求されました。 そこで計算を専門とする計算師が出現した す のです。計算師は、計算を可能な限り正確に じんそく ど そして迅速に処理するために、記号を使うよ つ人人人人 うになったのです。 あ人アスス人ス 一」ソ - リ - 冂ノ冂・ - ソ一リ一 大航海時代が、歴史上人間に様々な恩恵を でイタギギイギ 与えたことは、広く知られていますが、こん すドイイイドイう よ なところにも大きな発見があったことは、あ し ま まり知られてはいないようです。 頃頃頃頃頃頃頃て 7 8 3 もしも計算記号がなかったら、いったいど 年年年年年年年え O C) C.0 0 0 0 5 老コ んなことになっていたのでしようか ? 8 8 5 C.D っ 0 O 4 4 5 5 6 6 7 、 か 3 十 「 1 十 1 Ⅱ 2 」をひとっとっても「 1 に 1 を 見 発 加えた数は 2 である . といわなければならな の 号 号 いとこまりますね。数学はことばで伝えるよ 一三 0 8 2 4 X りも、記号を使った数式を使うととても便利算 + 十 ( = >< 十兀ん っっ 0 です。このおかげで、科学技術が発展し豊か な成熟社会になったともいえるでしよう。

000000000 ② 定義と命題ってどんな意味があるのでしようか 数学を始めるときに、概念の意眛や手続きを、はっきりと決めておかなければ なりません。数学の目指すところのひとつに、普遍性が要求されるからです。 あるところで証明された定理は、地球の裏側はもちろん、ほかの星でも成り立 たなければならないからです。 そのためには、前提となる対象を正しく決めておく必要があります。その概念 を決めることが「定義」です。 「命題」は正しいか正しくないかが定まる文や式のことです。公理や定義によっ て証明された命題を定理といいます。特に重要なものは〇〇の定理として使いま す ( 例・ピタゴラスの定理 ) 。 様々な角度から「数学の定理」についてここまで解説してきましたが、あまり 重要ではないことについても、ときには定理とよふことがあります。 「定理」は「公理」や「定義」をもとにして説明したり証明するので、数学を論 理的に考える出発点であるともいえるでしよう。 定義とは正しい / とか間違いとは いえない 決まりのものです

与えられた条件で贋物の金貨を探し出してみよう にせもの 8 枚の金貨があります。この中に 1 枚だけ贋物の金貨があります。贋物は、 見た目ではほかの 7 枚と変わりはありませんが、重さが少しだけ軽いことが 大きな違いです。さて、どの金貨が贋物か、大秤ばかりを使って見つけてみ ましよう。ただしこの天秤ばかりを使うことができる回数は、 2 回だけです。 金貨を 4 枚ずつ半分に分けて調べることは天秤ばかりが 2 回しか使えな いので、意味がありません。 8 枚の金貨を、 3 枚、 3 枚、 2 枚の 3 つに分けて調べる方法がよさそうで す。これがヒントです。 この問題を解く鍵は調べたときの結果がどうなるか、そのバターン別に解 決することです。その結果が何を示しているかがわかれば、次にどのように すればよいかが予想できます。 論理的な思考のできる人は、このような問題を解くことが得意です。 皆さんもじっくり考えてみてください。答えを読めば「そんなことか・ : 」 と思う問題なのです。 商店街などで見かけるくじです が、確率論から考えてみると、 先に引いても後に引いても当た る確率は変わりません。これを 「くじの公平性」とよんでいます。 6 118

数学者 Co 川れ 6 アルキメデス ( 紀元前 287 年頃 ~ 紀元前 212 年頃 ) 古代ギリシアの数学者、物理学者、工学者でもあります。 100 とが も有名な言葉として伝わっています。 た「我に支点を与えよ。しからば地球を動かしてみせよう」 また、てこの原理も発見していますが、そのときに言っ す。 図形を兵士が踏みつけたことを咎めたためといわれていま す。地面に図形を描いて考え込んでいたのですが、その ルキメデスはローマ軍の兵士によって殺されてしまいま です。紀元前 212 年に、ローマ軍が侵攻してきた際に、ア 円の面積、体積、球の表面積などもアルキメデスの発見 浮力というアルキメデスの原理の発見でした。 と、裸のまま外へ飛び出した話は有名です。 このとき、「エウレカ、エウレカ」 ( 見つけた、見つけた ) つけたのです。 と、浴槽のなかの自分の体が浮きあがることから答えを見 歩いているときも食事中も考え、入浴中にも考えている 続けていました。 デスは即答することはできませんでしたが、しばらく考え べられる方法はないものか」と尋ねられました。アルキメ のものが混ざっていないかどうかを、王冠をこわさずに調 あるとき王さまが、アルキメデスに「この王冠に金以外 の教育をしたといわれています。 父親は天文学者で、アルキメデスが青年になるまで、息子

数学者 Col 〃川れ 3 プラトン ( 紀元前 427 年 ~ 紀元前 347 年頃 ) 46 ともいわれています。 視する数学に大きな影響を与え、ギリシア数学は発展した プラトンの哲学的な思考と数学的な考え方が、証明を重 体を土水火風にあてはめたことでもよく知られています。 宇宙の調和について正多面体で説明しようと考え、多面 いいます。 ではないようですが、プラトンはそのことを知っていたと 正多面体が 5 種類しかないことを証明したのはプラトン います。 ラトンだといわれ、多面体についても数々の研究を残して 角柱、角すい、円柱、円すいなどの研究を始めたのがプ あります。 らざるもの、入るべからず」と記されていたという伝説が ようなもの ) を開くのですが、その門扉には「幾何学を知 帰国後プラトンはアテネにアカデメイア ( 現在の大学の 数学の勉強をしました。 身の危険を感じ、国外へ出ていろいろな国を旅行して回り、 でいましたが、ソクラテスが死刑の宣告を受けたことから アテネで生まれたプラトンはソクラテスを師として学ん が、数学の上でも数多くの業績を残しています。 プラトンは古代ギリシアの哲学者としてっとに有名です

数学者 Col 〃川れ 1 ユークリッド ( ギリシア名・エウクレイデス ) ( 紀元前 330 年 ~ 紀元前 275 年 ) ※明確ではない いるようだから・・・」といった、と伝えられています。 強をすることは何かの得にならなければならないと考えて 人をよび「この青年にお金をあげなさい。この青年は、勉 か ? 」と質問をしました。ユークリッドは、すぐさま使用 きに「こんなむずかしいことを学んで何の得になるのです またある青年がユークリッドから幾何学を学んでいると ということです。 リッドはいいました。たとえ王さまでも。学問に王道なし " これに答えて、「幾何学に王道はありません」とユーク か」と尋ねました。 は「『原論』によらずとも幾何学を学ぶことはできないの BC283 ) に幾何学の講義をしていたのですが、そのとき王 リッドは古代エジプトの王プトレマイオス I 世 ( BC367 ー 公理と五つの公準が示された『原論』を使って、ユーク 学の教科書・幾何学原本『原論』を書いたのです。五つの 築いたのですが、その考えをもとに、ユークリッドは幾何 プラトンがアカデメイアに開いた学校で、数学の基礎を ません。 ドとはどのような人物であるのかは、まったくわかってい セラーとして読み継がれてきました。しかし、ユークリッ た。『原論』は、 2000 年以上もの歳月、聖書に次ぐべスト ユークリッドは数学を体系化し『原論』にまとめまし とは、数学者の名前です。 す。ギリシア数学の代名詞のようにいわれるユークリッド 私たちが学校で習う幾何学は「ユークリッド幾何学」で

「メビウスの帯ちてどんな帯のこと ? 紙があります。紙には表と裏があり、表と裏のどちらかだけの紙というの は存在しません。紙を丸めてみても、表面と裏面はできてしまいます。 ところが「メビウスの帯」は、裏のない表だけの紙なのです。表のない裏 だけともいえるので、どちらか片面だけの紙といったらよいでしようか。 世紀に、ドイツの数学者であるメビウスが考えた、表 ( 裏 ) だけの紙 の帯、それが「メビウスの帯」なのです。 一枚の長い紙 ( テープのようなもの ) を、途中一回ひねって、端と端を貼 り合わせます。一回ひねることで、裏と表がなくなって、紙のすべての面が 表としてつながりを見せるのです。色を塗ってみると、よくわかるのですが、 表からある色で塗っていくと裏へ出てまたもとへ戻るところから、表と裏の 塗り分けができません。 世紀以降、数学の幅は大きく広がりました。計算だけでなく、このよう な発見がいろいろとなされたのです。メビウスの帯の原理は、今では見かけ なくなった - 一倍の収録ができるビデオテープなどに使われています。 数学 豆知讙 円周率の歴史は古く、 4000 年前 のエジプトでは 3.16 、 2000 年前 のギリシアでは 3 亠、 1500 年前 のインドでは 3.1316 、 1000 年 22 355 前の中国では一一一一と記されて いました。 6 Ⅱ 6

さあ考えてみてください。 < さんが、家から離れた友人の家へ行くのに、行きは時速 6 で歩き、 帰りは時速 4 で歩きました。 < さんの平均時速はいくらでしようか。 「そんなの簡単しゃない」と、いった人、本当ですか ? もう一度考えてから答えてみてください 「行きが 6 で、帰りが 4 で歩いたのだから、その平均をとればいいので、 時速 5 ですね . と答えたあなた、みごとにク落とし穴クに落ちてしまった ようですね。 そんなに簡単ではありません。平均を出すのではなく、平均時速について 答えなければいけないことを、よく考えてみる必要があります。 行きと帰りの距離を、かかった時間で割ることによって平均時速がでま す。 くれぐれも時間だけを足して、 2 で割ることのないように、この種の問題 は注意が必要です。 間違いやすい平均時速を計算してみましよう 数学 豆知讙 アルキメデスは、「球が円柱に内 接しているときに、球と円柱の 体積と表面積の比はどちらもと もに 2 : 3 の比をなす」という 不思議さに魅了されたといわれ ています。 106

す生活に溶け込んでいる定理 ケーニヒスペルグの橋 工亠 [ オイラーは、 橋を辺と見立て 一筆描きと考えた 生活と定理 ・すべての頂点について集まる辺の本数が偶数 ・集まる辺の本数が奇数であるような頂点が 2 つ存在し、ほかの頂点につ いて集まる辺の本数が偶数である ( ブリタニカより ) 正多面体から考える 正四面体 正六面体 正八面体 正十ニ面体 正二十面体 正ニ十面体の場合、頂点が同じ面をすべて違う色で塗リ分けるとしたら、 5 色必要となる ( 特殊な場合 )

すを引鬘知って得する数学の定理 黄金比とは フイボナッチ数列の隣合う 2 項の比をとると、 限りなく近づく値 2 3 1 2 = 1 .625 、 55 、 34 1 1 8 尸う ) 5 3 = 1 .66 ・・ = 1 .61764 ・・ 1 .618034 ・・・が 黄金比 / / = 1 .61538 ・・ 8 34 = 1 .61904 ・・ 1 十Ⅳ匠 . 2 1 .618034 ・・ 0.6 ミロのヴィーナス ・名刺 ・テレホンカードなど 知って得する定理 ほうせいけい 五芒星形 ミロのヴィーナスひとくちメモ ミロのヴィーナスはギリシア神話における女神アプロディー テーの像と考えられている。高さ 203 ( m 。発見時は碑文が 刻まれた台座があったが、ルーヴル美術館に持ち込まれた際 に紛失している。作者は紀元前 130 年頃に活動していた彫刻 家、アレクサンドロスと考えられている。