蜂の巣が六角形なのはしつかりとした理由がある 自然界のなかにある正多角形といえば蜂の むずかしいことです。円形は、太陽、月など 巣ですが、平面上を同じ正多角形で埋めてい がありますが、では蜂の巣がなせ円ではなく、 る図形は、正三角形、正方形、正六角形の 3 六角形をしているのでしようか。 す で 種類です。しかもこれ以外にはありません。 ギリシア時代にバッポスは、「第一に巣には の る 身の回りにあるモザイク模様を探してみる 外から侵人するものがあってはならないので、 あ と、一見正多角形のように見えても、実は多 多角形でいうと三角形と正方形か正六角形で 角形の組み合わせであったりします。 なければならない。そのなかでも正六角形は、 タイル張りをすることのできる、正多角形面積が大きいので、蜂が蜜を蓄えるのに適した と が 3 種類しかないことは、証明されているの ている」と考えました。 です。 たしかに、円と円がつながると、空間がでや ち きてしまいます。 タイル張りが可能な条件として、正多角形 何枚かを 1 点に並べて 3 6 0 度にならなけれ ところが、正六角形が繰り返しつながると、 一長 ばいけません。こうしたことをみたす正多角 ひとつひとつの部屋と部屋がむだなくつなが イ ることがわかります。 形は、正三角形、正方形、正六角形だけなの タ です。 蜂は、本能的にむたのない蜂蜜の貯蔵方法「ー 三角形、四角形を自然界のなかに探すのは を知っていたということになります。

生活に溶け込んでいる定理 もしも蜂の巣が円だとしたら隙間ができる 三角形、 正方形ではなく 00000000 正六角形 隙間ができると外敵が侵入しやすく、不衛生 モザイク模様は 3 種類 生活と定理 正六角形 正方形 正三角形 正三角形、正方形、正六角形の 3 種類しかない証明 A(n—2) =2n ①三角形の内角の和は 180 。 ②一点に集まる三角形に分割 An—2A—2n=0 した n 角形は (n—2) An ー 2A ー 2n 十 4 = 4 ③ n 角形の内角の和は ( n ー 2 ) X180 。 n と 3 、三角形よリ少ない ④正 n 角形のひとつの内角は 多角形はないため X180 。 ⑥⑤の式に整数を入れてみる となる。次に正 n 角形の タイルが A 個、隙間なく 1 X4 = 4 、 2 X 2 = 4 、 4 X 1 = 4 から、 1 、 2 、 4 しかないことが 集まったと考える わかる そこから n ー 2 = 1 、 2 、 4 となり ⑤ AX(n—2) X180 。 = 360 。 n = 3 、 4 、 6 が証明できる この式を計算すると 39

7 知って得する数学の定理 取りつくし法の考え方 外接する多角形から考える 内接する多角形から考える ( 半径 1 の円 ) ( 半径 1 の円 ) 2 1 1 1 辺をふやす 辺をふやす 外接する正六角形 内接する正六角形 < 周の長さ > く周の長さ > X 6 2 1 X 6 正十ニ角形 正二十四角形 正四十八角形 正九十六角形 正九十六角形 知って得する定理 22 く兀く 7 22 223 く兀く一一一を小数に直すと、 ・・く兀く 3.1428 ・・ 3.1408 ・・ 兀の値を約 3.14 としていた

( す一生活に溶け込んでいる定理 サッカーボールは角切りニ十面体 サッカーボールは正ニ十面体の頂点を 切リ取り、黒い五角形のその周りに白 い六角形を配して合計 32 個の多面体か らっくられている 展開図にしてみると サッカーボールは 実は球ではなかった のです 生活と定理 0 サッカーボール 正五角形 ( 黒 ) ・・ ・・・ 1 2 個 正六角形 ( 白 ) 20 個 これを組み合わせてできている オイラーの多面体定理 頂点の数一辺の数 + 面の数 = 2 正六面体 8 ー 12 十 6 正八面体 6 ー 12 十 8 正十二面体 20 ー 30 十 12 = 2 正ニ十面体 12 ー 30 十 20 = 2

正五角形と正六角形からできているサッカー ボールは、準正多面体のひとつで、正二十面体 の頂点を切り落とすことでできています。 頂点を切り落としたことで、五角形と六角形 を組み合わせた多面体が、サッカーボールなの です。ではサッカーボールの辺と頂点の数がい くつなのか求めてみることにしましよう。 はじめに、 < の正一一十面体の辺の数と頂点の 数を求めてその後、の多面体の辺の数、頂点 の数を求めます。 考え方は、 「の面の数Ⅱ ( < の面の数 ) + ( < の頂点の数 ) ー 「 co の辺の数Ⅱ ( < の辺の数 ) + ( < の頂点の数 ) 」「の頂点の数Ⅱ ( < の頂点の数 ) ><LO 」の ようになります。 多面体定理で問題を解いてみる ちょっとひと休み 人に詁したくなる数学の詁 なかなか発見されなかった公式 正多面体の「頂点の数一辺の数十面の数 = 2 」と いう定理を発見したのは数学者オイラーです。そ のため、この式は「オイラーの多面体定理」とよ ばれています。この公式は数学界を変えた式のひ とつであり、位相幾何学の始まリともされていま す。いわれてみれば単純な定理ですが、発見され たのが 18 世紀です。それまでは誰にも発見され なかったというのですから驚きです。

数学綻理ー 日常生活にも役立つ ! 図解眠れなくなるほど面白い 旧 BN978-4-537-21579-3 C2041 ¥ 680E いⅧ旧ⅡⅢⅡⅢⅢ 9 7 8 4 5 5 7 2 1 5 7 9 5 00 , 〕 00 土地の測量、距離や速さの計算など、 てはな引部「数学の定理」。、 ) 今、注目の数学的思考 & センスが磨けるー 監修者紹介 小宮山博仁 定価 . 本体 680 円十税 日本文芸社 にみやま・ひろひと ) 1949 年生まれ。教育評論家。日本教育社会 学ム会員。 46 年程前に塾を設立。 1997 年 から東京書籍グループで、「学ぶことが楽しく なる」高校受験主体の塾を運営。 2005 年よ り学研グループの学研メソッドで中学受験塾を 運営。学習参考書を多数執筆。最近は活用 型学力や曰 SA など学力に関した教員向け、 保護者向けの著書、論文を執筆。主な著書に 『「塾」スリム化時代を前に』 ( 岩波書店 ) 、『大 人に役立つ算数』 ( 文春新書 ) 、『面白いほどよ くわかる数学』 ( 日本文芸社 ) 、「子どもの「底力」 が育つ塾選び』 ( 平凡社新書 ) 、『「活用型学力」 を育てる本』 ( ぎようせい ) 、『はじめてのアクティ プラーニング社会の ? ( はてな ) を探検』全 3 巻 ( 童心社 ) などがある。 1 9 2 2 0 4 1 0 0 6 8 0 5 教育評論家 小宮山博仁 球でないポール ? 02 十わ 2 = c2 蜂の巣はなせ 正六角形なの ? 000 ・ 00000 ・ 0000000000 0 ・ 00000 ・ 00 0 ・ 00 ・・ 00 ・ 0 0000 ・ 00000 監修 正弦定理で 月までの 距離を計算 ! 小 博 が身につき 仁 修 日本文芸社 ' 00 sinA ー sinB = 2R 1 + AP ・ DP=BP ・ CP AC•.BC= コノ .62 : 1 スカイツリー 展望台から どこまで見える ? フェルマーの 最終定理って ? 4 色定理で ケータイエリア を管理 ? 地球 フィポナッチ数列と 「黄金比」のヒミッ 6400km 日本文芸社 300002 カバーデザイン / イラスト : BOOLAB.

サッカーポールは球ではなく多面体だった ? 近年サッカーは、世界的にメジャーなスポー 正二十面体の頂点の数が個であること ツのひとつになりましたが、サッカーボー は、ページの図を見ていただくとわかりま が五角形と六角形の組み合わせからなる多面すが、この個の頂点部分を五角形に切り取 体だということは知っていましたか ? り、六角形と組み合わせたのです。 す で ボールですから、球形に限りなく近いこと 五角形個、六角形囲個の合計個の多面 は間違いないのですが、厳密にいうと多面体 体からなるのですが、頂点は個ともすべて驚 なのです。 がひとつの球に内接しているので、もっとも 一般的にイメージされるサッカーボー 球に近い立体となるわけです。 正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、で は、五角形個と六角形囲個でつくられ、 1960 年代からサッカーボールの代表とも 正十ニ面体、正ニ十面体の五種類しか存在し球 〔カ いえるデザインとなっています。 ないことを発見したのは古代ギリシアの哲学 黒い正五角形を取り巻くように、白い正六 者、プラトンです。 角形が配置されていて、角切り一一十面体と名 サッカーボールの白と黒の幾何学模様は、 カ ッ づけられています。 見た目の楽しさや美しさだけではなく、ちゃ サ 正一一十面体の頂点を切り落とした形なので、 んと理由があったのです。 このようによふのです。

アルキメデスの「取りつくし法」とは 積分の考え方の基本は、農地の面積を正確に計測して、できるだけ公平に 分配することでした。古代エジプト人は、広い土地を三角形や四角形に分割 して計算し、最後にすべてを合計して、複雑な形をした土地の面積を求めて いたのでした。この方法を取りつくし法といいます。 同じ時代、円は神がつくった完全な形として、神秘性が語られ、美しさ が称えられていました。半径の長さは違っていても、円はいつも同じ形を しているのです。円の直径と周囲の長さの比は、円の大小にかかわりなく、 どれも同じです。そしてこの比が、であらわされる円周率なのです。 取りつくし法を用いて、の計算に取り組んだのがアルキメデスでした。 円に内接、外接する正多角形から、円の面積を求める計算を試みたのです。 六角形から始め、辺の数をふやし、正十一一角形、正一一十四角形、正九十六角 形までの計算をしたのです。 その結果、 3 ^ △ 3n という不等式を得ました。この分数を小数に直 してみると。 3. 一 408 : : 入 ^ 3. 一 428 : : : となります。アルキメデスは、 この取りつくし法での値を 3 」 4 まで正しく求めていたことになります。 数学 豆知讙 中国では古くから 9 という数字 は「皇帝の数」とよばれていま す。その理由は、 9 という数字 は、 0 ~ 9 の基数のなかで一番 大きい数字だからといわれてい ます。

正多面体の性質とオイフーの多面体定理 正多面体はプラトンの多面体ともよばれま プラトンは、美しい形の立体それだけに感 と す。プラトンの時代のギリシア数学は、調和動していたのですが、さらに関係が双対であ し が重視されたときでした。平面図形における ることを知って、ク神は幾何学する彡という名 を 調和といえば、円であり正多角形であり、ま 言を残したといわれています。 た球と正多面体が三次元的な図形でした。多 プラトンにとって、立体の美しさはク神の名 面体をつくるのは、面の数をふやすことで、 作品クに匹敵するほどに素晴らしいものと思 と いくらでもできるように思われますが、実は えたのでしよう。 そうではありません。 プラトンは 5 種類の正多面体を眺め、それす 正多面体とよべるものは、 5 種類しかない ぞれの面の中心に頂点を設け、そこに多面体何 のです。 をつくってみることを試みたのです。すると 神 正四面体、正六面体 ( 立方体 ) 、正八面体、 そこには、別の正多面体ができることを発見 、す しました。 正十ニ面体、正ニ十面体です。 はま ①どの面もすべてが合同となる正多角形で これを双対な多面体とよびました。正六面 0 ラれ ある。②それぞれの頂点に集まる面の数がど 体の双対は、正八面体で、正十 - 一面体と双対プわ こも同しである。この一一つの条件をみたす多 となるのは正一一十面体です。 面体が正多面体です。 こ

イ数学の定理を使って問題解決 オイラーの定理 0 多面体の面の数を F 、辺の数を E 、頂点の数を V とする ・・オイラーの多面体の定理が成リ立ちます V ー E 十 F = 2 ・・ 【問題】サッカーボールの面と辺と頂点の数を求めなさい A の正二十面体の辺の数・・・・・・ E とする 頂点の数・・・・・・ V ・各辺は 2 つの面と共有で、各面には 3 つの辺があることか ら 20 >< 3 = E >< 2 ー 30 ・各面にはそれぞれ 3 つの頂点があり、各頂点は 5 つの面の 頂点であることから 20 x 3 = V x 5 V = 1 2 B は、 A の頂点の数だけ面が増えるので ・・・ B の面の数 20 十 1 2 = 32 ・・ B の辺の数は、 30 十 12X5 = 90 ・・・・・ B の辺の数 ( A の頂点 1 つを切リ落とすと辺の数は 5 ふえる ) B の頂点の数 = 1 2 x 5 = 60 ・・ ・・ B の頂点の数 ( B の正五角形の数は、 A の頂点の数と等しい。また 1 つの正 五角形には 5 つの頂点がある ) サッカーボールの面の数は 32 、辺の数は 90 、頂点の数は 60 となる 定理で問題解決