まえがき 今、数学が注目されています ! 日本だけではありません。欧米を中心とした世界中の国々が、 数学の学びの大切さに気づいてきたのです。 0 o の教育研究革新センターでは数学だけでなく様々な教科の研究をしています。 は経済協力開発機構とよばれている国際機関で、 oaooo 年から始めた国際的な学力 調査の ( ピザ ) で、日本で一躍有名になりました。はプログラム、—はインターナ ショナル、 r•-n はスチューデント、 < はアセスメントのことです。「生徒の国際的な学習到達度調 査」と訳されています。調査する対象は加盟国の歳の学生で、科目は主に数学と読 解力、科学の 3 分野です。教科横断的な記述式の問題が目立ち、暗記だけでは解けない問題が あります。社会や実生活との関わりを問い、数学でも記述で答える問題も出てきました。途中 のプロセスや考え方を重視した問題が多く、の数学は脚光を浴びました。これをきっ かけに日本の小・中学生の数学の教科書が変わってきたといっても過言ではありません。教科 書が変われば、中学や高校の入試問題も変化していくことは自然の成り行きです。今の代、 代のお父さんやお母さんの頃とは、数学の学び方や内容がだいぶ変わってきたのです。 さらに年から小・中・高と順次新しい教科書になりますが、算数・数学に対する考 え方も変化してくることを忘れないでください。ただ計算して答えを出すだけでなく、途中の プロセスを理解し、なぜそのような答えになったかを、生徒同士で話したり書いたりして議論

まえがき することが求められるようになります。このような学び方をしていると、論理的な考え方をす ることができるようになり、問題解決能力が高まることがわかってきたからです。 ( インフォメ 1 ション・テクノロジー ) の時代を意識して、これからはプログラミン フログラマーの育成が目的ではありません。与えられ グを小学校から学ぶことになりました。。 た課題を解決する方法を発見するのが目的です。世の中で生活していくために大切な力のひと つが、目の前にある問題を解決する能力といってもよいかもしれません。 中学になると数学で定理を習います。ピタゴラスの定理を知っていますか ? 知っているだけ ではなくその定理を証明したことを覚えていますか ? わかっていることを確認 ( 検証 ) しな がら証明していったはずです。この本はまさに「数学の定理、についての話です。一昔前は数 学は「頭のトレーニング , だと思っていた人が多かったのではないでしようか。数学はプログ ラミングと同様、論理的思考力を養うための教科なのです。今ではののおか げで、世界中で数学という学びが、特に定理などを使った証明が脚光を浴びはじめたのです。 今の混とんとした社会で生活していくとき、「数学の定理」が役立っことが多くなる時代になっ てきたのです。「数学の定理」は一部の趣味人のためだけではなく、多くの人に「生きる力」を 与えてくれるに違いありません。数学を身近に感じ、考え方を生活に取り入れると新しい世界 が広がると思います。 2018 年 5 月吉日小宮山博仁

数学者 Col 〃川れ 3 プラトン ( 紀元前 427 年 ~ 紀元前 347 年頃 ) 46 ともいわれています。 視する数学に大きな影響を与え、ギリシア数学は発展した プラトンの哲学的な思考と数学的な考え方が、証明を重 体を土水火風にあてはめたことでもよく知られています。 宇宙の調和について正多面体で説明しようと考え、多面 いいます。 ではないようですが、プラトンはそのことを知っていたと 正多面体が 5 種類しかないことを証明したのはプラトン います。 ラトンだといわれ、多面体についても数々の研究を残して 角柱、角すい、円柱、円すいなどの研究を始めたのがプ あります。 らざるもの、入るべからず」と記されていたという伝説が ようなもの ) を開くのですが、その門扉には「幾何学を知 帰国後プラトンはアテネにアカデメイア ( 現在の大学の 数学の勉強をしました。 身の危険を感じ、国外へ出ていろいろな国を旅行して回り、 でいましたが、ソクラテスが死刑の宣告を受けたことから アテネで生まれたプラトンはソクラテスを師として学ん が、数学の上でも数多くの業績を残しています。 プラトンは古代ギリシアの哲学者としてっとに有名です

第 5 章 マピタゴラスの定理で問題を解いてみる① : マピタゴラスの定理で問題を解いてみる②・ マ多面体定理で問題を解いてみる・ マ円周角の定理で問題を解いてみる : マ独立試行の定理で確率の問題を解く①・ マ独立試行の定理で確率の問題を解く②・ ▽数学ちょっといい話⑥ : アルキメデス 第 6 章 マ盗まれた鳥の数は何羽だったのかな ? マカヴァリエリの原理って何のことでしようか ? : ⅲ ▽間違いやすい平均時速を計算してみましよう : ・ : 燗 マ代数の研究をしていた一をオファントス : 94 92 100 98 ▽微分積分をひとことでいうと何でしようか ? マちょっと難しい数学の問題です・ レ匹のロバを父親の遺一言通リに 3 人で分ける・ 「メビウスの帯」ってどんな帯のこと ? マ与えられた条件で贋物の金貨を探し出してみよう・ このトリックをあなたは見破れますか ? ▽数学ちょっといい話⑦ : ▽数学ちょっといい話⑧・ アイザック・一一ユートン ・カバーデザイン / cnOO—J<cn ・ ・本文 / 松下隆治 ・本文イラスト / 長野亨 ・編集協力 / 酒井和子 オフィス・スリー・、 126 124 122 120 118 116 114 112 110

4 数学者 Col 〃川れ 4 レオンハルド・オイラー ( 1707 年 ~ 1783 年 ) 灯という記号を、円周率として初めて使った人がレオン ハルド・オイラーです。 「引 41 592653 ・・・・・・という数字のかわりに灯と書くことに する。灯は、半径 1 の 180 。の弧の長さになる」 といっています。 そのほかにも整数論、位相幾何学、特殊関数、解析力学、 数値計算など広い分野での数学への業績があります。 オイラーの父親は、牧師でしたが有名な数学者の弟子で もありました。 父親はオイラーに自分の後を継がせて、牧師にすること を望んでいました。ところがあるとき、自分が学んでいた 数学を、オイラーに手ほどきしました。この父親の行為 が、オイラーを数学の道へ進ませるきっかけとなったので す。 大学では神学と数学の両方を学びましたが、父親は数学 をやめて、牧師になることを説得します。しかしオイラー は、数学を教えていた教授に数学の道へ進むことを勧めら れていました。父親はオイラーにあきらめるようにいった のですが、反対に説得されてしまうのでした。 数学の道を選んだオイラーは、やがて数学の世界に膨大 な業績を残すこととなります。 18 世紀を代表する数学者のひとりです。

街の一角に、緑の繁った公園があります。 近隣の住民はもちろんのこと、遠方からも車 やバスを使って、人々がやってくることの多い 人気の場所でもありました。 公園の中央には円形に近い池かあり、池の周 囲には、ちょうど池の周囲を川等分するよう に、木が植えられています。あるとき、この池 に噴水をつくることになったのです。 噴水は中央から少しすらした位置につくるこ とに決めました。木に番号をつけると、 o と o 、 とーを結んだ直線の交わった部分がよいと いうことになりました。確かに、中央よりも 変化に富んでいて、池の周囲の座る位置によっ て、違った趣きがあると、評判は上々でした。 では、 0 と c-D 、とーを結んだ直線の交わっ た角度はいったい何度なのでしようか。 円周角の定理で問題を解いてみる ちょっとひと休み 人に詁したくなる数学のき古 数学の「予想」と「定理」 数学において「予想」とは、真だと結果を予想し ているが、まだ真か偽か証明されていない「命題」 のことをいいます。ある「予想」が真だと証明さ れたものが「定理」となります。また、その定 理を利用して真か偽かわからない「命題」、すな わち「予想」したことを証明することもあります。 この手法は、世の中の「不思議」なことを様々な 正拠をそろえて「確かな」こととして明らかにし ていくことによく使われています。 ニ = ロ 6

4 色定理の実用性を知っておこう 国境線のあるヨーロッパでは、国境線が変 は 1976 年のことでした。 更になることは、よくあることでした。その 地図の塗り分け以外に、あまり実用性がな たびに地図をつくり変えることは重要な仕事 いと思われがちな 4 色定理ですが、実は現在 で、有名な数学者たちの書物のなかにも、よ では携帯電話のエリア配置などに、応用されで の く出てきます。地図を色分けする際に、境界 ているのです。携帯電話システムは、周波数 る にあるニつの国を違った色に塗り分ける作業 によって電波同士が混信してしまうため、隣 て は、地図の印刷工らが 4 色あれば、どのよう 接するエリアでは同じ周波数の基地を設けなれ 用 な地図も塗り分けられることを、経験から知っ いように、エリアで色分けしています。 ていたといいます。この 4 色問題は 18 5 2 4 色定理は、このように具体的な利用方法が 年にイギリスの数学者ガスリーが、 4 色につ へと発展してきたのですが、その背景には、数 いて言及したのが初めてでした。この問題は 4 色問題とは実はグラフ理論の問題だったとに 数多くの数学者と数学愛好家たちによって取 いうことがあるのです。 分 り組まれます。 4 色定理の研究を通して、グラフ ( 一筆書の 図 当初は証明することがやさしいと思われて きのように、点と線を結んで得られる図形 ) 地 いた 4 色問題ですが、結果的に証明に成功し 理論の概念が発展的に進歩し、現実に反映さ「ー たのはアベルとハーケンの一一人であり、それれるまでになったのです。 ◎◎

数学の定理を使って問題解決 0 独立試行の定理 進君は「 A 大学の合格率が 十としたならば、不合確率 は十となる。 A 、 B 、 C 、 D 、 E 格 の 5 大学を受けて、 1 校だけ では心配なので、 2 校合格す る確率を求めてみよう」と 考えて、以下のような計算 をしてみた ① A 校、 B 校の 2 校に合格し、他は不合格になる確率を求める 2 つまり両方に合格する確率は A に合格する確率は 3 2 となる B に合格する確率は 3 3 ② C 、 D 、 E の 3 校に不合格になる確率を求めると 1 C に不合格になる確率は 3 3 校に不合格になる確率は 1 D に不合格になる確率は 1 3 となる 3 1 E に不合格になる確率は 3 1 となる X 3 3 ( 2 校に合格し、 3 校に不合格になる確率 ) ④ 5 校のうちどれかの 2 校に合格すればよいので、選択の幅 は 5C2 で決めることができる。確率の定理から独立試行の 40 定理を使って一一となった 243 = 1 0 X 丿 0 3 3 ③ 定理で問題解決 3 3 1 3 40 1 4 9 5 C 2 243 27

0 4 数学者 Col 〃川れ 2 な。まカール・フレデリック・ガウス ( 1 777 年 ~ 1 855 年 ) IO ・・・・・・と順にやっている間に、ガウスは ほかの子どもたちが 1 十 2 = 3 、 3 十 3 = 6 、 6 十 4 = 解いてしまい先生を驚かせたといいます。 足したら、いくつになるか計算しましよう」を、数秒間で 習をさせようと出した問題「 1 から 100 までの数をすべて いいます。 10 歳のときには学校で、先生が子どもたちに自 見ていた 3 歳のガウスは、支払いの計算違いを指摘したと 石切り職人だった父親が、職人たちに給料を支払うのを て計算の才能を備えていたといわれるのは、ガウスです。 数学者に天才は稀ではありませんが、生まれながらにし 1 十 2 十 3 ・・ 十 ) 100 十 99 十 98 ・・ 1 01 十 1 01 十 1 01 ・・ 1 01 X 100 = 1 0100 1 01 00 十 2 = 5050 ・・十 99 十 100 ・・・十 2 十 1 ・・十 1 01 十 1 01 答え 5050 というやり方で問題を解いてしまっていたのです。 19 歳になったガウスは、正十七角形の作図を定規とコン パスだけでする方法を見つけ、これを機会に数学への道を 歩み始めました。以来ガウスは、数学上の発見を、日記に こと細かに記しています。死後 40 年以上を経て発見され たその日記には、研究の結果だけしか残されていなかった ために、解き明かすことが困難でした。当時の数学のレベ ルより、 100 年以上も先をいく内容であったというのです から、ガウスの天才ぶりがうかがえます。

独立試行の定理で確率の問題を解く② 大学受験を控えた進君は、最後の志望校を決 める絞り込みの時期に人っていました。進君は まず、何校受験したらよいのか、そしてど一、の 大学を選べばよいのか、そのことばかりが気が かりで追い込みの時期だというのに、集中力 を欠いた日々を過一」していたのです。 第一志望校は、合格する確率が 2 一 3 くらいだっ たので、同じレベルの大学を、もう 1 校は選び たいと思っていました。悩んだ末に、 5 校をな んとか絞り込むことができました。それでも進 君は、まだ悩んでいました。本当にこれでよい のか、大丈夫なのか・ : 。そこで合格率を計算し てみようと考えたのです。計算で確率を出して みると、自分でも納得でき、勉強にも集中でき ると考えたのです。進君の合格する確率は計算 上は果たしてどのくらいなのでしようか ? ちょっとひと休み 人に詁したくなる数学の詁 4 桁の足し算の計算方法 3 8 5 6 3 8 5 6 3 8 5 6 十 7 1 5 6 十 7 1 5 6 十 7 1 5 6 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 9 --ーーーー--- ・ 1 0 9 0 0 2 桁暗算で 1 1 0 1 2 下 2 桁を計算 2 桁暗算で 100 と 1000 の位をまとめて暗算 3856 十 7156 のような 4 桁の足し算は上記のよう に 2 桁ずつ分けて計算すると、早く計算すること ができます。