生活に溶け込んでいる定理 正多面体は 5 種類 正ノ 体 正六面体 正 体 生活と定理 正十二面体 正ニ十面体 正多面体の定義 1 . すべての面が互いに合同な多角形で成リ立つ。 しかもす べての頂点の平面角が等しい多面体 ( 平面角・・・ 2 つの面 が交わるとき、それぞれの面の間の角 ) 。 2 . 正多面体は 3 、 4 、 5 の角でしか面を つくることができない。 正多面体の性質 頂点の数 辺の数 6 面の数 4 6 8 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 20 30 正ニ十面体 20 1 2 30 オイラーの多面体定理・・・多面体の頂点の数を v 、辺の数を e 、面の数を f とすると、 v ー e 十 f = 2 が成立する 4 8 -0

7. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

( ~ 尊 ) 知 0 て得する数学の定理 ピックの定理の考え方 曲線で囲まれた図形の面積を、方眼紙を使って求める 方眼でおおう ( 正方形は Ikm2) ・完全な正方形の数を数える ・不完全な正方形の数を数える 不完全な正方形はロがをとなっていたりとなって いるので、半分と考える 完全な正方形が 78 、不完全なもの 46 とすると 46 ー 1 = 78 十 23 ー 1 = 100 78 十 100km2 となる 以上の考え方を、直線図形の場合で考えてみると、 三角形 A 、 B 、 C の面積は、 ( 辺上の交点の数 ) 面積 = ( 内側の交点の数 ) + であらわされる 内側の交点の数 = 21 個 三角形の辺上の内側の 交点の数 = 3 個 ( 頂点のみ ) とすると、 21 十一一 = 21 .5 方眼を 小さくしていく 知って得する定理 一般的な方法で 三角形 A 、 B 、 C の面積を 十算すると、 四角形 DFBE—( △ AEB 十 △ BCF 十△ ADC) = 7 >< 7 ー 7 x 2 7 >< 3 5 X 4 一三ロ = 21 . 5 同じ解となる

8. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

: を定理と予想の基本を知ろう 定理と予想 定理とは 公理や定義から導き出 された 正しいことが証明され たもの 00 数学の基本的思考のもととなるた め使いやすく、応用がしやすい数 学的思考としての究極の到達点と なることもある 予想とは ゴールドバッハの予想 「 4 以上のすべての偶数は、 2 つの素数の和である」 たとえば 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 3 + 7 00 自然数で、それを割り切る数 ( 約数 ) が、 1 とそれ自身でしかないもの ( ただし 1 は素数とは考えない ) 2 , 3 , 5 , 乙 1 1 , 13 , 1 乙 19 , 23 , 29 , 31 , 3 乙 41 , 43 ・・ 素数が無限に存在することは、ユー クリッド ( 古代ギリシアの数学者 ) によって証明されている フェルマーの最終定理 X = Y 十 Z ( n と 3 ) 「 n が 3 以上の自然数である場合に この式をみたす自然数 X , Y. Z は存在しない」

9. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

ま ) 知。て得する数学の定理 素数とは 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 ・・ のように 1 とその数自身のほかには、 約数をもたない自然数をいう ( 偶数の素数は 2 だけ ) 素数以外の自然数は、すべて素数の 積であらわすことができる 素数の積に分解することを素因数分解 という 6 = 2 X 3 合成数という 1 0 = 2 X 5 ( 素数でない正の整数 ) 「素数は無限に存在する」ミ ( ユークリッド『原論』 ) 精密化させた ティリクレの素数定理 算術級数定理 素数の研究 です 知って得する定理 素数ひとくちメモ 100 以下の素数は 25 個存在し、小さい頂に並べていくと次の 通りになる。 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 3 , 1 7 , 1 9 , 23 , 29 , 31 , 3 乙 41 , 43 , 4 乙 53 , 59 ′ 61 , 6 乙 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 。 さらに、 1000 以下の素数は 100 以下のものを含め 168 個存在 している。 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 13 乙 139 , ・・・など が該当する。

10. 図解眠れなくなるほど面白い数学の定理

2032 十 4064 となります。ここまではギリ シア時代に、すでに発見されていましたが、 5 番目の発見までには 17 0 0 年もかかって います。完全数は現在までに、個見つかっ ています。 2 2 0 の自分自身を除いた約数は一 / 2 / 4 / 5 / 一 0 / 一一 / 2 0 / 2 2 / 45 / 5 5 / 一一 0 で和は 284 となります。 一方、 284 の自分自身を除いた約数は一 / 2 / 4 / 7 一 / 一 42 で和は 220 となります。 220 と 284 が友愛数であることは、古代ギ リシア時代に発見されています。 その次の友愛数は 17296 と 18416 で、フェルマーによって発見されました。 数字のピラミッド 美しくて、不思議です ! 6 2 ー 5 2 0 x 9 十 1 5 6 2 ー 5 5 2 1 2345 x 9 十 6 = 1 1 1 1 1 1 1 23456 x 9 十 7 = 1 1 1 1 1 1 1 1 234567 >< 9 十 8 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2345678 >< 9 十 9 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >< 9 十 2 = 1 2 >< 9 十 3 = 1 23 x 9 十 4 = 1 234 >< 9 十 5 = 5 5 6 2 ー 5 5 5 2 = 5 5 5 6 2 ー 5 5 5 5 2